2014 2015 Brevet Blanc

Brevet Blanc 2014-2015
Epreuve de Mathématiques
Durée 2 heures
L’utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire n°99 – 186 du 16 Novembre 1999).
L’usage du dictionnaire n’est pas autorisé.
La présentation, la rédaction et l’orthographe seront évaluées sur 4 points.
Indication portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise
en compte dans la notation.
Exercice 1 (4 points)
Dans chaque cas, dire si l’affirmation est vraie ou fausse. Justifier précisément.
Affirmation 1 : Paul affirme que l’équation (2x + 1) – (x – 3) = 0 admet une seule solution qui est 2.
Affirmation 2 : Mina a parcouru 230 km en 2 h 30 min. Elle affirme que sa vitesse moyenne a été de 90 km/h.
Exercice 2 (4 points)
On donne le programme de calcul suivant :
Choisir un nombre.
Ajouter 3.
Calculer le carré du résultat obtenu.
Soustraire 25.
1) Vérifier que lorsque le nombre choisi est 7 alors le résultat obtenu est 75.
2) Quel est le résultat du programme de calcul si le nombre choisi est – 4 ?
3) Estéban prétend que, pour n’importe quel nombre de départ x, l’expression ( x – 2 )( x + 8 ) permet d’obtenir le
résultat du programme de calcul.
Montrer qu’il a raison et en déduire les nombres qu’il faut choisir pour avoir un résultat égal à zéro.
Exercice 3 (6 points)
Pour couvrir le sol de son salon, Olivier décide de poser des
dalles carrées de côté 40 cm.
Son salon a pour longueur 6,40 m et pour largeur 4 m.
(Sur la figure ci-contre les dimensions ne sont pas
respectées).
Les dalles sont vendues par lot de 12. Un lot de 12 dalles
coûte 14,90 €.
Par ailleurs, il faut de la colle, vendue en pots de 1 kg.
Chaque pot permet de coller 10 m² de dalles et coûte 9,50 €.
Calculer la dépense totale d’Olivier.
Exercice 4 (7 points)
M. Lambda a gagné 4,2 millions d’euros au loto.
2
1 ) Il en donne
au secours populaire. Combien d’argent a-il donné au secours populaire ?
15
2 ) Il donne 5% de la somme gagnée à son frère. Combien d’argent a-t-il donné à son frère ?
3 ) Il s’achète une maison à 600 000 €.
Quelle proportion de son gain au loto représente cet achat ? (Exprimer la réponse en pourcentage arrondie à l’unité)
4 ) Il place 1,5 million en bourse et espère gagner à la fin de l’année 6% de la somme placée.
Si tout se passe comme il le pense, combien aura-t-il au total en bourse au bout d’un an ?
5 ) Il veut placer de l’argent sur un compte rémunéré à 4% par an de façon à obtenir 50 000 € d’intérêts la première
année.
Combien doit-il placer sur ce compte pour obtenir ces intérêts ?
6 ) Il décide d’utiliser le reste de cet argent pour se faire plaisir.
De combien d’argent dispose-t-il ?
1/2
Exercice 5 (4,5 points)
Pour cet exercice, on utilise uniquement la courbe donnée ci-après qui représente une fonction f.
1) Combien vaut f(8) ?
2) Donner l'(ou les) antécédent(s) de 7 par la fonction f.
3) Pour quelle valeur de x la fonction f atteint-elle son minimum ? Combien vaut alors ce minimum f ( x ) ?
y
10
5
1
0
1
10
5
x
15
Exercice 6 : (5,5 points)
Un parc de jeu a une forme triangulaire. Il est représenté sur la figure ci1
où les dimensions ne sont pas respectées mais
contre à l'échelle
200
doivent correspondre à : DE = 6 cm ; EF = 4,5 cm et DF = 7,5 cm.
6 cm
D
7,5 cm
DE
12 m
Dimensions du dessin
6 cm
4,5 cm
F
1) Recopier et compléter le tableau ci-dessous
Dimensions réelles
E
EF
DF
4,5 cm
7,5 cm
2) Montrer que le terrain de ce parc possède un angle droit.
3) Calculer l'aire réelle de ce parc.
4) Calculer la mesure de ☺
EDF au degré près.
Exercice 7 : (5 points)
Le trapèze ABCD ci-dessous est un brouillon.
B
A
3,6
5
4
E
9
(AD) // (BC)
AE = 3,6 cm
DE = 4 cm
CE = 9 cm
BC = 5 cm
D
C
Refaire cette figure en vraies grandeurs en laissant les traits de construction et en écrivant d’éventuels calculs qui vous
auraient permis sa réalisation.
2/2
correction
Exercice 1 (4 points : 2 – 2)
Affirmation 1 : Paul se trompe car (2 × 2 + 1 ) – ( 2 – 3 ) = 5 – ( – 1 ) = 6 donc 2 n’est pas solution.
Affirmation 2 : Mina se trompe.
d 230
On a d = 230 km et t = 2 h 30 min = 2,5 h donc sa vitesse moyenne est v = =
= 92 km/h
t 2,5
Exercice 2 (4 points : 1 – 1 – 1 – 1)
1) On fait : (7 + 3 ) ² – 25 = 100 – 25 = 75
2) On fait : ( – 4 + 3 ) ² – 25 = ( – 1 ) ² – 25 = 1 – 25 = – 24
3) • En choisissant le nombre x , ce programme de calcul correspond à la formule ( x + 3 ) ² – 25
En factorisant, on obtient : ( x + 3 ) ² – 25 = ( x + 3 ) ² – 5² = ( x + 3 + 5 ) ( x + 3 – 5 ) = ( x + 8 ) ( x – 2 )
Voilà pourquoi Estéban a raison.
• Pour obtenir 0 comme résultat, il faut choisir comme nombre x les solutions de l’équation ( x + 8 ) ( x – 2 ) = 0
Ces solutions sont – 8 et 2.
Exercice 3 (6 points : 2 – 1 – 1 – 1 – 1 )
Calcul du nombre de dalles nécessaires : en longueur il faut 640 : 40 = 16 dalles et en largeur il faut 400 : 40 = 10
dalles donc il faut en tout 16 × 10 = 160 dalles pour recouvrir le sol.
Calcul du nombre de lot de dalles à acheter : 160 : 12 ≈ 13,3. Il faudra donc 14 lots à acheter.
Prix des dalles à acheter : 14 × 14,90 = 208,6 €
Prix de la colle à acheter : le salon fait 4 × 6,4 = 25,6 m² donc il faudra 3 pots de colle, ce qui coûte 3 × 9,5 = 28,5 €
En tout, la dépense totale d’Olivier s’élèvera à : 208,6 + 28,5 = 237,1 €
Exercice 4 : (7 points : 1 – 1 – 1 – 1,5 – 1,5 – 1)
M. Lambda a gagné 4,2 millions d’euro au loto.
2
2
1)
de 4,2 millions fait × 4,2 = 0,56 millions
15
15
5
2) 5% de 4,2 millions fait
× 4,2 = 0,21 millions = 210 000 €
100
600 000 1
3) 600 000 € sur 4,2 millions d’euros représente
= ≈ 0,14 ≈ 14%
4 200 000 7
106
4) Si tout se passe comme il le pense, il aura alors 106% de 1,5 millions, donc
× 1,5 = 1,59 millions d’euros.
100
5) 4% → 50 000 €
100 × 50 000
100% →
= 1 250 000 €
4
il doit donc placer sur ce compte 1,25 millions d’euros pour obtenir ces intérêts.
6 ) Il dispose de 4,2 – ( 0,56 + 0,21 + 0,6 + 1,5 + 1,25 ) = 0,08 millions d’euros, donc de 80 000 €
Exercice 5 (4,5 points : 1 – 1,5 – 2)
1) f(8) = 6
1) les antécédents de 7 par la fonction f sont 1 ; 3 et 10
2) la fonction f atteint son minimum pour x = 5 et f ( 5 ) = 5
Exercice 6 : (5,5 points : 1 – 2 – 1 – 1,5)
1) C’est un tableau de proportionnalité
DE
EF
DF
Dimensions réelles
12 m
9m
15 m
Dimensions du dessin
6 cm
4,5 cm
7,5 cm
2) On a : DF² = 7,5² = 56,25 et ED² + EF² = 6² + 4,5² = 56,25 donc DF² = ED² + EF².
Donc le triangle DEF est rectangle en E d’après le théorème réciproque de Pythagore.
Le parc possède donc un angle droit en E.
L × l 12 × 9
3) l'aire de ce parc est : A =
=
= 54 m²
2
2
DE 6
6
4) Dans le triangle DEF est rectangle en E on a : cos ( ♀
D ) =
=
donc ♀
D = arccos ( ) ≈ 37°
DF 7,5
7,5
Exercice 7 : (5 points : 2,5 points le calcul de EB ou AD, 2,5 points la construction)
Il suffit de calculer EB ou AD pour pouvoir faire cette figure :
J’utilise le théorème de Thalès.
E ∈ [AC] 

EA ED AD
EB 9
4×9
AD 3,6
5×3,6
On a : E ∈ [BD]  donc
=
=
d’où
=
donc EB =
= 10 cm et
=
donc AD =
=2 cm
EC
EB
BC
4
3,6
3,6
5
9
9
(AD)//(BC) 
