TD4 - LGI

Cours Décisions et Critères multiples
Série 4
Théorie de l’utilité Problème 1 ( Pub ou pas pub ? ) A l’approche des fêtes, un grossiste en cadeaux d’entreprise prépare sa stratégie de
commercialisation. Il considère deux réactions possibles de sa clientèle :
• r1 : réaction favorable,
• r2 : réaction mitigée.
On notera p la probabilité d’observer la réaction r1.
Le grossiste estime qu’en cas de réaction mitigée, la marge nette réalisée sera d’un montant x.
Elle devrait être 3 fois plus élevée en cas de réaction favorable. Le grossiste s’interroge alors
sur l’opportunité d’effectuer une campagne de publicité. Le coût de cette campagne est
estimée à x. On considère qu’une campagne publicitaire permettra de doubler la marge en cas
de réaction favorable (r1). Cependant, elle n’aura aucun effet en cas de réaction mitigée (r2).
1- Tracer un arbre de décision représentant le problème du choix d’une stratégie de
communication.
2- Considérant un critère d’espérance mathématique des gains, donner la valeur
minimale de p conduisant à préférer le lancement de la campagne de publicité.
On considère maintenant que la valorisation des gains monétaires est recodée par une fonction
d’utilité u qui prend ses valeurs entre 0 et 1.
3- Considérant un critère d’espérance mathématique des utilités, donner, en fonction
de u(x) et de u(3x), la valeur minimale de p conduisant à préférer le lancement de la
campagne de publicité.
4- La notation (y,z;p) représente une loterie où l’on gagne la montant y avec la
probabilité p et le montant z avec la probabilité 1-p. le grossiste indique que :
• il est indifférent entre (3x,x;0,5) et (5x,0;0,5),
• il est indifférent entre (3x,x;0,8) et (5x,x;0,4),
Indiquer, dans ce cas, la valeur minimale de p conduisant à préférer le lancement de la
campagne de publicité.
Problème 2 (Stratégie d’emprunt optimale ) Il s’agit de définir une stratégie visant à obtenir le montant emprunté le plus élevé possible,
sachant que l’on risque de se heurter à l’humeur variable du prêteur. Dans le cas qui nous
intéresse, on envisage deux décision :
Cours Décisions et Critères multiples
• d1 :demander 100 K€ (somme qui risque d’aboutir au refus),
• d2 : demander 45 K€ (somme plus modeste située sous le seuil psychologique
des 50 K€).
On modélise l’humeur du prêteur selon 3 modalités :
h1 : très bonne humeur ,
h2 : humeur normale,
h3 : mauvaise humeur.
Une évaluation du montant obtenu selon l’humeur et la somme demandée est fournie dans le
tableau suivant :
d1
d2
h1
80
60
h2
60
45
H3
0
35
1- En l’absence d’information sur l’humeur du prêteur, on suppose que
p(h1) = p(h2) = p(h3), où p(hi) désigne la probabilité que le prêteur soit dans
l’humeur hi (i ∈ { 1, 2, 3 }), et l’on choisit la façon de formuler sa requête en calculant
l’espérance mathématique du montant du prêt obtenu.
• A quel critère de décision classique cette façon de procéder correspond-elle ?
• Déterminer la décision optimale selon ce critère.
Un individu (dont nous préférons conserver l’anonymat) s’intéresse au problème et envisage
de recourir à des fonctions d’utilité pour modéliser ses préférences. De plus, il souhaite fonder
son approche sur une meilleure connaissance quant à l’humeur du prêteur à son égard. Il
considère qu’un bon indice serait d’observer sa réaction quand on lui demandera d’emprunter
sa voiture. Soit V et V les événements « la voiture est prêtée » et « la voiture n’est pas
prêtée ». L’individu décide d’utiliser deux fonctions d’utilité u1 et u2 telles que ui(0) = 0
et ui(100) = 1 (i ∈ { 1, 2 }) de la forme u1(x) = ax2 et u2(x) = a’ x où a et a’ sont des
paramètres à déterminer. Il conserve l’hypothèse p(h1) = p(h2) = p(h3).
2- On se place dans le cas où l’événement V se réalise.
• Déterminer la valeur de a.
• Déterminer les utilités associées à chaque montant de prêt susceptible d’être obtenu.
• Déterminer la décision optimale selon le critère d’espérance mathématique des
utilités.
3- Déterminer la décision optimale dans le cas où l’événement V se réalise.
4‐
Enoncer une stratégie optimale de notre individu. Cours Décisions et Critères multiples
Problème 3 (construction d’une fonction d’utilité) On suppose qu’un Décideur se comporte dans le risque conformément au Max EU et cherche
à construire approximativement sa fonction d’utilité u sur l’intervalle de gains [0€, 105 €].
On notera (x, y, p) la loterie donnant le gain x avec probabilité p et le gain y avec probabilité
1−p. Des questions posées au Décideur il ressort qu’il est indifférent :
-
entre (105, 0, p) et (5* 104, 0, ½) avec p= 3/8 ;
entre (105, 0, q) et (2,5* 104, 0, ½) avec q=1/4 ;
entre (105, 0, z) et (104, 0, ½) avec z= 1/8 ;
1- Que peut on imposer à u ?
2- Représenter graphiquement u. Comment qualifierait-on l’attitude via-à-vis du risque
du décideur ?
3- Pour vérifier la fonction u trouvée, on cherche l’équivalent-certain de (5* 104, 104, ½)
Que s’attend-on à trouver ?