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Dynamiques connectives
Dynamiques connectives Stéphane Dugowson (Supméca) 16 décembre 2010 Journée mathématiques innovantes Scission dans la connexité ⇒ comment unifier ? Japanese geisha girls playing a traditional game called Go. HQ4531-001. Keystone. Pour unifier la connexité, utiliser... La propriété fondamentale des connexes La propriété fondamentale des connexes La propriété fondamentale des connexes La propriété fondamentale des connexes La connexité comme notion première Définir un espace connectif = choisir les parties de l’espace qui seront connexes Une seule contrainte vérifier la propriété fondamentale des parties connexes. La connexité comme notion première Comment élaborer une théorie des espaces connectifs ? ... en explorant des catégories de tels espaces. Les catégories ? Les catégories Définition (Les catégories) Les catégories sont une sorte d’analogue dynamique de la théorie des ensembles. Les ensembles sont des objets... ... mais l’important ce sont les flèches ! Quelques catégories voisines Catégorie des espaces connectifs l’espace borroméen à trois points B3 Une flèche très dynamique... Exercice : imaginer une application connective... définie sur une surface connective (l’écran, une feuille...) à valeur dans l’espace B3 des trois valeurs (rouge, vert, bleu) Une flèche très dynamique... Représentation des espaces finis : Hermann Brunn (1892), Kanenobu (1984) Représentation des espaces finis : Hermann Brunn (1892), Kanenobu (1984) Représentation des espaces finis : Hermann Brunn (1892), Kanenobu (1984) Représentation des espaces finis : Hermann Brunn (1892), Kanenobu (1984) ordre connectif de l’espace borroméen : 1 espaces connectif graphe générique entrelacs ordre connectif de l’espace brunnien à 5 points : 1 espaces connectif graphe générique entrelacs ordre connectif du borroméen de borroméen : 2 espaces connectif graphe générique entrelacs ordre connectif d’un espace espaces connectif tendu : 4 graphe générique entrelacs Représentation de Hopf : C totalement connecté (avec une infinité de tores emboı̂tés) Remarque (Ceci apparaı̂t dans l’étude d’un système mécanique simple : ) le pendule sphérique linéaire Représentation de Lorenz : N totalement connecté Représentation de Lorenz : N totalement connecté Poincaré, Birman, Williams,... Pour étudier un système dynamique... on étudie ses orbites périodiques... qui sont des nœuds... entrelacés. c Jos Leys / Etienne Ghys http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=303 Représentation de Lorenz : N totalement connecté Représentations, systèmes dynamiques, feuilletages... Représentations, systèmes dynamiques, feuilletages... Représentations, systèmes dynamiques, feuilletages... Feuilletages Feuilletages Feuilletages Systèmes dynamiques connectifs Au fait, qu’est-ce que le temps ? Monoı̈des connectifs d’écoulements temporels ⇒ une catégorie de systèmes dynamiques ⇒ une autre catégorie de systèmes dynamiques ⇒ une autre encore... Z/12Z et autres temps cycliques Je laisse aux nombreux avenirs (non à tous) mon jardin aux sentiers qui bifurquent[...] [ceci] me suggéra l’image de la bifurcation dans le temps, non dans l’espace[...] Il crée ainsi divers avenirs, divers temps qui prolifèrent aussi et bifurquent. Jorge Luis Borgès Le jardin aux sentiers qui bifurquent Le temps classique (N, Z, R+ , R) N 0.............(+∞) Z (−∞)....................(+∞) R+ (+∞) 0 R (−∞) (+∞) Présences brunniennes : dynamiques discrètes Rotations irrationnelles Présences brunniennes : dynamiques continues Tores d’Arnold-Liouville Structures connectives possiblement en jeu Selon les structures choisies, on définit divers feuilletages (multi-feuilletage). Sur l’espace tridimensionnel Séparation σ3 , Topologie usuelle τ3 , Connexes ouverts et singletons. Sur les surfaces toriques Structure induite par σ3 , Variété bidimensionnelle τ2 , Connexes ouverts et singletons. Sur chaque orbite variété unidimensionnelle τ1 . Présences brunniennes : dynamiques continues Tores d’Arnold-Liouville Structures connectives possiblement en jeu Selon les structures choisies, on définit divers feuilletages (multi-feuilletage). Sur l’espace tridimensionnel Séparation σ3 , Topologie usuelle τ3 , Connexes ouverts et singletons. Sur les surfaces toriques Structure induite par σ3 , Variété bidimensionnelle τ2 , Connexes ouverts et singletons. Sur chaque orbite variété unidimensionnelle τ1 . Présences brunniennes : dynamiques continues Tores d’Arnold-Liouville Structures connectives possiblement en jeu Selon les structures choisies, on définit divers feuilletages (multi-feuilletage). Sur l’espace tridimensionnel Séparation σ3 , Topologie usuelle τ3 , Connexes ouverts et singletons. Sur les surfaces toriques Structure induite par σ3 , Variété bidimensionnelle τ2 , Connexes ouverts et singletons. Sur chaque orbite variété unidimensionnelle τ1 . Présences brunniennes : dynamiques continues Tores d’Arnold-Liouville Structures connectives possiblement en jeu Selon les structures choisies, on définit divers feuilletages (multi-feuilletage). Sur l’espace tridimensionnel Séparation σ3 , Topologie usuelle τ3 , Connexes ouverts et singletons. Sur les surfaces toriques Structure induite par σ3 , Variété bidimensionnelle τ2 , Connexes ouverts et singletons. Sur chaque orbite variété unidimensionnelle τ1 . Présences brunniennes : dynamiques continues Tores d’Arnold-Liouville Structures connectives possiblement en jeu Selon les structures choisies, on définit divers feuilletages (multi-feuilletage). Sur l’espace tridimensionnel Séparation σ3 , Topologie usuelle τ3 , Connexes ouverts et singletons. Sur les surfaces toriques Structure induite par σ3 , Variété bidimensionnelle τ2 , Connexes ouverts et singletons. Sur chaque orbite variété unidimensionnelle τ1 . Présences brunniennes : dynamiques continues Tores d’Arnold-Liouville Structures connectives possiblement en jeu Selon les structures choisies, on définit divers feuilletages (multi-feuilletage). Sur l’espace tridimensionnel Séparation σ3 , Topologie usuelle τ3 , Connexes ouverts et singletons. Sur les surfaces toriques Structure induite par σ3 , Variété bidimensionnelle τ2 , Connexes ouverts et singletons. Sur chaque orbite variété unidimensionnelle τ1 . Présences brunniennes : dynamiques continues Tores d’Arnold-Liouville Structures connectives possiblement en jeu Selon les structures choisies, on définit divers feuilletages (multi-feuilletage). Sur l’espace tridimensionnel Séparation σ3 , Topologie usuelle τ3 , Connexes ouverts et singletons. Sur les surfaces toriques Structure induite par σ3 , Variété bidimensionnelle τ2 , Connexes ouverts et singletons. Sur chaque orbite variété unidimensionnelle τ1 . Présences brunniennes : dynamiques continues Tores d’Arnold-Liouville Structures connectives possiblement en jeu Selon les structures choisies, on définit divers feuilletages (multi-feuilletage). Sur l’espace tridimensionnel Séparation σ3 , Topologie usuelle τ3 , Connexes ouverts et singletons. Sur les surfaces toriques Structure induite par σ3 , Variété bidimensionnelle τ2 , Connexes ouverts et singletons. Sur chaque orbite variété unidimensionnelle τ1 . Présences brunniennes : dynamiques continues Tores d’Arnold-Liouville Structures connectives possiblement en jeu Selon les structures choisies, on définit divers feuilletages (multi-feuilletage). Sur l’espace tridimensionnel Séparation σ3 , Topologie usuelle τ3 , Connexes ouverts et singletons. Sur les surfaces toriques Structure induite par σ3 , Variété bidimensionnelle τ2 , Connexes ouverts et singletons. Sur chaque orbite variété unidimensionnelle τ1 . Présences brunniennes : dynamiques continues Tores d’Arnold-Liouville Structures connectives possiblement en jeu Selon les structures choisies, on définit divers feuilletages (multi-feuilletage). Sur l’espace tridimensionnel Séparation σ3 , Topologie usuelle τ3 , Connexes ouverts et singletons. Sur les surfaces toriques Structure induite par σ3 , Variété bidimensionnelle τ2 , Connexes ouverts et singletons. Sur chaque orbite variété unidimensionnelle τ1 . Présences brunniennes : dynamiques continues Tores d’Arnold-Liouville Structures connectives possiblement en jeu Selon les structures choisies, on définit divers feuilletages (multi-feuilletage). Sur l’espace tridimensionnel Séparation σ3 , Topologie usuelle τ3 , Connexes ouverts et singletons. Sur les surfaces toriques Structure induite par σ3 , Variété bidimensionnelle τ2 , Connexes ouverts et singletons. Sur chaque orbite variété unidimensionnelle τ1 . Présences brunniennes : dynamiques continues Tores d’Arnold-Liouville Structures connectives possiblement en jeu Selon les structures choisies, on définit divers feuilletages (multi-feuilletage). Sur l’espace tridimensionnel Séparation σ3 , Topologie usuelle τ3 , Connexes ouverts et singletons. Sur les surfaces toriques Structure induite par σ3 , Variété bidimensionnelle τ2 , Connexes ouverts et singletons. Sur chaque orbite variété unidimensionnelle τ1 . Un espace universel (contenant toutes structures connectives finies !) : dynamique de Ghrist On croyait que c’était impossible... Pourtant, en 1997, Robert Ghrist dessine un template universel : cf. Knotted flowlines, Journées De Rham, 2004 . http://www.math.uiuc.edu/~ghrist/talks/knottedflowlines.pdf Un espace universel (contenant toutes structures connectives finies !) : dynamique de Ghrist Pour résumer De la faille entre continu et discret surgissent des espaces nouveaux, hors de la topologie générale, des espaces brunniens (et même des lacaniens !). Ces nouveaux espaces existent-ils dans la nature ? Synthèse de molécules borroméennes, noyau du carbonne C22 , Feuilletages connectifs des systèmes dynamiques discrets, continus... et bien d’autres... outils et références Une grande partie des images de cette présentation ont été calculées en c KnotPlot, www.knotplot.com Pascal puis créées dans Sur la fibration de Hopf, l’excellent film d’E. Ghys, J. Leys et A. Alvarez : Dimensions, www.dimensions-math.org, Un survol des nœuds de Lorenz, par Pierre Dehornoy, sur sa page www.umpa.ens-lyon.fr/ pdehorno Point de vue connectif : s.dugowson.free.fr
