Techniques d`ordonnancement, Israël Makambo Laboratoire

Techniques d’ordonnancement, Israël Makambo
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One pager
Décembre 2012
Vol. 4 – Num. 018
http://www.lareq.com
Techniques d’ordonnancemenT
Illustration de la méthode sans digraphe de Roy
Israël Makambo Monga1
Il y a deux façons de faire bouger un homme: la peur et l’intérêt personnel.
Louis – Napoléon Bonaparte
Résumé
Ce papier montre que, dans la pratique de l’ordonnancement, la méthode sans digraphe de Roy est
préférée aux méthodes CPM et PERT, pour la simplicité et l’élégance de sa mise en œuvre.
Mots – clé: Ordonnancement, méthode de Roy.
Abstract
We show in this paper that, in practice, the method of Roy is preferred to CPM and PERT method,
certainly because this method is simple to start – up.
Introduction
Répondre au mieux à un besoin, tout comme assurer un bon suivi et évaluation d’un projet, exige une
connaissance, même sommaire, de techniques d’optimisation dans la mesure où celles – ci offrent la
possibilité de solutionner, de manière optimale, les problèmes nécessitant la proposition d’un compromis,
compte tenu de l’objectif poursuivi et des contraintes temporelles, pour le cas précis des projets, et de
toute autre contrainte pesant sur les ressources, en général.
Les techniques d’ordonnancement, forgées déjà vers la fin du XIXème siècle, ont émergé comme les
méthodes d’optimisation les mieux adaptées en matière de gestion des projets d’une part, et proposent,
d’autre part, des outils qui permettent notamment : (i) d’optimiser et de contrôler l’avancement d’un
projet en recourant à un tableau ou à un digraphe ; (ii) d’indiquer les opérations sensibles au moindre
retard, avec risque de retarder l’ensemble du projet et (iii) d’évaluer les marges de manœuvre
éventuelles sur chaque activité.
Faisons remarquer que le graphique de Gantt est resté, du moins jusqu’en 1957, le seul outil
d’ordonnancement disponible. Proposé pour la première fois, en 1890, par l’ingénieur polonais Karol
Adamiecki et revu plus tard, en 1910, par l’américain Henry L. Gantt, l’idée du diagramme était
d’ordonnancer le projet, dans un tableau à double entrée, en croisant les opérations à réaliser et l’unité
de temps choisie. C’est la facilité et la lâcheté de cette méthode qui ont conduit, plus tard, au
développement des méthodes plus rigoureuses fondées sur la théorie des graphes dont rend compte,
très sommairement2, ce papier en commençant par les présenter (section 1) avant de montrer, à travers
un exemple tiré de Tombola (2012a), la simplicité et l’élégance dans la mise en œuvre de la méthode
sans digraphe de Bernard Roy comparativement aux méthodes PERT et CPM (section 2).
1
Chercheur au Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative [LAREQ]. Mail: [email protected].
2
Pour un développement complet, l’intéressé peut consulter le guide Laréq pour étudiant de Tombola (mars 2012)
disponible sur le site du Laboratoire (http://www.lareq.com).
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I. Méthodes d’ordonnancement basées sur la théorie des graphes
Les nombreux défauts du planning à barre (ou diagramme de Gantt) ont conduit, en effet, au
développement, à partir de la deuxième moitié du XXème siècle, de nouvelles techniques de gestion et
d’ordonnancement d’un projet basées sur la construction, généralement, d’un digraphe – valué et sans
circuits. Cette dernière précision est de rigueur dans la mesure où l’existence d’un circuit impliquerait
une contradiction dans les arcs incidents intérieurement et extérieurement à une activité, ce qui signifie,
en clair, qu’une activité devrait, en même temps, précéder et succéder une autre. Imposer que le
digraphe – valué soit sans circuit est donc garant de la faisabilité du projet.
Les nouvelles techniques forgées notamment par Walker, Kelley, la marine américaine et Roy, devraient
permettre, en plus de trois objectifs précités, assignés aux techniques d’ordonnancement en général, la
détermination, dans le réseau (digraphe) construit, du chemin critique1 et de sa longueur. On regroupe
ces méthodes généralement en deux familles, à savoir :
-
La méthode américaine. Il s’agit de la méthode Critical Path Method (CPM) développée par
Morgan R. Walker et James E. Kelley et de sa variante, la méthode Program Evaluation and
Review Technique (PERT) développée par la marine américaine ;
-
La méthode française. Il s’agit de la méthode des Potentiels Métra (MPM), avec et sans digraphe,
proposée par Bernard Roy.
Les méthodes CPM et MPM, mises au point respectivement en 1957 et en 1961, utilisent, dans leur
montage, un digraphe – valué potentiel – tâches et permettent, en plus de déterminer les sommets
et/ou les arcs critiques, de calculer le retard maximum (marge totale) et la marge libre existant sur
chaque activité. Signalons qu’il est possible d’optimiser un projet, en employant la méthode de Roy, sans
construire un digraphe potentiel – tâches. Et c’est précisément cette possibilité, illustrée à la section
suivante, qui rend cette méthode plus pratique et plus élégante, comparativement à la méthode
américaine qui se base, fondamentalement, sur un réseau construit sur un digraphe.
La PERT, quant à elle, mise au point en 1958, une année après la CPM, utilise un graphe orienté – valué
potentiel – étapes. A titre de rappel, un digraphe potentiel – étapes, appelé également réseau, part d’un
sommet dont la correspondance réciproque est un ensemble vide à un sommet pendant, et chaque
opération dans le réseau est restituée par un arc. C’est certainement ce qui rend son montage moins
pratique et moins préféré à ceux de la CPM et de la MPM (avec ou sans digraphe). Néanmoins, la PERT,
mieux que les deux autres méthodes, permet le calcul d’un autre type de marge: la marge certaine.
1
Le chemin critique est le chemin le plus long à travers le réseau et conditionne la durée minimale du projet.
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II. Simplicité et élégance de la méthode de Roy
La simplicité de la méthode de Roy – contrairement au réseau CPM (PERT) qui passe par quatre étapes :
(i) construction de la matrice d’adjacences qui simplifie la lecture, colonne par colonne, des
précédences ; (ii) partage en niveaux du digraphe potentiel – tâches (potentiel – étapes) ; (iii) montage
du réseau CPM (PERT) et (iv) détermination du chemin critique et calcul des marges – tient,
théoriquement, à ce que cette méthode n’a besoin que de la matrice d’adjacences pour déterminer le
chemin critique.
Pour l’illustrer, considérons le projet de rénovation du séjour d’un appartement décomposé en 9 activités
(A, B, C, D, E, F, G, H, I), pour lequel nous avons construit la matrice laplacienne1 ci – après :
connaissant les relations entretenues par les matrices associées à un graphe, les matrice d’incidence et
d’adjacences correspondant sont respectivement :
et
En prenant une représentation Sommet initial – sommet final (SIF), on a le schéma simplifié ci – après :
1
Pour de plus amples détails, consulter Tombola (2012b). Le papier est disponible sur le site du Laboratoire
(http://www.lareq.com).
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Partant, et après partage en niveau et construction d’un digraphe potentiel – tâches, le réseau PERT
correspondant à ce projet de rénovation est monté de la sorte :
3
4
C(1)
4
F(3)
i
X(0)
A(1)
E
0
1
0
1
i
4
1
G(2)
2
B(3)
7
4
Y(0)
i
i
D(1)
7
I(2)
6
8
i
4
4
H(1)
5
8
S
10
i
10
i
E(1)
7
i
où X et Y sont des tâches fantômes (muettes ou encore fictives).
Il ressort de ce réseau que le chemin critique, de longueur 10 (durée du projet),
est composé des
activités A, B, F, H et I.
En retravaillant, le lecteur intéressé peut se rendre compte de la difficulté, dans la pratique, de la mise
en œuvre d’une telle méthode. Remarquons, à présent, partant simplement de la matrice d’adjacences,
la simplicité pratique et l’élégance de la mise en œuvre de la méthode sans digraphe de Roy.
Tâche
Antériorité
0
0
A
D:0
1
0
B
A:1
1
0
C
A:1
1
0
D
A:1
4
1
1
E
B:3
D:1
4
1
1
F
B:3
C:1
4
1
G
B:3
7
4
4
H
F:3
G:2
8
4
7
I
E:1
H:1
10 Fin
8 I:2
Pour l’illustration du calcul des marges se rapportant à ce problème, nous renvoyons l’intéressé à
Tombola (2012a).
In fine, il sied de faire remarquer que ce papier n’avait pas pour objectif de rendre, rigoureusement,
compte de toute la démarche à suivre dans l’application des méthodes américaine et française, mais
plutôt de mettre en évidence la simplicité pratique de la méthode sans digraphe proposée par Roy.
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Bibliographie

BERGE Claude, 1970, Graphes et hypergraphes, Dunod, Paris, 502p.

FAURE Robert, 1999, Précis de recherche opérationnelle, Dunod, Liège, 466p.

TOMBOLA Cédrick, 2012a, Recherche Opérationnelle : Résumé du cours et recueil d’exercices,
Guide Laréq pour étudiant, (mars 2012), 70p.

TOMBOLA Cédrick, 2012b, « Construction de la matrice d’incidence et de la matrice laplacienne :
Comment représenter intelligemment un graphe », One Pager Laréq, vol. 4, num. 005, (novembre
2012), 30 – 34.

TSASA Jean – Paul, 2012, Recherche Opérationnelle : Résumé des heuristiques et Recueil
d’applications pour étudiants, Guide Laréq pour étudiant, (mars 2012), 36p.
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