Rallye Mathématique Poitou

Rallye Mathématique
Poitou - Charentes
Un deuxième puzzle (15 points)
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Voici le parallélogramme, le carré et le trapèze demandés
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Épreuve du 18 mars 2014 - Éléments de solutions
1 Les puzzles
Thabit ibn Qurra (5 points)
1. Il est né en 836 à Harran (Turquie) et mort en 901
à Bagdad (Irak). Il a donc vécu au IXème siècle.
2. La Turquie est le nom actuel du pays où il est né.
3. Il s'est illustré en astronomie, en musicologie,
médecine, en philosophie et bien sûr en mathématiques.
4. Voici les deux carrés
2 Cinq couleurs pour une boîte (10 points)
L'aire des trois faces visibles est de 62 cm2 + 73 cm2 + 38 cm2 + 12 cm2 = 185 cm2.
C'est aussi l'aire totale des trois faces jaunes.
Si on note L, l et h les dimensions du parallélépipède, son volume est donné
par L x l x h qui peut aussi s'écrire (Ll x Lh x hL)1/2,
c'est-à-dire la racine carrée du produit des
aires des trois faces visibles.
Cela donne (662 x 772 x 422)1/2 = 462 et donc
le volume est de 462 cm3.
Henry Périgal (5 points)
1. Né 1801 et mort en 1898, il a vécu au XIXème siècle.
2. Il a publié son puzzle dans l'ouvrage intitulé
Geometric, Dissections and Transpositions (London :
Bell & sons, 1891).
3. Il a fait gravé sur sa tombe sa démonstration du
théorème de Pythagore. Mais il l'a aussi mis sur ses
cartes de visite.
4. Pour nommer les différentes pièces de son puzzle, il
a utilisé les lettres H, P, R, G et L qui sont des consonnes de son nom et de son prénom.
G
5. Voici le grand carré.
Un programme de construction
(10 points)
Dessins de trois positions différentes du
point C pour la figure ci-contre.
F
P
M
N
D
Q
C
L
K
E
R
A
T
U
B
S
Z
V
W
J
I
Même si on ne sait pas a priori que ce sont des
nombres entiers, on peut aussi chercher les
dimensions du pavé à l'aide des diviseurs communs de 66 (face avant) et 77 (face latérale).
Si on élimine 1 (trop petit) on part sur 11 pour
la hauteur. Ce qui donne immédiatement 6
pour la largeur et 7 pour la longueur.
3 Urnes et sacs (5 points)
4 Les copains d'abord (10 points)
Deux urnes A et B peuvent recevoir dix boules numérotées de 1 à 10.
Un sac contient dix jetons numérotés de 1 à 10. À chaque étape de l'expérience, on
tire un jeton, on note son numéro et on le remet dans le sac. La boule portant le
même numéro doit alors être changée d'urne.
Par exemple : on tire 8, la boule 8 étant dans l'urne B, on doit alors la mettre dans
l'urne A.
Au départ de l'expérience les dix boules sont mises dans l'urne A. On fait 20 tirages. Les jetons tirés sont successivement :
2, 4, 7, 6, 1, 2, 9, 7, 3, 10, 7, 1, 9, 2, 4, 8, 5, 7,10, 7.
Donnez la composition des urnes A et B à la fin de l'expérience.
Si on note x le nombre de garçons et y le nombre de filles, on a le système
d'équations x + y = 24 et 5x = 3y dont la solution est x = 9 et y = 15.
Il y a 15 filles dans la classe.
Si on tire un même jeton un nombre pair de fois la boule correspondante se trouve
au final dans l'urne A et dans l'urne B dans le cas impair.
À la fin de l’expérience, l’urne A contient les boules : 1, 4, 9, 10.
L’urne B contient les boules : 2, 3, 5, 6, 7, 8.
5 Titi et robinets (15 points)
8 robinets de type 1 et 7 robinets de type 2 remplissent la citerne de 3000 litres
dans le même temps ;
4 robinets de type 1 et 4 robinets de type 2 remplissent la citerne de 3 000 litres
en 30 minutes ; donc
8 robinets de type 1 et 8 robinets de type 2 remplissent la citerne de 3 000 litres
en 15 minutes.
On remplace les 8 robinets de type 1 par les 7 robinets de type 2 sur la même durée,
on peut dire alors :
15 robinets de type 2 remplissent la citerne de 3 000 litres en 15 minutes.
A partir de là, on termine le raisonnement comme on veut, par exemple :
5 robinets de type 2 remplissent une citerne de 1 000 litres en 15 minutes.
5 robinets de type 2 remplissent une citerne de 2 000 litres en 30 minutes.
5 robinets de type 2 remplissent une citerne de 1 000 litres en 15 minutes.
1 robinet de type 2 remplit une citerne de 2 000 litres en 5 x 30 minutes soit
2 heures 30 minutes.
Le débit d2 d'un robinet de type 2 est donc de 2 000 (L) / 2,5 (h) = 800 (L/h).
Pendant la première heure les deux robinets sont ouverts et la citerne de 2 000 L
se remplit donc de 1 500 L d'eau. Il faut maintenant calculer la durée nécessaire
t (h) pour compléter les 500 L manquants avec seulement le premier robinet ouvert.
Si on note d1 le débit d'un robinet de type 1, comme d1 = 1 500 – 800 = 700 (L/h) =
500/ t. On trouve t = 5/7 (h) soit environ 42 min 51 s (arrondi à la seconde près).
La durée totale de remplissage de cette citerne est donc de 1 h 42 min 51 s.
6 À l'abordage ! (15 points)
Hugo est un passionné de puzzles. Aujourd'hui, il s'attaque à un modèle rectangulaire de 1500 pièces construit sur le principe du dessin ci-dessous. Comme d'habitude,
il commence par séparer les « bords » (pièces dont l'un des côtés est droit) pour
faire le tour du motif. Il obtient 156 pièces.
Il reste alors dans la boîte 5 catégories de pièces : les 4 bosses ; les 3 bosses
(+ 1 creux) ; les 2 bosses (+ 2 creux) ; les 1 bosse (+ 3 creux) ; les 4 creux.
D'autre part, il possède les indications suivantes sur les pièces de son puzzle :
- il y a autant de pièces avec 3 bosses que de pièces avec 3 creux.
- la moitié des pièces du puzzle possède exactement 2 bosses.
- le nombre de pièces à 4 bosses est une puissance de 2 inférieur à 50.
- les 3/4 du nombre de pièces à 4 bosses correspondent au nombre de
pièces à 4 creux.
- le nombre de pièces à 3 bosses est un nombre
dont la somme des chiffres est 17.
Il commence par trier toutes les pièces par
catégorie et les répartir dans des boîtes. Combien chaque boîte comporte-elle de pièces ?
Les 5 catégories de pièces restantes sont au nombre de 1 500 – 156 = 1 344. Le
nombre de pièces possédant deux bosses est facile à obtenir, c'est la moitié de
1 500 c'est-à-dire 750. Il reste 1 344 – 750 = 594 pièces des quatre autres catégories. On liste ensuite les puissances de 2 inférieures à 50 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32. Les
deux premières puissances ne peuvent convenir car on ne peut en prendre les troisquarts et obtenir un nombre entier. Le nombre de pièces à 4 creux se trouve dans la
liste 3 ; 6 ; 12 ; 24. Le nombre total de pièces ayant 4 bosses ou 4 creux se trouve
quant à lui dans la liste : 7 ; 14 ; 28 ; 56. On examine alors les résultats de :
(594 – 7)/2 = 293,5 ; (594 – 14)/2 = 290 ; (594 – 28)/2 = 283 ; (594 – 56)/2 = 269.
Seul le dernier résultat peut convenir puisque c'est un nombre entier dont la
somme des chiffres est 17.
Il y a en définitive 32 pièces à 4 bosses ; 269 pièces à trois bosses ; 750 pièces
à deux bosses ; 269 pièces à 1 bosse, 24 pièces à 0 bosse.
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Bulletin - réponse
Épreuve du 18 mars 2014
5 Titi et robinets (15 points)
Avec un seul robinet de type 2, Titi remplirait sa citerne de 2 000 litres
en 2 h 30 min
2 Cinq couleurs pour une boîte (10 points)
Aire totale des trois faces jaunes :
185 cm2
Volume du parallélépipède :
462 cm3
Donnez ci-dessous quelques explications sur la manière dont vous avez trouvé les solutions.
L'aire des trois faces visibles est : 62 cm2 + 73 cm2 + 38 cm2 + 12 cm2 = 185 cm2.
L'aire de la face avant est de 66 cm2, celle de la face latérale est de 77 cm2 et
celle de la face de dessus est de 42 cm2. On peut donc observer que les dimensions sont 6 x 11 pour la face avant, 7 x 11 pour la face latérale et 6 x 7 pour la
face de dessus. Le volume est donc : 6 x 7 x 11 = 462 cm3.
Titi doit laisser encore ouvert le robinet de type 1 pendant 42 min 51 s
Donnez ci-dessous quelques explications sur la manière dont vous avez trouvé la solution et
peut-être des résultats intermédiaires.
8 robinets de type 1 et 7 robinets de type 2 remplissent la citerne de 3000 litres
dans le même temps.
4 robinets de type 1 et 4 robinets de type 2 remplissent la citerne de 3 000 litres
en 30 minutes ; donc 8 robinets de type 1 et 8 robinets de type 2 remplissent la
citerne de 3 000 litres en 15 minutes.
On remplace les 8 robinets de type 1 par les 7 robinets de type 2 sur la même
durée, on peut dire alors :
15 robinets de type 2 remplissent la citerne de 3 000 litres en 15 minutes.
6 À l'abordage ! (15 points)
3 Urnes et sacs (5 points)
à 2 bosses :
À la fin de l’expérience,
- l’urne A contient les boules : 1, 4, 9, 10
- l’urne B contient les boules : 2, 3, 5, 6, 7, 8
4 Les copains d'abord (10 points)
Nombre de filles :
Nombre de pièces
15
Donnez ci-dessous quelques explications sur la manière dont vous avez trouvé les solutions.
Si on note x le nombre de garçons et y le nombre de filles, on a le système
d'équations x + y = 24 et 5x = 3y dont la solution est x = 9 et y = 15.
750
à 4 bosses :
32
à 3 bosses :
269
à 1 bosse :
269
à 0 bosse :
24
Donnez ci-dessous quelques explications sur la manière dont vous avez trouvé la solution et
peut-être des résultats intermédiaires.
Appelons x, y, z, t et u les nombres respectifs de pièces à 4 bosses, 3 bosses,
2 bosses, 1 bosse et aucune bosse : on a : z = 750, y = t, x + y + z + t + u = 1344
(1344 = 1500 - 156) ; x est égal à 2, 4, 8, 16 ou 32
u = 3/4 x, 7/4 x + 2y = 1344 - 750 = 594. Si x = 32, alors u = 24 ; y = t = 269
est bien un nombre dont la somme des chiffres est 17.