Sciences Industrielles pour l`Ingénieur en MPSI

CHAPITRE 1
ANALYSE FRÉQUENTIELLE DES SYSTÈMES LINÉAIRES
1.1 Réponse fréquentielle
– le régime permanent ou régime établi ;
– que le déphasage du régime permanent avec le signal d’entrée augmente avec la pulL’objectif de l’analyse fréquentielle est d’étudier le
sation ;
comportement d’un système à partir de sa réponse à
–
que l’amplitude de la sortie varie avec la pulsation.
E(p)
N(p) S(p)
H(p) = D(p)
une sollicitation sinusoïdale de la forme
On constate que la réponse (pour le régime permanent) a l’allure d’une sinusoïde de
même pulsation mais en retard par rapport au signal d’entrée.
e(t ) = A · sin (ω · t ) · h(t )
Pour caractériser la réponse fréquentielle du système il est possible d’étudier l’évolution
½
pour le régime permanent de la variation d’amplitude et du déphasage entre le signal d’ent ≤ 0 h(t ) = 0
.
avec h(t ), la fonction Heaviside est définie par :
trée et la sortie (figure 1.2 ).
t ≥ 0 h(t ) = 1
Pour un système linéaire, nous savons que la sortie en régime permanent est de même
On sollicite donc, le système avec une entrée sinusoïdale de fréquence ω et on relève la
réponse temporelle de la sortie pour chacune des fréquences. La figure 1.1 présente quelques nature que l’entrée, l’équation temporelle du régime permanent de la sortie se met donc
sous la forme :
mesures.
s(t ) = A0 · A(ω) · sin (ω · t + Φ(ω))
s
s
1
s
1
1
t
0
t
0
0
1
(a) f = 4 Hz
avec
– A(ω) : le rapport des amplitudes du signal permanent, entre l’entrée et la sortie ;
– Φ(ω) : le déphasage entre l’entrée et la sortie ;
ces deux fonctions sont des fonctions de la pulsation ω.
t
0
0
1
(b) f = 8 Hz
0
1
1.1.1 De la fonction de transfert à la fonction de transfert complexe
Nous allons sur un exemple simple montrer la relation qu’il existe entre la fonction de
transfert dans le domaine de Laplace et la réponse temporelle en régime permanent d’un
signal sinusoïdal.
Soit l’équation différentielle du 1er ordre :
(c) f = 10 Hz
τ·
F IGURE 1.1 – Relevés fréquentiels
d s(t )
+ s(t ) = K · e(t )
dt
On se place dans les conditions de Heaviside.
On cherche la réponse temporelle s(t ) pour une entrée
On remarque sur ces tracés :
– la présence de deux zones :
– le régime transitoire (la phase de démarrage) ;
e(t ) = cos(ω · t ) · h(t )
1
2
1 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires
s
Entrée
Écart d’amplitude
t
−
¡
¢
K
s(t ) = K · e τ + p
· cos ω · t − ϕ
1 + τ2 · ω2
Retard de phase
Sortie
1
On en déduit le comportement en régime permanent, c’est à dire lorsque t est suffisamment
grand
t
0
0
1
Régime permanent
Transitoire
F IGURE 1.2 – Réponse fréquentielle
La solution de l’équation générale de cette équation différentielle est :
t
−
s g (t ) = G · e τ
−A · τ · ω · sin ω · t + B · τ · ω · cos ω · t + A · cos ω · t + B · sin ωt = K · cos ω · t
(−A · τ · ω + B) · sin ωt + (B · τ · ω + A) · cos ω · t = K · cos ω · t
On déduit
µ
τ·ω
1
· cos ωt +
sin ωt
1 + τ2 · ω2
1 + τ2 · ω2
Soit un système linéaire continu invariant (SLCI) connu
par sa fonction de transfert dans le domaine de Laplace, la
E(p)
S(p)
H(p)
fonction de transfert du système est par définition : H(p) =
S(p)
E(p)
On note E(p) et S(p) les transformées dans le domaine de
Laplace des fonctions temporelles e(t) et s(t) et H(p) la fonction de transfert.
On appelle fonction de transfert complexe (ou transmittance isochrone) la fonction obtenue en remplaçant la variable de Laplace p par le terme imaginaire pur j · ω :
¶
τ·ω
1
On pose ϕ tel que sin ϕ = p
et cos ϕ = p
2
2
1+τ ·ω
1 + τ2 · ω2
¡
¢
K
s p (t ) = p
cos ϕ · cos ωt + sin ϕ · sin ωt
1 + τ2 · ω2
¡
¢
K
s p (t ) = p
· ω·t −ϕ
2
2
1+τ ·ω
La solution complète s’écrit donc :
Comparons maintenant l’amplitude de s per m (t ) et ϕ au module et à l’argument de la
fonction obtenu en remplaçant p par j · ω dans la fonction de transfert déterminée à partir
de l’équation différentielle.
K
K
H(p) =
⇒ H( j · ω) =
1+τ·p
1+τ· j ·ω
d’où
module
argument
¯
¯
¡
¢
¯H( j · ω)¯ = p K
arg H( j · ω) = − arctan (τ · ω)
2
2
1+τ ·ω
On retrouve bien l’amplitude et ϕ.
On peut donc, directement à partir de la fonction de transfert, retrouver les caractéristiques de la réponse en régime permanent d’un système sollicité avec une entrée sinusoïdale.
1.1.2 Fonction de transfert complexe
avec G à déterminer en fonction des conditions initiales.
La solution particulière est de la forme :
s p (t ) = A · cos ω · t + B · sin ωt
En remplaçant dans l’équation différentielle, on obtient :
s p (t ) = K
¡
¢
K
s per m (t ) = p
· cos ω · t − ϕ
2
2
1+τ ·ω
H( j · ω) =
S( j · ω)
E( j · ω)
Cette fonction est une fonction complexe de la variable ω, comme toute fonction complexe, pour en réaliser l’étude, on peut soit s’intéresser :
– à la partie réelle et à la partie imaginaire,
– au module et à l’argument.
1.1.3 Lieux de transfert
On appelle lieux de transfert, le tracé des différentes représentations graphiques de la
fonction de transfert H( j · ω).
1.2 Étude des SLCI à partir des diagrammes de Bode
3
Seule la réprésentation graphique des lieux de transfert par les diagrammes de BODE est
au programme.
À partir de cette représentation graphique, nous pourrons caractériser le comportement
global du système linéaire (passe bas, passe bande, résonance, . . .).
1.2.2 Propriétés des diagrammes de Bode
1.2 Étude des SLCI à partir des diagrammes de Bode
Soit en complexe
Soit un système linéaire décrit par le schéma bloc ci-dessous.
G(p) = G1 (p) · G2 (p)
G( j · ω) = G1 ( j · ω) · G2 ( j · ω)
1.2.1 Diagrammes de BODE
Les diagrammes de Bode représentent (fig ??) séparément le module et la phase de la
fonction H( j ¯· ω). On note
¯
– A(ω) = ¯H( j · ω)¯ le module,
– Φ(ω) = arg (H( j · ω) l’argument
20
d’où le module réel
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯G( j · ω)¯ = ¯G1 ( j · ω)¯ · ¯G2 ( j · ω)¯
et le module en dB
dB
Tracé exact
0
¯¢
¯¢
¡¯
¡¯
Gd B (ω) = 20 log ¯G1 ( j · ω)¯ + 20 log ¯G2 ( j · ω)¯
−20
= G1d B (ω) + G2d B (ω)
−40
−60
puis l’argument
Tracé asymptotique
−80
¡
¢
¡
¢
¡
¢
arg G( j · ω) = arg G1 ( j · ω) + arg G2 ( j · ω)
−100
−120
100
◦
0
ω en rad/s - échelle logarithmique
101
102
103
rad/s
104
Tracé exact
−30
Graphiquement, il suffit donc d’ajouter les diagrammes de Bode des fonctions G1 (p) et
G2 (p) aussi bien pour le diagramme d’amplitude que pour le diagramme des phases pour
obtenir les diagrammes de G(p) = G1 (p) · G2 (p).
−60
1.2.3 Système du premier ordre
−90
−120
−150
Un système du premier ordre est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants du premier ordre :
Tracé asymptotique
−180
−210
τ
−240
−270
100
101
102
103
rad/s
104
L
F IGURE 1.3 – Diagrammes de Bode
Pour ces diagrammes :
– l’abscisse est une échelle logarithmique de la pulsation : log10 (ω) ;
– l’ordonnée du diagramme d’amplitude est graduée en décibels (dB) :
¯
¯
Ad B (ω) = 20 log10 (¯H( j ω)¯),
– l’ordonnée du diagramme de phase, en degré ou radian.
On superpose en général au tracé exact le tracé asymptotique, celui-ci est souvent suffisant pour analyser la fonction. La figure 1.3 montre un exemple de tracé des diagrammes de
Bodes.
d s(t )
+ s(t ) = K.e(t ) avec
dt
τ : constante de temps
K : gain statique
L
On pose : e(t ) →
− E(p) et s(t ) →
− S(p). On se place dans les conditions de Heaviside.
Fonction de transfert et schéma bloc d’un système du premier ordre :
S(p)
K
H(p) =
=
E(p) 1 + τ · p
a ) Représentation fréquentielle
On obtient la fonction de transfert complexe en posant p = j · ω :
¡
¢
H j ·ω =
et on en déduit :
K
1+τ· j ·ω
E(p
4
1 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires
– la partie réelle :
– le module :
Re j · ω =
¡
¢
K
1 + τ2 · ω2
K
A (ω) = p
1 + τ2 · ω2
– la partie imaginaire :
– l’argument :
−K · τ · ω
Im j · ω =
1 + τ2 · ω2
¡
– le diagramme asymptotique en amplitude est assez proche de la courbe réelle et
suffit en général pour étudier la fonction ;
1
– pour la pulsation de coupure ωc = ,l’écart par rapport au point d’intersection
τ
des asymptotes est de −3dB ;
ωc
– pour les pulsations double 2 · ωc et moitié
l’écart est de −1dB par rapport aux
2
asymptotes.
¢
Φ (ω) = − arctan (τ · ω)
Diagramme des phases : le diagramme des phases présente lui aussi deux asymptotes
– lorsque ω → 0, lim (Φ (ω)) = 0 ;
– le module en dB :
ω→0
µ
– lorsque ω → ∞, lim (Φ (ω)) = − π2 r ad (= −90°).
¶
K
ω→∞
Ad B (ω) = 20 log (A (ω)) = 20 · log p
1 + τ2 · ω2
soit en développant,
¡
¢
Ad B (ω) = 20 · log K − 10 · log 1 + τ2 · ω2
La figure 1.4 présente l’allure des diagrammes de Bode d’un système du premier ordre.
20
dB
-3 dB
20 · log K Asymptote horizontale
10
– Le diagramme asymptotique à la forme d’une marche d’escalier, il n’est pas suffisamment précis pour représenter correctement l’évolution de la phase. Pour
¡ mieux
¡ 1 ¢ ¢
approcher le tracé, il est possible de tracer le segment passant par les points log 10τ
,0
¡ ¡ 10 ¢
¢
et log τ , −90 (en pointillés sur le graphe, attention ce n’est pas une tangente).
– Quelques valeurs particulières de l’argument :
– pulsation de cassure¡: Φ(ω
c ) = −45° ¡
ω ¢
ω ¢
– pulsation moitié : Φ 2c = − arctan τ · 2c ≈ −26,56°
– pulsation double : Φ (2 · ωc ) = − arctan (τ · 2 · ωc ) ≈ −63,43°
-1 dB
Asy
mp
to
-1 dB
b ) Premier ordre au numérateur
Soit la fonction définie par le polynôme du premier degré :
te d
0
ep
ent
e -2
0d
−10
¡
¢
N1 (p) = 1 + τ · p .
B/d
ec
On se propose de comparer ce polynôme à la fonction de transfert du premier ordre :
−20
100
◦
0
101
ωc
2
ωc =
1
τ
2 · ωc
rad/s
102
103
H1 (p) =
1
.
1+τ·p
−15
−30
¯
¯
¯
¯
¯ ¯
1
¯,
¯
¯
¯
– le module se déduit directement de N1 ( j · ω) = ¯
H1 ( j · ω) ¯
soit en décibel
¯¶
µ¯
¯¢
¯
¯¢
¯
¡¯
¡¯
1
¯ = −20 log ¯H1 ( j · ω)¯
20 log ¯N1 ( j · ω)¯ =20 log ¯¯
¯
H1 ( j · ω)
-26,56°
-45°
−45
−60
-63,43°
−75
−90
100
101
rad/s
102
F IGURE 1.4 – Diagrammes de Bode - système du
1er
103
– l’argument se déduit de la même manière
ordre
¡
¢
arg N1 ( j · ω) = arg
Diagramme d’amplitude : le diagramme d’amplitude présente deux asymptotes
– une horizontale lorsque ω → 0 : lim (Ad B ) = 20 · log K ;
ω→0
– une asymptote de pente −20dB/dec lorsque ω → ∞ ;
– les asymptotes se croisent pour la pulsation de coupure ωc =
1
;
τ
µ
¶
¡
¢
1
= − arg H1 ( j · ω)
H1 ( j · ω)
On constate donc que le tracé (fig. 1.5) des diagrammes de Bode d’un polynôme du premier ordre est le symétrique par rapport à l’axe des abscisses du diagramme de Bode d’une
fonction de transfert du premier ordre (pour un gain unitaire K=1). Cela est généralisable
quel que soit l’ordre de la fonction de transfert.
1.2 Étude des SLCI à partir des diagrammes de Bode
30
5
s
dB
oscillatoire amortie z < 1
s
N1 (p) = 1 + τ · p
20
z ≈ 0, 7
+5%
apériodique critique z = 1
10
−5%
0
−10
H1 (p) =
−20
−30
100
101
1
1+τ·p
102
rad/s
103
z =1
1
◦
90
60
apériodique z > 1
N1 (p) = 1 + τ · p
0
30
0
t
t
1
(a) Influence du coefficient d’amortissement z
Tr 0,7 Tr 1
(b) temps de réponse minimal
0
−30
H1 (p) =
−60
−90
100
101
1
1+τ·p
102
F IGURE 1.5 – Diagrammes de Bode -
1er
F IGURE 1.6 – Réponses temporelles système du 2nd ordre
rad/s
103
ordre au numérateur
1.2.4 Système du second ordre
a ) Rappels
Un système du second ordre est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants du second ordre :
1 d 2 s(t ) 2 · z d s(t )
+ s(t ) = K.e(t )
+
ωn d t
ω2n d t 2
avec
– K : gain
– ωn : pulsation propre rad s−1
– z : coefficient (facteur) d’amortissement
La fonction de transfert s’écrit :
H(p) =
S(p)
= 2
E(p)
p
– 1 < z1 : réponse apériodique.
Pour la réponse temporelle pseudo périodique (0 < z < 1), on peut noter :
−π · z
p
s max − s ∞
– le dépassement relatif : d =
= e 1 − z2 ;
s∞
2π
– la pseudo période : Tp =
;
p
ωn · 1 − z 2
Tp
π
– l’instant du premier maximum : Tpm =
=
.
p
2
ωn · 1 − z 2
Le temps de réponse minimum sans dépassement est obtenu pour z = 1.
Le temps de réponse minimum est obtenu lorsque la réponse temporelle est tangente à la
limite supérieure de l’encadrement (figure 1.6(b)), pour
p le premier maximum, alors
p−π·z
2
!
d = e 1−z 2 = 0,05 soit z = 0,6901067 ≈ 0,7 ce n’est pas
2
L’abaque page ?? donne Tr · ωn en fonction de z.
K
2·z
+
·p +1
ω2n ωn
b ) Rappel - réponse temporelle
L’allure temporelle de la sortie dépend du facteur d’amortissement z :
– 0 < z < 1 : réponse temporelle oscillatoire amortie (pseudo périodique) ;
– z = 1 : réponse temporelle apériodique critique ;
c ) Représentation fréquentielle
À partir de la fonction de transfert d’un second ordre (equ a )) on détermine la fonction
de transfert complexe :
K
H( j · ω) =
2
ω
ω
1− 2 + j ·2·z ·
ωn
ωn
On déduit :
6
1 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires
– la partie réelle :
µ
¶
ω2
K 1− 2
ωn
Re(ω) = µ
¶
2 ¶2 µ
ω 2
ω
1− 2 + 2·z ·
ωn
ωn
– la partie imaginaire :
2·K·z ·
Im(ω) = − µ
1−
ω2
¶2
ω2n
– le module :
On appelle pulsation de résonance la pulsation
p
ω r = ωn · 1 − 2 · z 2 .
Pour cette pulsation, le module présente un maximum :
K
K
A (ωr ) = v
=
p
uµ
¶2 2 · z · 1 − z 2
2 ¶2 µ
u
t 1 − ωr + 2 · z · ωr
ωn
ω2n
ω
ωn
¶
µ
ω 2
+ 2·z ·
ωn
On définit Q, le coefficient de résonance (ou facteur de surtension) tel que
Q=
K
A (ω) = s
µ
¶2 µ
¶
ω2
ω 2
1− 2 + 2·z ·
ωn
ωn
– le module en dB :
õ
¶2 µ
¶ !
ω 2
ω2
Ad B (ω) = 20 log K − 10 log 1 − 2 + 2 · z ·
ωn
ωn
– l’argument :
Φ (ω) = − arctan
µ
2 · z · ω · ωn
¶
ω2n − ω2
Nous avons vu, lors de l’étude de la réponse temporelle, que l’allure de cette réponse
dépend du coefficient d’amortissement z. Étudions donc dans un premier temps le module
et l’influence de z sur celui-ci :
Soit A1 (u), le module réduit déduit du module de la fonction de transfert (c )), en posant
ω
u=
ωn
A1 (u) = q¡
K
¢2
1 − u 2 + (2 · z · u)2
Le tracé du module (fig. 1.7) d’un système du second ordre dépend donc de la valeur du
coefficient d’amortissement.
p
2
– 0<z <
présence d’un maximum pour la pulsation de résonance ωr ;
2
p
2
–
< z pas de maximum.
2
L’argument lui ne présente pas de maximum :
µ
¶
2 · z · ω · ωn
Φ (ω) = − arctan
.
ω2n − ω2
Il est possible d’affiner encore cette étude, en étudiant la forme de la fonction de transfert
en fonction de z.
On distingue trois cas en fonction des racines du polynôme du dénominateur de la fonction de transfert du second ordre (a )) :
D(p) = 1 +
Le numérateur s’annule pour :
– u = 0 soit ω = 0 cette racine correspond à une asymptote horizontale dans le diagramme de Bode en amplitude,
p
2
– u 2 + 2 · z 2 − 1 = 0, cette équation n’admet de racines réelles que pour z ≤
, la racine
2
p
ωr p
est alors u r =
= 1 − 2 · z 2 soit ωr = ωn · 1 − 2 · z 2 .
ωn
2 · z · p p2
+ 2 =0
ωn
ωn
– 0 < z < 1 : les deux racines du dénominateur sont complexes conjuguées, la fonction
de transfert ne peut être simplifiée, l’étude a été réalisée précédemment :
Calculons la dérivée par rapport à u
¡
¢
´− 1
¢2
4 · u u2 + 2 · z2 − 1
d ³¡
d A1 (u)
=K
1 − u 2 + (2 · z · u)2 2 = K ³
´3
¡
¢2
du
du
2
1 − u 2 + (2 · z · u)2
1
A(ωr )
=
p
A(ω0 ) 2 · z · 1 − z 2
H(p) =
S(p)
K
=
1
2·z
E(p)
p2 +
p +1
2
ωn
ωn
– z > 1 : les deux racines sont réelles, la fonction de transfert alors peut se mettre sous la
forme d’un produit de deux fonctions du premier ordre :
H(p) =
K
(1 + T1 · p) · (1 + T2 · p)
– module :
A (ω) = q
K
q
1 + T12 · ω2 · 1 + T22 · ω2
1.2 Étude des SLCI à partir des diagrammes de Bode
7
– module en dB :
Ad B (ω) = 20 log K − 20 log(
q
1 + T12 · ω2 ) − 20 log(
q
30
1 + T22 · ω2 )
– l’argument :
0
– z = 1 : le dénominateur possède une racine réelle double, la fonction de transfert peut
se mettre sous la forme :
K
H(p) =
(1 + T · p)2
A (ω) =
K
1 + T 2 · ω2
20 log K
QdB
p
2
z<
2
p
2
<z <1
2
¡
¢
Ad B (ω) = 20 log K − 10 log 1 + T12 · ω2
−4
0
−20
−60
Φ (ω) = −2 · arctan(T · ω)
Nous allons donc considérer pour l’étude fréquentielle du second ordre, les quatre cas
suivant :
K
ω2
101
ωr ωn
rad/s
102
103
102
103
p
2
z<
2
−90
−120
p
2
<z <1
2
−150
.
ω
+ j ·2·z ·
ωn
ω2n
À partir du module en dB et de l’argument, on peut tracer les diagrammes de Bode
(fig 1.7), on retrouve sur ceux-ci :
1−
dB
/d
ec
−30
−30
– argument :
La fonction de transfert s’écrit : H( j · ω) =
ωr
ωn
−10
−40
100
◦
0
– module en dB :
p
2
Cas 0 < z <
2
20
10
Φ (ω) = − arctan(T1 · ω) − arctan0 T2 · ω)
– module :
dB
diagramme d’amplitude :
– une asymptote horizontale d’ordonnée 20 log K lorsque ω → 0,
– une asymptote de pente −40dB/dec lorsque ω → +∞,
– les deux asymptotes se croisent pour ω = ωn la pulsation propre,
– le diagramme d’amplitude
p présente un maximum pour la pulsation dite pulsation
1 − 2 · z 2 , avec
de résonance
ω
=
ω
·
n
¯
¯ r
¯H( j ωr )¯
1
Q=
=
,
p
|H(0)|
2 · z · 1 − z2
¯
¯
K
– le module pour la pulsation propre est : ¯H( j ωn )¯ =
.
2·z
diagramme de phase :
– une asymptote horizontale d’ordonnée 0° lorsque ω → 0,
– une d’ordonnée
−180°¢ lorsque ω → +∞,
¡
– Φ(ωn ) = arg H( j · ωn ) = −90°.
p
2
≤ z < 1 On retrouve les mêmes asymptotes que dans le cas précédent, mais le diaCas
2
gramme d’amplitude ne présente pas de maximum, le tracé est toujours sous les asymptotes
et très proche de celle-ci (l’écart est au maximum de −6dB si z = 1 pour la pulsation ωn ) et
¯
¯
¯H( j ωn )¯ = K
2·z
−180
100
101
rad/s
F IGURE 1.7 – Diagrammes de Bode 2nd ordre - 2 racines complexes
Cas z > 1 Lorsque z > 1, la fonction de transfert peut se décomposer en un produit de deux
K
premiers ordres, H(p) =
, le tracé des diagrammes de Bode est donc la
(1 + T1 · p) · (1 + T2 · p)
somme graphique des deux tracés du premier ordre (Cf. figure 1.8).
1
1
Les deux pulsations de cassure sont ω1 =
et ω2 =
(pour la suite que ω1 < ω2 ).
T1
T2
Le diagramme d’amplitude présente donc 3 asymptotes :
– une asymptote horizontale d’ordonnée 20 log K lorsque ω → 0, (log ω → −∞), jusqu’à
1
;
la pulsation ω1 =
T1
– une asymptote de pente −20dB/dec entre ω1 et ω2 ;
– une asymptote de pente −40dB/dec au delà de ω2 .
Remarque : Parler d’asymptote entre ω1 et ω2 est un abus de langage communément
admis en automatique.
Le diagramme des phases présente lui aussi 3 asymptotes :
– une asymptote horizontale d’ordonnée 0° lorsque ω → 0, jusqu’à ω1 ;
– une asymptote horizontale d’ordonnée −90° entre ω1 et ω2 ;
– une asymptote horizontale d’ordonnée −180° au delà de ω2 .
Quelques valeurs et points particuliers
p
– pulsation propre : ωn = ω1 · ω2 ;
– sur le diagramme d’amplitude, l’asymptote horizontale et l’asymptote à −40dB/dec se
8
1 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires
20
dB
20
20 log K
10
dB
20 · log K
-6 dB
10
−20
dB/
dec
0
-2 dB
-2 dB
0
−10
−10
−20
−4
0
−30
−40
−50
10−1
◦
0
100
0°
ω1 = T1
1
ωn =
q10
1
1
T1 ·T2
-40
−20
dB
/d
ec
−30
ec
rad/s
102
103
ω2 = T1
2
−40
100
◦
0
101
−30
ωc =
1
τ
2 · ωc
102
rad/s
103
-53,1°
-90°
−90
−60
−120
-90°
-126,8°
−150
−180
100
−120
101
−150
−180
10−1
2 · ωc
2
−30
−60
−90
dB
/d
102
rad/s
103
F IGURE 1.9 – Diagrammes de Bode 2nd ordre - 1 racine double
-180°
100
101
102
F IGURE 1.8 – Diagrammes de Bode 2nd ordre - 2 racines réelles
croisent pour ω = ωn ;
– l’argument pour la pulsation propre est : arg(H( j ωn ) = − π2 = −90° ;
¯
¯
K
– le module pour la pulsation propre est : ¯H( j ωn )¯ =
2·z
rad/s
103
– pour ωc l’argument de la fonction de transfert est de −90° ;
– ¡comme
ordre il est utile de tracé le segment entre
¡ ¢ du premier
¢
¡ 1 ¢pour¢ un¡ système
, 0° et log 10
,
−180°
pour
mieux
approcher le tracé réel.
log 10τ
τ
1.2.5 Intégrateur
Fonction de transfert :
Hi (p) =
1
Ti · p
E(p)
Fonction de transfert complexe :
K
cas z = 1 La fonction de transfert est un premier ordre au carré : H(p) =
1
(1 + T · p)2
Hi ( j ω) =
Le tracé des diagrammes de Bode se déduit donc directement du tracé d’une système
Ti · j · ω
du premier ordre, ils possèdent donc les particularités suivantes que l’on retrouve sur la
– Module :
figure 1.9.
¯
¯
¯Hi ( j ω)¯ = − 1
– diagramme d’amplitude
Ti · ω
– une asymptote horizontale (20 log K) lorsque ω → 0 et une asymptote de pente −40dB/dec
– Module en dB :
¯
¯
(2 × (−20dB/dec)) lorsque ω → ∞ ;
¯Hi ( j ω)¯ = −20 log ω − 20 log Ti
1
dB
– pour la pulsation de coupure ωc = , l’écart par rapport à l’asymptote est de −6dB
T
– Argument :
(2 × (−3 d B)), l’écart par rapport aux asymptotes est de −2dB pour les pulsations
arg (Hi ( j ω)) = −90°
double et moitie ;
– diagramme des phases
Le diagramme d’amplitude (fig 1.10) d’un intégrateur est une droite de pente −20dB/dec
– une asymptote d’ordonnée 0° lorsque ω → 0 ;
passant par −20 log Ti pour ω = 1 (log ω = 0).
– une d’ordonnée −180° lorsque ω → +∞ ;
Le diagramme de phase est une droite horizontale d’ordonnée −90° .
1.2 Étude des SLCI à partir des diagrammes de Bode
60
9
dB
40
S(p) = e −τp · E(p)
dB/dec
ur : +20
dérivate
20
La transformée de Laplace d’un retard pur est donc :
R(p) = e −τ·p
0
intégrate
ur :−20
−20
−40
−60
10◦−1
90
dB/dec
100
101
On en déduit la fonction de transfert complexe :
R( j · ω) = e −τ· j ·ω = R( j · ω) = cos τω − j sin τω
rad/s
102
dérivateur
Le module est constant,
¯
¯
¯R( j · ω¯ = 1
60
30
L’argument est constamment décroissant (Cf. figure 1.11)
0
arg(R( j · ω) = −τω
−30
−60
intégrateur :
−90
10−1
100
101
a ) Influence d’un retard sur le tracé d’un lieu de Bode
rad/s
102
Pour évaluer l’effet d’un retard sur le lieu de Bode, nous allons étudier la fonction de
transfert d’un retard pur associé à un premier ordre,
F IGURE 1.10 – Diagrammes de Bode - Intégrateur - Dérivateur
1.2.6
H(p) = e −τp
Dérivateur
E(p)
Fonction de transfert :
Hd (p) = Td · p
TdBd · p
1
.
1+T·p
S(p)
10
Fonction de transfert complexe :
0
retard
Hd ( j ω) = Td · j · ω
−10
– Module :
−20
¯
¯
¯Hd ( j ω)¯ = Td · ω
– Module en dB :
¯
¯
¯Hd ( j ω)¯
dB
1er ordre
1er ordre retardé
−30
−40
100
= +20 log ω + 20 log Td
101
rad/s
102
103
◦
– Argument :
0
arg (Hd ( j ω)) = +90°
−30
Diagrammes de Bode (fig 1.10)
Le diagramme d’amplitude d’un dérivateur est une droite de pente +20dB/dec passant
par +20 log Td pour ω = 1 .
Le diagramme de phase est une droite horizontale d’ordonnée +90° .
retard
1er ordre
−60
−90
−120
1er ordre retardé
−150
−180
100
1.2.7 Retard pur
101
Soit un système tel que la sortie est en retard sur l’entrée d’un temps τ :
F IGURE 1.11 – Diagrammes de Bode - Influence d’un retard
s(t ) = e(t − τ).
Le théorème du retard nous permet d’écrire en passant dans le domaine de Laplace :
102
Fonction de transfert complexe,
E(p)
R(p) = e −τ·p
S(p)
H( j · ω) = e −τ j ·ω
1
1+T· j ·ω
rad/s
103
10
1 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires
– module :
¯
¯
¯H( j ω)¯
¯
¯
¯
=
20
log
¯
dB
¯
¯
K
¯
1+ j ·τ·ω¯
– argument :
¡
¢
Ar g H( j ω) = − arctan (τ · ω) − τ1 · ω
On remarque sur la figure 1.11 que le module n’est pas influencé par le retard (les deux tracés
sont superposé), par contre l’argument est diminué de τ · ω.
Un retard augmente le déphasage entre l’entrée et la sortie du système. Nous verrons
plus loin, lors de l’étude de la stabilité des systèmes asservis, que cet effet est fortement
préjudiciable à la stabilité des systèmes
Comportement lorsque ω → ∞
– Argument
– une fonction du premier ordre apporte un déphasage maximal (à l’infini) de −90° si
elle est au dénominateur et de +90° si elle est au numérateur,
– une fonction du second ordre apporte un déphasage maximal de −180° si elle est au
dénominateur et de +180° si elle est au numérateur,
– un intégrateur apporte lui un déphasage constant de −90° et le dérivateur de +90°.
Ces déphasages s’ajoutant, on peut déduire que le déphasage total de la fonction de
transfert lorsque la pulsation augmente tend vers :
¡
¢
lim arg H( j · ω) = (n − m − α) · 90◦
ω→+∞
1.2.8 Généralisation du tracé des diagrammes de Bode
Toute fonction de transfert sans retard peut s’écrire sous la forme suivante :
H(p) =
K 1 + a 1 · p + a 2 · p 2 + .... + a n p n
N(p)
= α
D(p) p 1 + b 1 · p + b 2 · p 2 + .... + b m p m
avec
– n : degré du polynôme du numérateur ;
– m : degré du polynôme dénominateur ;
– K : le gain statique ;
– α : la classe de la fonction de transfert.
Le numérateur et le dénominateur sont deux polynômes, pour les systèmes physiques,
le degré global du dénominateur est supérieur au degré du numérateur :m + α − n ≥ 0.
On peut, en recherchant les racines de chaque polynôme, mettre la fonction de transfert
sous la forme suivante :
µ
¶
¢ Q
Q¡
zj
p2
1 + τi · p ·
1 + 2 ω n p + ω2
nj
j
N(p)
K
µ
¶
H(p) =
= α·
¡
¢
Q
D(p) p Q
p2
z
1 + τk · p ·
1 + 2 ωnl p + ω2
l
nl
La fonction de transfert s’écrit donc comme le produit de plusieurs fonctions élémentaires (premier, deuxième ordre et intégration/dérivation).
H(p) =
N(p)
= H1 (p) · H2 (p) · .... · HI (p) · ... · HN (p)
D(p)
Ce qui nous permet d’écrire le module et l’argument en dB :
module en dB
¯¢
¯¢
¯
¯
¯¢
¡¯
¡¯
¡¯
¯H( j · ω)¯ = 20 log ¯H1 ( j · ω)¯ + ... + 20 log ¯HI ( j · ω)¯ + ... + 20 log ¯HN ( j · ω)¯
dB
argument
¡
¢
¡
¢
¡
¢
¡
¢
Ar g H( j · ω) = Ar g H1 ( j · ω) + ... + Ar g HI ( j · ω) + ... + Ar g HN ( j · ω)
On obtient ainsi les diagrammes de Bode de la FT en sommant graphiquement les diagrammes de Bode de chaque fonction élémentaire.
– Module
– le tracé du lieu de Bode d’un premier ordre tend vers une asymptote de pente −20dB/dec
s’il est dénominateur et de +20dB/dec s’il est au numérateur,
– un second ordre tend vers une asymptote de pente −40dB/dec s’il est dénominateur
et de +40dB/dec s’il est au numérateur,
– le lieu de Bode d’un intégrateur est une droite de pente −20dB/dec et de +20dB/dec
pour un dérivateur.
Ces pentes s’ajoutent, on peut donc déduire que l’asymptote finale a une pente de
(n − m−α) 20dB/dec
Comportement lorsque ω → 0
À partir de la forme factorisée de H(p) décrite plus haut, on déduit que l’allure des lieux
de Bode lorsque ω → 0 ne dépend que de la classe α de la fonction de transfert et K. En effet,
le module en dB et l’argument de chaque fonction du premier et du second ordre sont nuls
lorsque ω → 0. L’allure des diagrammes de Bode en 0 se déduit donc de :
Ã
!
¡
¢
1
lim H( j · ω) = lim K · ¡
¢α
ω→0
ω→0
j ·ω
– α=0
– l’argument tend vers 0,
¯
¯
– le module tend lui vers : lim ¯H( j · ω)¯d B = 20 log K
ω→0
– α>0
– l’argument tend vers une asymptote horizontale d’ordonnée : −α · 90 ° .
– le module tend vers une asymptote d’équation : 20 log K − α · 20 · log ω.
1.3 Exercices
11
1.3 Exercices
s
5
Exercice 1- Identification fréquentielle
4
4
Corrigé page 13
3
3
On souhaite déterminer la fonction de transfert d’un système par une étude fréquentielle. Pour cela, on a relevé la réponse temporelle de la sortie pour plusieurs fréquences
(fig 1.12(a) à fig 1.12(f ) ) (0,2 Hz, 0,4 Hz, 0,6 Hz, 0,8 Hz, 1 Hz, 2 Hz ).
Q1. Compléter le tableau 1.1 puis tracer les diagrammes de Bode de la fonction.
2
2
Fréquence [Hz]
Gain ([dB]
Déphasage [°]
0,1
9,5
0,5
0,2
0,4
0,6
0,8
1
2
s
5
1
1
t
0
t
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
8
9
10
7
8
9
10
3,5
-20
-179
0,2 Hz
(a)
TABLE 1.1 – Relevés
(b)
s
0,4 Hz
s
Q2. Proposer un modèle puis identifier les coefficients.
5
5
Exercice 2- Second ordre généralisé
4
4
Corrigé page 13
3
3
2
2
1+T·p
Soit H(p) =
, on se propose d’étudier la réponse fréquentielle pour
(1 + T1 · p)(1 + T2 · p)
les cas suivants :
– T < T1 < T2 avec pour les tracés T = 0,01s, T1 = 0,1s et T2 = 1s ;
– T1 < T < T2 avec pour les tracés T = 0,1s, T1 = 0,01s et T2 = 1s ;
– T1 < T2 < T avec pour les tracés T1 = 0,1s, T2 = 0,01s et T = 1s.
Q1. Tracer les diagrammes de Bode pour chacun des trois cas.
1
1
t
0
t
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
Exercice 3- Second ordre généralisé-2
Corrigé page 14
1+T·p
avec T = 0,02 et z = 0.4
1 + 2z · T · p + T 2 · p 2
Q1. Tracer les diagrammes de Bode de G(p.
(c)
Soit la fonction G(p) = 20
0,6 Hz
(d)
s
3
Corrigé page 14
1+a ·T·p
avec T = 0,5 s pour les valeurs suivantes de a : a = 8 puis a = 0,1.
1+T·p
Q1. Tracer les diagrammes de Bode pour les différentes valeur de a.
Q2. Déterminer le maximum (le minimum) de l’amplitude en fonction de a.
Q3. Pour quelle valeurs de a parle-t-on de correcteur à avance de phase.
Soit F(p) =
s
3
2
Exercice 4- Avance de phase - retard de phase
0,8 Hz
2
1
1
t
0
t
0
0
1
2
3
4
(e)
5
6
7
8
9
10
0
1
2
1 Hz
3
4
5
(f)
6
2 Hz
Exercice 5- Système à retard
Corrigé page 15
F IGURE 1.12 – Réponses fréquentielles
Soit le système décrit par la fonction de transfert
H2 (p) =
1 + 0,4 · p
e −0,05·p
(1 + 3 · p + 0, 2 · p 2 )
Q1. Tracer les diagrammes de Bode de H2 (p).
Q2. Préciser pour chaque fonction et courbe, les points caractéristiques et les asymptotes.
12
1 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires
Exercice 6- Étude d’un système bouclé
Corrigé page 16
Soit un système décrit par le schéma bloc ci-dessous :
1
E1
S1
²
u
G(p)
+−
K
p
Un relevé fréquentiel du mécanisme a permis de préciser la fonction G(p) (tableau 1.2).
Pulsation [rad/s]
Ampl. [dB]
Phase [°]
0.10
-6.0
-1.7
0.18
-6.0
-3.1
0.32
-5.8
-5.6
0.56
-5.4
-10.4
1.00
-4.2
-21.8
1.78
-1.2
-68.6
Pulsation [rad/s]
Ampl. [dB]
Phase [°]
5.62
-23.1
-166.3
10.00
-33.7
-172.9
17.78
-43.9
-176.1
31.62
-54.0
-177.8
50.30
-62.0
-178.6
80.00
-70.1
-179.1
3.16
-11.0
-147.7
TABLE 1.2 – Relevé fréquentiel de G(p)
Q1. Tracer les diagrammes de Bode de G(p).
Q2. Proposer un modèle de fonction de transfert pour G(p).
Q3. Sur ces mêmes diagrammes, tracer les diagrammes de
de la FTBO pour K = 1.
Q4. Tracer les diagrammes de Bode de la FTBF.
1
puis les diagrammes de Bode
p
1.3 Exercices
13
1.3.1 Corrigés
20
10
Cor. 1: Identification fréquentielle
Sujet page 11
0
Q1. Pour reconstruire à partir de ces relevés, les diagrammes de Bode il suffit de relever pour chaque essai, lors du régime permanent :
As
= G(ω) nous donne le gain pour la pulsa– l’amplitude du signal d’entrée (Ae (ω)) et du signal de sortie (A s (ω)), le rapport
Ae
tion ω de la fonction de transfert que l’on convertit ensuite en dB Gd B = 20 log G
– l’écart temporel entre le signal d’entrée et le signal de sortie (il est judicieux de mesurer cet écart à l’intersection avec l’axe
t s − te
des abscisses). De cet écart, connaissant la période (T ) on déduit le déphasage entre les deux signaux. Φ =
· 2π en
T
t s − te
· 360 en °.
radian ou Φ =
T
f
ω
As
G
Gd B
T
ts
Φ [°]
0,2
1,256
3,3
3.3
10
5
5,1
-7,2
0,4
2,51
4,6
4,6
13
2,5
5,15
-21,6
0,6
3,76
7,8
7,8
17
1,6
5,3
-64,8
0,8
5
3,9
3,9
11
1,25
5,5
-144
1
6,3
1,9
1,9
5
1
5,45
-162
2
12,56
0,35
0,35
-9
0,5
5,25
-180
À l’aide de ce tableau on trace le graphe de la figure 1.13.
−10
−20
−30
−40
10−1
0
100
101
102
100
101
102
−30
−60
−90
−120
−150
s
5
−180
10−1
As
4
T
3
F IGURE 1.13 – Identification fréquentielle - diagrammes de Bode
2
Ae1
0
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
ainsi qu’un déphasage de +90° ;
T
– une pente de −20 d B/d ec pour chacune des deux autres fonctions.
– une pente de +20 d B/d ec pour 1 + T · p à partir de la pulsation
On retrouve sur le deuxième graphe (figure 1.15), le lieu de Bode de chacune des trois fonctions. on remarque l’influence de
la constante de temps du numérateur sur la forme du diagramme d’amplitude et de phase. Le numérateur apporte une avance de
phase qui sera utile pour stabiliser les systèmes.
te t s
Q2. On constate que :
– lorsque la pulsation tend vers 0
– le gain (en dB) tend vers 9,5 dB ,
– le déphasage tend vers −0° ;
– lorsque la pulsation tend vers +∞ ;
– le gain présente une asymptote de −20 dB,
– le déphasage tend vers −180° ;
– la courbe d’amplitude présente un maximum.
On peut donc modéliser le système par une fonction de transfert du 2ndordre avec un coefficient d’amortissement z inférieur
K
à 0,7 ; H(p) =
.
2·z
p2
1+
p+
ωn
ω2n
On détermine les coefficients :
K : à partir de l’asymptote horizontale 20 log K = 9,5 ⇒ K = 3 ;
1
avec ici
p
2 · z 1 − z2
Qd B = 17 − 19,5 = 7,5 dB on déduit z ≈ 0,2
z : à partir du coefficient de surtension Q =
ωn : ωn = 4 rad s−1 soit en :
– cherchant l’intersection des deux asymptotes du diagramme d’amplitude,
– cherchant graphiquement la pulsation pour laquelle le déphasage est de −90°,
p
– par calcul à partir de la pulsation de résonance ωr = ωn 1 − 2z 2 .
dB
20
1 + 0.01 · p
0
1
1+0.1·p
−20
1
1+1·p
−40
−60
−80
10◦−1
90
1+0.01·p
(1+0.1·p)·(1+1·p)
100
101
45
rad/s
102
103
102
103
1 + 0.01 · p
0
1
1+0.1·p
−45
−90
1
1+1·p
−135
Cor. 2: Second ordre généralisé
Sujet page 11
La fonction H(p) se construit comme le produit de trois premiers ordres dont un au numérateur. la fonction globale s’obtient
en sommant sur les diagrammes de Bode chacun de ces 1er ordres.
On retrouve le détail du tracé du premier cas (T < T1 < T2 ) sur le graphe suivant (figure 1.14), on remarque :
−180
10−1
1+0.01·p
(1+0.1·p)·(1+1·p)
100
101
1+0.01·p
F IGURE 1.14 – Diagrammes de Bode de (1+0.1·p)·(1+1·p)
rad/s
14
1 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires
cas 3
dB
20
30
¡
¢
G1 (p) = 20 1 + Tp
20
0
10
cas 2
−20
−40
−10
−20
−60
−80
10◦−1
90
G(p) = G1 (p) · G2 (p)
0
cas 1
G2 (p) =
100
101
102
rad/s
103
−30
100
90
101
102
1
1 + 2z · T · p + T 2 · p 2
103
G1 (p)
45
45
0
cas 3
0
−45
−45
cas 2
G(p)
−90
−90
−135
cas 1
−135
−180
10−1
100
101
102
rad/s
−180
100
101
G2 (p)
103
102
103
F IGURE 1.16 – Second ordre généralisé
F IGURE 1.15 – Diagrammes de Bode des 3 cas
Cor. 4: Avance de phase - retard de phase
Sujet page 11
Q1. Diagrammes de Bode
Q1a. a = 8 : figure 1.18
On construit les diagrammes en sommant les représentations de F1 (p) = 1 + a · T · p et F2 (p) =
1
(en traits pointillés).
1+T·p
On remarque que :
– les diagrammes d’amplitude et de phase présentent deux cassures :
– la première pour ωT = T1 ,
Cor. 3: Second ordre généralisé-2
Sujet page 11
Le tracé s’obtient comme précédemment en additionnant graphiquement les deux fonctions de transfert, on constate de plus
1
que la pulsation propre du dénominateur est ωn = , d’où le tracé de la figure1.16 sur lequel sont représenté le numérateur, le
T
dénominateur et G(p).
1 ;
– la seconde pour ωaT = a·T
– le diagramme d’amplitude tend vers une asymptote horizontale ;
– le diagramme de phase présente un maximum pour ωmax .
Q1b. a = 0,1 : figure1.18
On construit ce diagramme comme le précédent, on note que le diagramme des phases présente ici un minimum.
Q2. Détermination du maximum
p
1 + a 2 T 2 ω2
Module |F(Jω)| = p
1 + T 2 ω2
– limω→+0 |F(Jω)| = 1 d’où une asymptote horizontale sur le diagramme de Bode 0 dB ;
– limω→+∞ |F(Jω)| = a d’où une asymptote horizontale 20 log a , le module n’est donc augmenté au maximum que de
20 log a .
µ
¶
(a − 1)Tω
Argument arg(F(Jω) = arctan
1 + a 2 T 2 ω2
– limω→+0 arg(F(Jω)) = 0 d’où une asymptote horizontale
– limω→+∞ arg(F(Jω)) = 0 d’où une asymptote horizontale
– calculons maintenant la dérivée
−T(a − 1)(−1 + aT 2 ω2 )
d
arg(F(Jω)) =
.
2
2 2
dω
(1 + a 2 T 4 ω4 + T 2 ω2 a
p +T ω )
Cette dérivée s’annule pour ωmax = aT , le diagramme des phases présente donc un maximum
Φmax = arctan
µ
a −1
p
2 a
¶
que l’on peut aussi écrire
p
2
Le dénominateur présente une résonance (z = 0,3 <
), pour la pulsation
2
p
p
1
1
ω r = ωn 1 − 2 · z 2 =
1 − 2 · z 2 . Le maximum se déduit du coefficient de résonance Q = p
.
T
2z 1 − z 2
Φmax = arcsin
On remarquera que la pulsation ωmax =
et ωaT =
p
µ
¶
a −1
.
a +1
aT (respectivement ωmi n ) est la moyenne géométrique des deux pulsations ωT =
1
et se place sur le diagramme de Bode (échelle logarithmique) à mi-chemin.
aT
1
T
1.3 Exercices
15
40
30
20
F1 (p)
20 · log a
F(p) = F1 (p) · F2 (p)
10
Cor. 5: Système à retard
Sujet page 11
Q1a. Diagrammes de Bode (figure 1.19)
0
40
−10
−20
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
−90
10−2
H2a
20
−30
−40
10−2
dB
30
10
F2 (p)
10−1
0
10
ωaT ωmax
ωT
101
H2c
0
102
−10
−20
F1 (p)
−30
Φmax
−40
−50
H2
−60
H2b
−70
F(p) = F1 (p) · F2 (p)
−80
10−2
100
10−1
101
102
◦
H2a
90
100
10−1
101
rad/s
103
60
F2 (p)
102
30
0
F IGURE 1.17 – Premier ordre généralisé, a = 8
−30
H2c
−60
40
−90
F1 (p)
30
−120
20
−150
10
−180
10−2
0
−10
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
−90
10−2
101
102
rad/s
103
F IGURE 1.19 – Système à retard
F(p) = F1 (p) · F2 (p)
−30
−40
10−2
100
10−1
F2 (p)
20 · log a
−20
H2
H2b
Ici aussi, on réalise le tracé du diagramme de Bode en décomposant la fonction de transfert H2 (p) en 3 fonctions élémentaires :
100
10−1
ωT
101
ωmax ωaT
102
H2a (p) = 1 + 0,4 · p
F1 (p)
H2b (p) =
1
1 + 3 · p + 0, 2 · p 2
H2c (p) = e −0,05·p
On reconnaît un premier ordre au numérateur, de constante de temps T2a = 0,4s . Le diagramme d’amplitude présente un
1
pente de +20dB/dec à partir de ω2a =
= et la phase tend vers +90.
T2a
H2b : On reconnaît un second ordre que l’on met sous forme canonique pour identifier les coefficients :
H2a :
F(p) = F1 (p) · F2 (p)
Φmi n
H2b (p) =
F2 (p)
10−1
100
101
1
1 + 3 · p + 0, 2 · p 2
102
F IGURE 1.18 – Premier ordre généralisé, a = 8
Q3. On appelle :
1+a ·T·p
tel que a > 1, la phase est localement augmentée ;
1+T·p
1+a ·T·p
– correcteur à retard de phase, un correcteur Ca (p) =
tel que a < 1, la phase est localement diminué.
1+T·p
Nous verrons lors de l’étude des correcteurs que le correcteur à avance de phase est souvent utilisé pour améliorer la marge de
phase d’un système asservi.
=
1
2·z ·p
p2
1+
+
ωn
ω2n
.
1
On obtient : z ≈ 3,35 et ωn = p
≈ 2,23. H2b (p) peut donc être mis sous la forme d’un produit de deux premiers ordres
0, 2
1
1
avec pour constantes de temps avec : T1 ≈ 0,0628 =
et T2 ≈ 2,931 =
d’où finalement
15,92
0.34
H2b (p) =
1
.
(1 + 0,0628 · p)(1 + 2,931 · p)
– correcteur à avance de phase, un correcteur Ca (p) =
H2c Le module de H2c est égal à 1 et sa phase est toujours décroissante (→ −∞).
Le tracé final s’obtient en sommant les trois fonctions.
Q1b. Diagramme de Black (figure 1.20)
16
1 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires
Cor. 6: Étude d’un système bouclé
Sujet page 12
Q1. Les diagrammes de Bode sont construits point par points à partir du tableau de valeurs (figure 1.22).
dB
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−120
10−1
◦
0
rad/s
100
101
102
100
101
102
−45
−90
−135
−180
−225
−270
10−1
rad/s
F IGURE 1.20 – Diagramme de Bode de la FTBO
Q2. Le lieu de Bode de la FTBO est obtenu en sommant pour chaque pulsation, le lieu de G(p) et de
1
.
p