Matematisk Seminar Universitetet i Oslo Nr. 12 November

Matematisk Seminar
Universitetet i Oslo
Nr. 12
November 1963
QUELQUES REMARQUES SUR LA COHOMOLOGIE ET LYHOMOLOGIE
DYUN ESPACE TOPOLOGIQUE
Par
Olav Arnfinn Laudal
- 1 -
INTRODUCTION
((3)) , ((4)) , ((5)) Zeeman a demontre des
Dans une suite de t~aveaux
theoremes interessants sur les sujets suivants
1.
Les relations entre differentes theories d'homologie et de cohomologie.
2.
La theorie sp~ctrale des applications simpliciales et continues.
3. La dualite de Poincare des espaces generaux.
Le but de cet expose est de montrer comment ces resultats peuvent etre obtenues par la methode introduit par l'auteur dans
qui vont
~tre
((2)) •
Les resultats
exposes sont done pour la plupart dfi originalement
a Ze~ano
Les points clefs de notre expose sont les lemmes 1. et 2. qui ensemble
montrent que la theorie singuliere des espaces topologiques entre dans le
context des ensembles ordonnes.
Le lemme 2. etant abordee vaguement dans
((2)) ' a recemment ete demontre par Mr. John Johnsen
a qui
nous exprimons
notre gratitude de nous l'avoir communique.
Une foiBles lemmes 1. et 2. demontrees, le reste suit immediatement
la theorie generale de
((2)) •
d~
Ceci explique naturellement la pauvrete des
demonstration ci-dessous.
§ 1.
Nous rapplons ici quelques resultats sur les
l~nites
projectives et inT
Pour un expose detaille le lecteur pourra consult e.
ductives.
Soit
A
un ensemble ordonne, et soit
Ao
Par
Ao
nous noterons le sous-ensemble de
qui sont plus petits qu?un element de
Par
Ao
no us noterons l'ensemble
Ao
A
0
un sous-ensemble de
~
A
((2))
A
des elements
.
muni de l'ordre oppose.
On peut considerer tout ensemble ordonne comme une categorie. Soit done
- 2 -
L
un anneau et
L
la categorie des
Mod L
-modules et homomorphismes
de tels, alors on peut considerer la categorie des foncteurs sur
objet
dans
F de ()
~
Nous noterons cette categorie par
valeurs dans Mod 1...
sera appelle un systeme projectif sur
1\
J\
a
, et tout
a valeurs
ModL
On sait que
{;
est une categorie abelienne possedant suffisemment
d'objets projectifs et injectifso
nous avons defini un foncteur
Pour tout sous-ensemble
covariant, exact
a gauche
a droite)
(resp.
lim
----.Jo
~
1\j/\
(resp.
Mod I-
0
--~> ModL)
lim
--+
A/A 0
et un foncteur resolvant (terminologie de Grothendieck, voir Toheku)
Ajl\
11. 0
(respo
sur la categorie
~
a valeurs
)
dans la categorie des complexes de cochaines
(resp. de chaines) sur la categorie Mod l.
; c vest
foncteur
wcrr-F)
A/I\0
A II\ 0
(resp.
G
r-----'
H.(
U
.G) )
a dire
tel que le
- 3 ..
sYidentifie avec le foncteur
(resp.
~(.)
{;
--~)d-1od L.. )
}/t\0
L e mm e
et soit
Ev
Soit
1 •
= { Ev n]
posons que pour tout
des faces de
e
Considerons
p
E
= { En}
n '>/ 0
p
'.? 0
n
un ensemble semi-simplicial,
un sous-ensemble semi-simplicial de
et tout
e ·
p
~
E •
Sup-
l'ensemble semi-simplicial
E
p
est ascyclique.
E comme un ensemble ordonne par la relation
11
facevv et con-
L -module M comme un systeme projectif constant sur E
siderons tout
~ -foncteurs (resp. de
Nous avons alors un isomorphisme de
l l.m( o) M "-- H" (E Ev
'
~
;
(resp o
M)
lim( ) M ~ H.(E,E'; M) )
-~
E/E
.
§2.
X un espace topologique.
Nous designons par
ordonne, par inclusion, des ouverts non vides de
des recouvrements ouverts de
des
0 f OX
petits dVordre
X , et si
)A
tl E
OX l'ensemble
MX
X , par
MX ,
lYensemble
A
par
U
~
() -foncteurs)
E/EY
Soit
ep
l Y ensemble
- 4De m@me nous designons par
E(X)
'U. 1-
plexes singuliers de X • Si
ens~ble
de
E(X)
~
on designe par
Eu (X)
des simplexes singuliers petits d'ordre
Il est facile de voir que E(X)
Lemme 1.
lVensemble semi-simplicial des sim-
ne satisfait pas
a la
le sous-
'U·
condition du
Pour remedier cette situation on considere le sous-ensemble semiy
simplicial E (X)
(resp.
de E(X)
(resp.
E u(X) )
des sim-
ple.x.es singuliers
X
tels que
<S
distingue les sommets du simplexe type
t
Il est facile de voir que E (X)
ditions du Lemme 1.
Lemme
2
(resp.
A p o
E ''U (X) ) satisfait aux: con-
De plus on ale:
(John Johnsen).
o
Pour tout espace topologique
T1 , X,
lVinjection canonique
'
E (X) ---) E(X)
(resp.
est une equivalence d'homotopie.
En particulier elle induit des isomorphisms
en homologie et en cohomologie.
La demonstration etant longue et assez technique ne sera pas donnee ici.
Utilisant ce lemme et le theoreme
que pour tout
"U. 1 1T €- M:x , U > tr'
E''If (X) c. E'U (X)
(8.5o1) de ((1)) nous constat .ens
~ l vinjection canonique
induit des isomorphismes en homologie et en cohomologie.
Etant donne en ensemble
ordonne des sous-ensembles de
S quelconque, notons par
S •
jP S
l'ensemble
- 5-
Pour tout
U f: M_x conside:r-ons alors 1Y application:
definie par:
~ (0) = fo I
Il est clair que si
fT
0 C 0'
E:-
01
alors
(0) c
a{
E1 (X) 'sup(cr)'"
y
'b{. (0 )
Done nous avons un homomorphisme de double complexes:
TT
n· n·
4
y
it
E 'l.J(X)
~ (0)
( 1)
A
v._o
(resp.
~(0)0
E'u(X)o
u. )
Ll. ll.
Utilisant le theoreme
(3.1)
de
((2))
nous savons que cet homomorphisme
induit des isomorphismes en cohomologie (resp. homologie).
LYhomomorphisme
(1)
induit un homomorphisme:
- 6Designons par
H"(X,::t)
(:resp.
H.(X;±) )
la cohomologie (resp. 19homo-
logie) du complexe double:
r1x
I \
•
TT ::lt
(resp.
-·A
11
H3(X,::t)
par:
(resp.
H~(X,::t) ) la cohomologie (resp. lYhomologie)
singulier, et par:
(resp. d{ ~ (::t)
J.e 3C:t)
le systeme projectif sur
/'
ll
"
1A
(resp.
0
),
)
cohomologie (resp. homologie)
du systeme projectif
0 ~
n·
(0)
::lt
(resp.
~
Nous avons alors:
T h
eo
r e me
1 •
Il existe une suite spectrale donnee par le terme:
(resp.
aboutissant toujours (resp. si X est de dimension fini, et sYil existe un
N tel que
~
s (:t)
q
= 0
pour tout
logie) singulier de lYespace X •
1)--~-------~-
VOlr
p.
1.
q ~N)
ala cohomologie (resp. l'homo-
- 7-
Demo n s t r a t i o n •
~tre
remplace par
lim
---?
MX est filtrant
Puisque
qui est exact.
MX
ll.
peut
Le reste est une exercise facile
MX
de suites spectrales (resp. par un argument de cofinalitude on peut supposer
.....
Uo a-t(O)o
que 1a deuxieme graduation de
TI . lL .U .
est borne inferieurement,
~
Q.E.D.
le reste est facile).
,vrr
On remarquera que le rvedge-homomorphismvv donne'homomorphisme
¢•
(resp.
¢.
s
H.. (X,x)
Co r o 1 l a i r e 1 •
H.(X,x) )
Supposons que
X est paracompact et que le
faisceau engendre par le prefaisceau ~;(M)
0
ou on suppose quYil est constant egal
a
est null sauf en dimension
M ' alors il existe un iso-
morphisme canonique
¢"
H"(X,M) ---.-.-+). H;(x,M)
Co r o l l a i r e 2 •
HCL
Supposons que
X est de dimensi0n
fini et
alors il existe un isomorphisme canonique
' ¢.
H~(X,M) ----+) nH• (X,M)
Co r o l l a i r e 3 •
Soit
un recouvrement de X (pas
necessairement ouvert) tels que les interieurs des elements de
X , alors il existe une suite spectrale donnee par:
if
recouvrent
... 8-
p,q
E
2
=
(resp.
ou
tT
lim( ) Hs(v,x) )
q
1j-O
-+ p
est l'ensemble ordonne par inclusion des intersections non-vides
d'elements de
tr '
aboutissant ala cohomologie (resp. lihomologie)
singulier
H"(X,x)
s
Co r o 1 1 a i r e
(resp.
4 .
H~ (X,x) )
Sur la categorie des complexes
simpliciau~
a la
cohomologie
la cohomologie (resp. l'homologie) singulier s'identifie
(resp. l'homologie) simplicial.
Zeeman demontre des theoremes plus forts puisqu'il peut affirmer la
fonctoralite des suites spectrales.
la-dessus, voir a la fin du
Soient maintenant
K1
une application simplicial.
Pour le moment nous n'insisteront pas
§4.
et
K2
des complexes simpliciaux et soit
Considerons l'application
K -----l>> rv K
2
,;- 1
- 9definie par:
t<51 t 6 1 f
Il est clair que si
eo
~ ( 6 1) E. () 21
on a
Il resulte alors trivialement de
T h
K1 '
r e me
2 •
(3,2)
de
((2)) •
Il existe une suite spectrale donnee par:
(resp.
aboutissant
(resp.
a
H"(K1 )
(resp.
H.(K1 ) ).
Ici nous~signons par
H.(~) ) le sy~teme projectif sur
() ~
K2
(resp.
H"(a{)
K~ )
H"(~(<f))
(resp.
Supposons maintenant que
f
x--4>)'
K
est une application continue dVun espace topologique dans un complexe
plicial.
En considerant le recouvrement
des simplexes de
K on voit que
V
=
tr
de
si~
K formes des etoiles
'1f et on peut definir une applica-
- 10 -
tion
......
'tr
ou
1A
----~ j) (Ev (X))
X l'~nage inverse par
est le recouvrement ouvert de
f
de
tr
Posons, en effet
~(V)
=
{ <$
J6 E:
il est alors facile de voir que
de
((2)) •
Th
eo
E~(X) , f(6") E E(V) j
~
satisfait aux conditions de
(3,2)
Done nous avons:
Il existe une suite spectrale donnee par
r e me
=
(resp.
aboutissant
a
H"(X)
(resp.
s
Co r o l l a i r e •
trivial
F-?
X~
H~(X) ) •
Supposons que
f
est un espace fibre localement
K ; alors la suite spectrale ci-dessus est donnee par
Dans le cas general, d'une application continue,
f
:
considerons l'application
X
~
Y
- 11 -
defini par:
Alo~s
on fabrique une suite spectrale donnee par le terme
=
(resp.
qui aboutit toujours (resp. si
N ~ 0
Y est de dimension fini et sWil existe un
tel que pour tout
pour tout
on a ,
q ~ N ) •.
Pour la definition du
voir
n
H.(X)
oU X est de dimension
((2)) •
De meme, definissons
par
alors on peut fabriquer une suite spectrale donnee par
(resp.
~
p,q
n
~
- 12 aboutissant si
et si
Y est compact (resp. si
Y est compact de dimension finie
X est de dimension finie)
H"(X)
(resp.
H. (X) )
m
Pour terminer ce paragraphe considerons l'application
comme ci-dessus et supposons que
(f2
i
E E (Y)
X---) Y
Y est connexe par arc.s.
alors facilement que pour tout simplex singulier
un simplex singulier
f
tel que
On demontre
C!t 1 E: E' (X)
supp(f
o1 )
C
il existe
supp( 0 2 ) •
L'application
E' (Y)
J' E
y
(X)
sera dSfini par:
H~(a€)
Nous notons par
)
le systeme projectif sur
On peut alors affirmer:
T h e o r
(resp.
em e
4 •
Il existe une suite spectrale donne par
E'(Y)
13 aboutissant
a
H"(X)
s
(resp.
H~(X) ) •
a utiliser
CYest ici le seul endroit ou nous sommes forces
le lemme 2, done il faut supposer que X est
avons pu utiliser le complexe singulier
complexe
n.
EY (X)
T1 o Partout ailleurs nous
Co(X)
(resp.
C.(X) ) au lieu du
E' (X) 0
l_l. ). La raison pour laquelle nous n 7 avons
(resp.
pas adopte cette derniere methode est qu'en utilisant le lemme 2 les resultats ci-dessus deviennent des corollaires des resultats generaux de
((2))
y
Cependant, parceque E (X)
n'est pas fonctoriel en X ,il faut pour
pouvoir affirmer la fonctoralite des suites spectrales ci-dessus, utiliser
l'autre methode.
La procedure etant assez triviale nous nous limitons
a
cette remarque.
Pour simplifier, et pour assurer la convergence des suites spectrales
qui interviennent, nous allons supposer dans la suite que X est un espace
topologique de dimension fini.
A
Pour tout
nous avons un systeme projectif sur
'U.
(resp.
defini par
u
~
Co(X,x- u)
(1)
(resp.
Nous appellons systeme projectif d'homologie locale (resp. de cohomologie
locale) l'homologie (resp. la cohomologie) du systeme projectif
Notons le
(resp o
J-f ; (±)
)
(1) •
0
- 14 Puisque
X est de dimension finie nous pouvons supposer que tout
est de type fini.
1A
f l~
Il est alors facile de voir que le systeme projectif
est flasque (resp. coflasque) (voir
(1.1)
de
((2))
chap. II).
(1)
De plus
on voit que le complexe
lim
~
o.(x,x - u)
u
lim 0 • (X , X - U) )
-o
(resp.
u
s'identifie avec le complexe des chaines singuliers (resp. cochaines singuliers) infini, mais fini dans chaque
d'un reunion finie d' elements de U
complexe de
cha~nes
V E-
).
'lA
(resp. nulles en dehors
Ct est pourquoi
localement fini (resp. complexe de cochaines
fini) le complexe:
[.1. (X)
=
li~
~
(resp.
=
O"(X)
lim
~
~
c.(x,x- u)
u.
lim lim
l~
-J.
c·cx,x- u)
Uo
Considerons alors le triple-complexe
~
U
~
n·
,... C.(X,X -U)
u
....... ()
u
(resp.
nous a.ppellons
n· lJ
0
•
C"(X,X - U) )
MX
et calculous les suites spectrales.
a support
- 15 -
Th
eor
e m 5 •
Il existe une suite spectrale donnee par le terme:
(resp.
aboutissant toujours (resp. si X est localement
compact~
(resp.
Co r o 1 1 a i r e
complex
1 •
•
Si X est compact et de dimension finie le
r:J • )
[J . (respo
a
s'identifie
done la suite spectrale ci-dessus aboutit
a
(resp.
C.(X)
a l'homologie
C"(X)
)
(resp. la co-homo-
logie) singulier.
Remarquons aussi qu'on peut demontrer le:
Cor o 1 1 a i r e
2 •
Soit
p. , i
1
= 1,
••• r
les valeurs de
p
pour lesquels on a :
et supposons que l'on a un isomorphisms pour tout
pi
s
H (X,Hk+p. (X,L)) ~H
pi
i = 1, ••• r
s
(X,at:k+p. (1))
1
1
alors sous les conditions du theoreme nous avons une suite exacte:
--+ L
i
(on doit bien
SUr
Tor (H
pi
(X)
s
1
Hk- 1+p. (X,L))
----:;)-
0
1
supposer que 1
est de dimension globale plus petit que~.
Bibliographie
((1))
P.J. Hilton et S. Wylie:
((2))
O.A. Laudal:
ordonnes.
((3))
E.C. Zeeman:
Homology theory.
Cambridge (1960).
Sur la cohomologie et lVhomologie des ensembles
Mimeographie, Universite dVOslo (janvier 1963).
Dihomology I.
Relation between homology theories.
Proc. London Math. Soc. 12 (1962) pp. 609-638.
((4))
E.C. Zeeman:
Dihomology II. ibid. pp. 639-689.
((5))
E.C. Zeeman:
Dihomology III.
duality for manifolds.
PP•
155-183.
A generalization of the Poincare
Proc. London Math. Soc. 13 (1963)