Physique2-05_files/Corr TPP03

Correction du TP de Physique No 3
Mesures de longueurs astronomiques
1
La sphéricité de la Terre
La totalité du cercle correspond à 360o ; la distance
correspondante, le périmètre P , est donc telle que :
a . D’une part, Aristote indique que l’ombre courbe
sur la Lune lors des éclipses de Lune est celle de la
Terre ;
D’autre part, la modification rapide de l’horizon sur
Terre plaide aussi dans le sens d’une courbure.
Au Moyen-Âge, cette idée de rondodité n’était pas
partagée par tous.
b. Un déplacement de quelques centaines de kilomètres
vers le Sud ou vers le Nord modifie notablement l’horizon céleste observable ; Aristote en déduit que la
Terre est une sphère de petite dimension.
c . Les photos et observations réalisées depuis l’espace
montrent bien une Terre ronde. Autre argument, on
peut désormais faire le tour du Monde sans problème, avec un choix assez large de moyens de transport.
2
La méthode d’Ératosthène
a . Syène est situé sur un tropique : le Tropique du Cancer. Ce parallèle particulier, situé dans l’hémisphère
Nord, est caractérisé par le fait que le Soleil est directement au Zénith à midi le 21 juin, lors du solstice
d’été.
b. Le midi heure solaire est l’instant exact ou le Soleil
est au zénith, exactement à la verticale.
L’heure utilisée dans le pays, dite heure civile, est
l’heure indiquée sur une horloge. Elle peut être différente de l’heure solaire, par exemple en France
nous partageons le même fuseau horaire que l’Europe centrale, ce qui provoque un décalage d’une
à deux heures avec l’heure solaire (selon, respectivement, que l’on se trouve en heure d’hiver ou en
heure d’été). Donc en pratique, le Soleil atteint son
zénith entre 13h et 14h en France. Plus précisément,
l’heure solaire dépend uniquement de la longitude du
lieu, alors que l’heure civile dépend du fuseau horaire
adopté.
c . La droite représentant la verticale d’un lieu est donnée par la direction du fil à plomb.
d. Les angles α et β sont alternes-internes.
De plus, on peut considérer les rayons lumineux en
provenance du Soleil comme parallèles entre eux,
donc les deux angles sont alternes-internes égaux :
α=β
7o
e . D’après la question précédente, l’angle β =
tel
que mesuré par Érathosthène est égal à l’angle α.
Ce dernier sous-tends un arc de cercle de longueur
s = 5 000 stades ou s = 800 km.
7o ↔ 800 km
360o ↔ P
7 × P = 360 × 800
360 × 800
= 41, 1 × 103 km
⇔
P =
7
f . Par définition du périmètre :
⇒
P = 2πRT
⇔
RT =
P
2π
Application numérique :
41, 1 × 103
= 6, 54 × 103 km
2π
soit approximativement 6 540 km, ce qui est une valeur très proche de 6 580 km, valeur actuellement
admise.
g . Syène et Alexandrie doivent être située à la même
longitude, c’est-à-dire sur le même méridien — sans
quoi, le Soleil n’est pas au zénith au même instant
dans les deux lieux. Ce n’est pas exactement le cas,
il y a une petite différence de longitude.
h. La plus grosse cause d’erreur est la précision dans la
mesure de l’angle β. Qu’Ératosthène soit tombé si
proche de la valeur actuellement admise est plus un
coup de chance, car il a au minimum 10 % d’erreur
sur sa mesure, ce qui fait 650 km !
Une autre cause d’erreur importante se situe au niveau de la mesure de la distance entre les deux villes.
RT =
3
La méthode d’Aristarque
La mesure du diamètre de la Lune
a . La durée nécessaire pour que la Lune parcoure une
distance égale à son diamètre est t = t′ = 1 heure.
b. Entre l’instant ou la Lune commence à pénétrer
dans la zone d’ombre de la Terre, et l’instant ou
elle commence à en sortir, il s’écoule une durée
t + T = 3 heures. La Lune parcoure alors trois fois
son diamètre :
3 heures au total
= 3 diamètres
1 heures pour un diamètre
ce qui correspond à une distance égale au diamètre
de la Terre, soit 12 800 km. Le diamètre de la Lune
est donc égal à :
12 800 km
≃ 4 270 km
3 diamètres
c . Les causes d’erreurs principales sont dans les mesures des durées, et dans la précision de la détection
des entrée & sortie de la zone d’ombre.
soit environ 400 milles kilomètres. La valeur actuelle, telle que trouvée par télémétrie laser, est de
384 467 km. On trouve donc le bon ordre de grandeur.
La mesure de la distance Terre-Lune
a . Diamètre apparent θ = 0, 5o de la Lune, vue à l’œil
nu depuis la surface de la Terre :
dTL − RT
Œil
b. Ordres de grandeurs de chacune des grandeurs obtenues :
dL
θ
Terre
RT = 6 380 km ≃ 6 × 103 km ∼ 104 km
dTL = 384 467 km ≃ 4 × 105 km ∼ 105 km
RL = 1 738 km ≃ 2 × 103 km ∼ 103 km
Lune
L’observation étant effectuée à la surface de la Terre,
ce n’est pas la distance dTL entre les centres des deux
astres qui est utilisée, mais cette distance diminuée
du rayon de la Terre RT :
θ=
⇔
dTL − RT =
On a donc le classement en ordres de grandeurs :
dL
dTL − RT
RL ≪ RT ≪ dTL
dL
θ
et le placement sur une échelle logarothmique, en
puissance de dix :
dL
θ
Conversion de l’angle θ en radians :
⇔
dTL = RT +
RL
RT
dTL
0, 5 × π
= 8, 73 × 10−3 rad
180
Application numérique, en kilomètres :
θ=
dTL = 5 380 +
102
3 476
= 4, 04 × 105 km
8, 73 × 10−3
⋆⋆
⋆
103
104
105
(km)
106