UE 4 Applications des équations différentielles

UE 4
Applications des équations différentielles
Dr. M-A Dronne
PACES, Pôle Est, Lyon
20 septembre 2011
1
Objectifs
1
Ecrire une équation différentielle selon le contexte
2
Reconnaître les caractéristiques d’une équation différentielle
3
Connaître les solutions de 2 types d’équations différentielles
4
Comprendre l’utilisation des équations différentielles dans 2
applications (épidémiologie, pharmacocinétique)
2
Plan
Plan du cours
I
Rappels de notations et définitions
I
Exemples
I
I
I
Bactériologie
Pharmacologie
Physique
I
Caractéristiques des équations différentielles
I
Solutions de 2 types d’équations différentielles
I
Applications
I
I
Epidémiologie
Pharmacocinétique
3
Rappels sur les notations des dérivées
Soit y une fonction de la variable t (on note y (t))
Dérivée première (= d’ordre 1) de y par rapport à t
y 0 (t) =
dy (t)
dt
Dérivée seconde (= d’ordre 2) de y par rapport à t
y 00 (t) = y (2) (t) =
d 2 y (t)
dt 2
Dérivée n ième (= d’ordre n) de y par rapport à t
y (n) (t) =
d n y (t)
dt n
4
Rappels sur les notations des dérivées
Remarque 1
Ne pas confondre la notation puissance et la notation de l’ordre
de dérivation :
I
y (2) = y 00 ⇒ dérivée d’ordre 2 de y
I
y 2 = y × y ⇒ y élevé à la puissance 2
Remarque 2
En physique, utilisation de la notation ẏ et ÿ pour les dérivées
par rapport au temps.
I
ẏ = y 0 ⇒ dérivée première de y par rapport au temps
I
ÿ = y 00 ⇒ dérivée seconde de y par rapport au temps
5
Rappels sur les calculs de dérivées
Formules usuelles de dérivation
cf. fiches sur spiral
I
Dérivées de fonctions
I
Dérivées de fonctions composées
6
Equations différentielles (ED)
Généralités
Définition d’une ED
Une équation différentielle (ordinaire) est une équation dont
l’inconnue y est une fonction et qui fait intervenir au moins une
dérivée de y :
y 0 et/ou y 00 et/ou ... et/ou y (n)
Exemples
Soit y une fonction de t
5y (3) = 7 cos t
00
0
2y + (2t)y + 5 = 6t
2
→ ED
→ ED
2
4y + 3t = 7 → pas ED
7
Equations différentielles (ED)
Généralités
Objectif
I
L’objectif est de résoudre l’ED afin de déterminer
l’expression de y en fonction de t. On dit aussi que l’on
"intègre" l’ED.
⇒ Solution : y (t)
I
L’expression y (t) est la solution générale de l’ED.
Solution générale
I
Si l’ED est d’ordre 1, sa solution générale comporte 1
constante arbitraire. Cette expression définit donc une
famille de solutions.
I
Si l’ED est d’ordre n, sa solution générale comporte n
constantes arbitraires.
8
Equations différentielles
Généralités
Condition(s) initiale(s)
Pour pouvoir calculer la (ou les) constante(s) arbitraire(s) et
trouver ainsi la solution recherchée, il faut connaître une (ou
plusieurs) conditions initiales (CI).
I
Si l’ED est d’ordre 1, il faut connaître 1 CI.
Il s’agit par exemple de la valeur de y quand t = 0.
y (0) = y0
I
Si l’ED est d’ordre n, il faut connaître n CI.
9
Système d’équations différentielles
Généralités
Définition d’un système d’ED
Un système d’ED (ou système différentiel) comporte plusieurs
ED liées entre elles (= qui dépendent les unes des autres).
Exemple
Soit y1 et y2 deux fonctions de t.
0
y1 = 2y1 + 5y2
y20 = 4y1 + 2y2
(1)
Il s’agit d’un système d’ED. Chaque ED dépend de y1 et de y2 .
10
Système d’équations différentielles
Généralités
Objectif
L’objectif est de résoudre le système afin de déterminer les
expressions des fonctions y1 , y2 ,..., yn en fonction de t.
⇒ Solution : y1 (t), y2 (t), ..., yn (t)
Conditions initiales
Pour trouver la solution recherchée, il faut avoir des conditions
initiales (CI).
S’il y a n ED d’ordre 1 dans le système, il faut n CI.
Il s’agit par exemple des valeurs des fonctions y1 , y2 ,...yn
quand t = 0.
y1 (0) = y10 , y2 (0) = y20 , ..., yn (0) = yn0
11
Exemple 1
Bactériologie
Enoncé du problème
I
Soit une population de bactéries qui se développent dans
un milieu favorable (listeria dans du fromage au lait cru).
I
On veut connaître le nombre de bactéries au cours du
temps afin de déterminer une date limite de consommation
(= temps au delà duquel le nombre de bactéries devient
dangereux pour la santé).
Schéma du problème
T=0
B(0) = B0
T = t1
B(t1)
T = t2
B(t2)
12
Exemple 1
Bactériologie
Hypothèse simple
"Production" de bactéries proportionnelle au nombre de
bactéries présentes à chaque instant.
Formulation par une ED
Soit B le nombre de bactéries (fonction du temps t) :
dB
= k .B
dt
avec B(0) = B0
k : coefficient de proportionnalité (réel)
13
Exemple 1
Bactériologie
Solution de l’ED
Solution ⇒ B(t) = B0 .ekt
Graphique
Evolution de B(t)
⇒ Modèle
mono-exponentiel
Nombre de bacteries
Bmax
Tmax : date limite de
consommation (temps
auquel B > Bmax )
Temps
Tmax
14
Exemple 2
Pharmacologie
Enoncé du problème
I
Soit un complexe qui se forme lorsqu’un ligand se fixe sur
un récepteur et qui devient alors actif pour transmettre un
"signal" à l’intérieur de la cellule lui permettant de produire
une protéine particulière.
I
On veut connaître la concentration en complexe au cours
du temps afin d’en déduire la concentration en protéines
produite par la cellule.
Schéma du problème
Ligands
Complexes
Récepteurs
Protéine
15
Exemple 2
Pharmacologie
Hypothèses simples
I
Réaction irréversible : L + R → C
I
Pas de production ni de dégradation de L, R ou C
I
"Production" de C proportionnelle aux concentrations de L
et R présents dans le milieu.
Formulation par un système d’ED
3 espèces : L (ligand), R (récepteur) et C (complexe) :

d[C]


= k .[L][R]
(avec [C](0) = 0)



dt


d[L]
= −k .[L][R] (avec [L](0) = L0 )

dt





 d[R] = −k .[L][R] (avec [R](0) = R0 )
dt
k : vitesse de réaction (k ∈ R)
(2)
16
Exemple 2
Pharmacologie
Solution du système
Solution ⇒ [C](t), [L](t) et [R](t)
Graphique
Evolution de L(t), de R(t) et de C(t)
Ligands
Recepteurs
Concentration
Complexes
Temps
Etape suivante : détermination de la production de protéine
([P](t)) à chaque instant à partir de [C](t)
17
Exemple 3
Physique (mécanique (cf. cours TS))
Enoncé du problème
I
Soit un solide de masse m soumis à un ressort de
constante de raideur k .
I
On veut connaître l’évolution de sa position au cours du
temps.
Schéma du problème
F
0
P : poids du mobile
R : force de réaction
F : force de rappel
R
P
x
18
Exemple 3
Physique (mécanique (cf. cours TS))
Hypothèse simple
Absence de frottement
Formulation par une ED
I
Fonction : x (position du mobile sur (Ox))
I
Equation du mouvement du solide selon l’axe (Ox) :
m
d 2x
+ kx = 0 ⇐⇒ mẍ + kx = 0
dt 2
Conditions initiales
I
ED d’ordre 2 ⇒ 2 CI
I
Exemple :
x(0) = x0 et ẋ(0) =
dx(0)
= v0
dt
19
Exemple 3
Physique (mécanique (cf. cours TS))
Solution de l’ED
Solution ⇒ x(t) : fonction trigonométrique (cos)
Graphique
Evolution de x(t)
x0
position
⇒ Régime périodique
t
20
Synthèse des 3 exemples
ED trouvées
I
Bactériologie =⇒
I
Pharmacologie
dB
= k .B
dt

d[C]





dt


d[L]
 dt





 d[R]
dt
I
= k .[L][R]
= −k .[L][R]
= −k .[L][R]
Physique =⇒ mẍ + kx = 0
⇒ Caractéristiques (et solutions) des ED très différentes
21
Caractéristiques des ED
Caractéristiques à savoir reconnaître
I
Ordre
I
Linéarité / non linéarité
I
Coefficients constants / non constants
I
Avec / sans second membre
22
Caractéristiques des ED
Ordre
Définition
L’ordre de l’ED est l’ordre de la plus haute dérivée.
Exemples
2y 0 + (2t)y 2 + 5 = 6t 2 → ED du 1er ordre
4y (2) + 3y 0 + (cos t)y = 7 → ED du 2nd ordre
23
Caractéristiques des ED
Linéarité
Définition
Une ED linéaire ne contient pas de termes non linéaires en y
Exemples de termes non linéaires (en y )
I
√
y , 1/y , ln(y ), cos(y ), sin(y ), ...
√ 0
02
0n
y , y , y , 1/y 0 , ln(y 0 ), cos(y 0 ), sin(y 0 ), ...
I
yy 0 , y /y 0
I
y 2, y n,
Exemples
4y 00 + 3y 0 + (cos t)y = 7t 3 → ED linéaire
4y 00 + 3y 0 + (y + t)y = 7 → ED non linéaire
4y 00 + 3yy 0 + 7y = 7 → ED non linéaire
24
Caractéristiques des ED
Coefficients
Définition
I
Les coefficients sont les termes situés devant y , y 0 , y 00 ,...
I
Ils sont dits non constants s’ils dépendent de t.
Exemples
4y 00 + 3y 0 + 7y = cos t
00
→ Coefficients constants
0
4y + (3t)y + 7y = 8 → Coefficients non constants
25
Caractéristiques des ED
Second membre
Définition
I
Le 2nd membre regroupe l’ensemble des termes de l’ED
qui ne comportent ni y ni y 0 ni y 00 ...
I
Il peut être constant ou fonction de t.
I
Il se met classiquement à droite du signe égal.
Exemples
4y 00 + 3y 0 = cos t
→ 2nd membre : d(t) = cos t
4y 00 + 3y 0 + sin t + 6 = 0 → 2nd membre : d(t) = − sin t − 6
4y 00 + 3y 0 + (sin t)y = 0 → 2nd membre : d(t) = 0
⇒ équation sans 2nd membre
26
Caractéristiques des systèmes d’ED
Caractéristiques à savoir reconnaître
I
Ordre
I
Linéarité / non linéarité
I
Coefficients constants / non constants
I
Avec / sans second membre
27
Caractéristiques des systèmes d’ED
Ordre
Définition
L’ordre d’un système est l’ordre de l’ED qui a la plus haute
dérivée.
Exemple
Soit y1 et y2 deux fonctions de t.
(
y10 = 2y1 + 3y2
y200 = y20 + 4y1
(3)
⇒ Système d’ordre 2
28
Caractéristiques des systèmes d’ED
Linéarité
Définition
Un système est dit linéaire si toutes ses ED sont linéaires (=
pas de terme non linéaire en chacune des fonctions et pas de
terme "mixte").
Exemple
Soit y1 et y2 deux fonctions de t.
(
y10 = 2y1 + 3y2 + 7t 2
y20 = y1 + 4y1 × y2
(4)
⇒ Système non linéaire (terme mixte y1 × y2 )
29
Caractéristiques des systèmes d’ED
Coefficients
Définition
Un système est dit "à coefficients constants" si toutes les ED
sont à coefficients constants.
Exemple
Soit y1 et y2 deux fonctions de t.
(
2y10 = 2y1 + 3y2 + sin t
√
y20 = y1 + 4y2 + 5 t
(5)
⇒ Système à coefficients constants
30
Caractéristiques des systèmes d’ED
Second membre
Définition
Un système est dit "avec second membre" si au moins une des
ED du système comporte un second membre.
Exemple
Soit y1 et y2 deux fonctions de t.
(
y10 = 3ty1 + 2y2 + sin t
y20 = y1 + 4y2
(6)
⇒ Système avec second membre
31
Caractéristiques des ED des exemples
Bactériologie (fonction B)
dB
= k .B ⇐⇒ B 0 − kB = 0
(k ∈ R)
dt
⇒ ED linéaire, du 1er ordre, à coefficients constants et sans 2nd
membre.
Pharmacologie (fonctions [C], [L] et [R])

d[C]


= k .[L][R]



dt


d[L]
= −k .[L][R]

dt





 d[R] = −k .[L][R]
dt
⇒ Système d’ED non linéaire, du 1er ordre, à coefficients
constants et sans second membre.
32
Caractéristiques des ED des exemples
Physique (fonction x)
mẍ + kx = 0 ⇐⇒ mx 00 + kx = 0
(m et k ∈ R)
⇒ ED linéaire, du 2nd ordre, à coefficients constants et sans 2nd
membre.
33
Solutions des ED
Généralités
Définition
I
Soit y une fonction de t et soit une ED de y.
I
Résoudre cette ED revient à trouver l’expression de y en
fonction de t.
I
Cette expression y (t) est la solution générale de l’ED.
Remarques
I
Si l’ED est d’ordre 1, la solution générale comporte une
constante arbitraire ⇒ il faut 1 CI
I
Si l’ED est d’ordre n, la solution générale comporte n
constantes arbitraires ⇒ il faut n CI
34
Solutions de certaines ED
Cas à connaître
Soit y une fonction de t
I
Cas n˚1 :
y 0 = g(t) × y
I
Cas n˚2 (cas particulier) :
y0 = a × y
(a ∈ R) (cf. cours TS)
35
Solutions de certaines ED
Cas n˚1
Présentation de l’ED
y 0 = g(t) × y ⇐⇒ y 0 − g(t) × y = 0
g(t) : fonction de t
⇒ ED linéaire, du 1er ordre, à coefficients non constants et
sans second membre.
Solution
Solution générale de cette ED :
y (t) = K .eG(t)
(K ∈ R)
G(t) : primitive de g(t)
36
Solutions de certaines ED
cas n˚1
Remarques
I
Solution à connaître mais démonstration (sur Spiral) pas
au programme PACES
I
Rappels des calculs de primitives (cf. fiche sur Spiral)
Exemple : primitive de 1/y ⇒ ln |y |
I
Rappels des propriétés des exp et des ln (cf. fiche sur
Spiral)
Exemple : e(a+b) = ea × eb
37
Solutions de certaines ED
Cas n˚2
Présentation de l’ED (cf. cours TS)
y 0 = a × y ⇐⇒ y 0 − ay = 0
(a ∈ R)
⇒ ED linéaire, du 1er ordre à coefficients constants et sans
second membre.
Solution
Solution générale de cette ED :
y (t) = λ.eat
(λ ∈ R)
38
Solutions de certaines ED
Cas n˚2
Démonstration
I
Cas particulier du cas précédent pour g(t) = a
I
Primitive de g(t) :
G(t) = at + b (b ∈ R)
I
Solution :
y (t) = K .eG(t) = K .e(at+b)
I
Avec les propriétés de l’exponentielle :
y (t) = K × eat × eb = (Keb ) × eat
I
(Keb ) : constante que l’on peut appeler λ
I
Solution générale de l’ED :
y (t) = λ.eat
(λ ∈ R)
39
Solutions de certaines ED
Cas n˚2
Utilisation de la CI
I
Solution générale de l’ED :
y (t) = λ.eat
(λ ∈ R)
I
Utilisation de la CI pour trouver la valeur de λ :
(
y (0) = y0
⇒ λ = y0
y (0) = λe0 = λ
I
Solution recherchée :
y (t) = y0 eat
Exemple de bactériologie
Solution recherchée : B(t) = B0 ekt
40
Applications
Applications présentées
I
Epidémiologie
I
I
I
Modèle SI (susceptibles - infectés)
Modèle SIR (susceptibles - infectés - retirés)
Pharmacocinétique (PK : pharmacokinetics)
41
Application en épidémiologie
Modèle SI
Enoncé du problème
Soit une maladie contagieuse (rougeole) qui touche une
population de n individus. On considère 2 groupes :
I
"Susceptibles" (non malades mais pouvant attraper la
maladie)
I
"Infectés" (malades et contagieux).
On veut connaître le nombre de malades à chaque instant.
Schéma du problème
k
S
(susceptibles)
I
(infectés)
42
Application en épidémiologie
Modèle SI
Hypothèse simple
On suppose que l’augmentation du nombre de malades est
proportionnelle au nombre de susceptibles et de malades
(contact nécessaire).
Système d’ED
2 groupes : S (susceptibles) et I (infectés) :

dS


dt

 dI
dt
= −k .S.I
(avec S(0) = S0 )
= k .S.I
(avec I(0) = I0 )
(7)
k : taux de contamination
Hypothèse : S(t) + I(t) = n
43
Application en épidémiologie
Modèle SI
Solution du système
Solution ⇒ I(t) et S(t)
Graphique
Evolution de S(t) et de I(t)
I0 = 1, S0 = 500
k = 0.001
Nombre d individus
500
S
400
I
⇒ Toute la population
devient infectée
300
200
100
0
0
10
20
30
40
Temps (jours)
50
60
44
Application en épidémiologie
Modèle SIR
Enoncé du problème
Soit une maladie contagieuse (rougeole) qui touche une
population de n individus. On considère 3 groupes :
I
"Susceptibles" (non malades mais pouvant attraper la
maladie)
I
"Infectés" (malades et contagieux)
I
"Retirés" (morts ou mis en quarantaine ou immunisés = ne
pouvant plus ni attraper la maladie ni la transmettre).
On veut connaître le nombre de malades à chaque instant et le
nombre de personnes à vacciner pour éviter une épidémie.
45
Application en épidémiologie
Modèle SIR
Schéma du problème
k
S
(susceptibles)
R
(retirés)
I
(infectés)
r
Historique
1ers modèles SIR par Kermack et McKendrick en 1927 à partir
de données épidémiologiques de la peste de Bombay
(1905-1906)
46
Application en épidémiologie
Modèle SIR
Système d’ED
3 groupes : S (susceptibles), I (infectés) et R (retirés) :

dS


= −k .S.I
(avec S(0) = S0 )



dt


dI
= k .S.I − r .I (avec I(0) = I0 )

dt




dR


= r .I
(avec R(0) = 0)
dt
(8)
k : taux de contamination
r : taux de retrait
⇒ Système non linéaire, du 1er ordre à coefficients constants
sans second membre
Hypothèse : S(t) + I(t) + R(t) = n
47
Application en épidémiologie
Modèle SIR
Solution du système
Solution ⇒ I(t), S(t) et R(t)
Graphique (avec un 1er jeu de CI)
Evolution de S(t), de I(t) et de R(t)
I0 = 1, S0 = 500, R0 = 0
k = 0.001, r = 0.1
Nombre d individus
500
400
S
I
300
⇒ Pic épidémique au
21ème jour
R
200
100
0
0
10
20
30
40
Temps (jours)
50
60
48
Application en épidémiologie
Modèle SIR
Solution du système
Solution ⇒ I(t), S(t) et R(t)
Graphique (avec un 2ème jeu de CI)
Evolution de S(t), de I(t) et de R(t)
100
I0 = 1, S0 = 95, R0 = 0
k = 0.001, r = 0.1
Nombre d individus
80
S
60
I
⇒ Absence d’épidémie
R
40
20
0
0
10
20
30
40
Temps (jours)
50
60
49
Application en épidémiologie
Modèle SIR
Etape suivante
Détermination d’un "taux" de vaccination v pour diminuer le
nombre de susceptibles :
k
S
(susceptibles)
v
R
(retirés)
I
(infectés)
r

dS





dt


dI

dt




dR


dt
= −k .S.I − v .S
= k .S.I − r .I
= r .I + v .S
50
Application en épidémiologie
Modèle SIR
Solution du système
Solution ⇒ I(t), S(t) et R(t)
Graphique
Evolution de S(t), de I(t) et de R(t)
I0 = 1, S0 = 500, R0 = 0
k = 0.001, r = 0.1, v = 0.1
Nombre d individus
500
400
S
I
300
⇒ Absence d’épidémie
R
200
100
0
0
10
20
30
40
Temps (jours)
50
60
51
Application en pharmacocinétique
Introduction
Définition
Etude du devenir d’un principe actif (PA) dans l’organisme
Objectif
Concentration
Etude
de
l’évolution temporelle de la
concentration en PA
dans le compartiment
d’intérêt : C(t)
Effets indésirables
Marge
thérapeutique
= Index
thérapeutique
Plage des concentrations utiles
Inefficacité
Temps
52
Application en pharmacocinétique
Introduction
Problème
On administre à un patient un analgésique et on souhaite
étudier la façon dont évolue la concentration plasmatique (C)
de ce médicament au cours du temps et selon différents
schémas d’administration :
I
Par voie intraveineuse (IV), en bolus (= de façon
instantanée)
I
Par voie orale (= per os = PO), en 1 prise
53
Application en pharmacocinétique
Modèle mono-compartimental, IV bolus
Partie I
I
On administre tout d’abord au patient une dose (D) de cet
analgésique par voie IV, en bolus.
I
On considère un modèle mono-compartimental dans
lequel le PA est éliminé du compartiment central avec une
constante d’élimination ke .
Schéma du problème
D
C
(compartiment central)
ke
54
Application en pharmacocinétique
Modèle mono-compartimental, IV bolus
Formulation par une ED
I
CI : concentration dans le compartiment central
immédiatement maximale :
C(0) = C0 =
D
V
V : volume de distribution
I
ED : diminution de PA dans le compartiment central
fonction de l’élimination :
dC
= −ke .C ⇐⇒ C 0 + ke C = 0
dt
Type d’ED
ED linéaire du 1er ordre à coefficients constants et sans 2nd
membre
55
Application en pharmacocinétique
Modèle mono-compartimental, IV bolus
Solution de l’ED
Solution ⇒ C(t) = C0 e−ke t
Graphique
Evolution de C(t) en IV bolus
⇒ Modèle
mono-exponentiel
décroissant
Concentration
C0
C0/2
T1/2 : demi-vie du PA
(= temps pour lequel
C = C0 /2)
T1/2
Temps
56
Application en pharmacocinétique
Modèle "mono-compartimental", PO, 1 prise
Partie II
I
On administre ensuite à ce patient une dose (D)
d’analgésique par voie orale en 1 prise.
I
On considère un modèle dans lequel le PA est absorbé
dans le compartiment central avec une constante
d’absorption ka et en est éliminé avec une constante
d’élimination ke .
Schéma du problème
D
Ca
k
(compartiment a
d’absorption)
C
(compartiment
central)
ke
57
Application en pharmacocinétique
Modèle "mono-compartimental", PO, 1 prise
Remarque
Ce modèle est dit mono-compartimental car le compartiment
d’absorption n’est pas compté comme un compartiment (=
compartiment "virtuel")
Système d’ED

dCa


= −ka Ca
(avec Ca (0) = VD )
dt
(9)

 dC = k C − k C (avec C(0) = 0)
a a
e
dt
⇒ Système linéaire du 1er ordre à coefficients constants sans
second membre
58
Application en pharmacocinétique
Modèle "mono-compartimental", PO, 1 prise
Solution du système
Solution ⇒ Ca (t) et C(t)
Graphique
Evolution de C(t) en VO 1 prise
⇒ Modèle bi-exponentiel
Cmax
0.3
Concentration
0.25
Tmax : temps auquel
C = Cmax
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
Tmax
10
15
Temps
59
Comparaison de profils pharmacocinétiques
Administrations à dose unique
Concentration
plasmatique
intraveineuse
intramusculaire
sous-cutanée
orale
Temps
60
Pharmacocinétique / pharmacodynamie
Modèles et applications
I
Pharmacocinétique (PK)
⇒ C(t) en fonction de D(t)
I
Pharmacodynamie (PD)
⇒ E(t) en fonction de C(t)
I
PK/PD
Concentration
plasmatique
Dose
D(t)
I
Modèle
PK
C(t)
Modèle
PD
Effet
E(t)
PK/PD de population
⇒ nécessaire pour les dossiers d’AMM (Autorisation de
Mise sur le Marché) des médicaments
61
Documents sur Spiral Connect
Liste des documents
I
Diaporama de cours
I
Fiches de cours
I
I
I
Rappels sur les dérivées, les primitives et les fonctions ln et
exp
Résolution de l’ED du cas n˚1 (solution à connaître mais
démonstration pas au programme PACES)
Exemples de QCM
62