BAC BLANC T ES

Le mercredi 7 octobre 2015
BAC BLANC T ES
MATHS Obligatoire
Durée : 3 heures
L’usage de la calculatrice est autorisée.
Le présent sujet comporte 5 pages.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Indication portant sur l’ensemble du sujet
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace
de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.
Mercredi 07/10
Exercice 1
Mathématiques
TES
(4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées
et une seule est correcte. Relever sur votre copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie.
Aucune justification n’est attendue.
Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève
de point.
Entre 2004 et 2014, le SMIC (Salaire Minimum Interprofessionnel de Croissance) mensuel brut est passé de
1154 e à 1445 e.
1. Selon une étude, le loyer moyen d’un studio en 2014 à Bordeaux est de 470 e. Quel pourcentage du SMIC
(arrondi à 0,1 %) cela représente-t-il ?
a. 40,7 %
b.
4,7 %
c.
32,5 %
d.
3,07 %
d.
25,2 %
2. Quel est le taux d’évolution du SMIC (arrondi à 0,1 %) entre 2004 et 2014 ?
a. 18,8 %
b.
2,91 %
c.
20,1 %
3. Quel est le taux d’évolution annuel moyen du SMIC (arrondi à 0,1 %) entre 2004 et 2014 ?
a.
2,3 %
b.
25,2 %
c.
1,4 %
d.
2,5 %
4. Entre 2013 et 2014, le SMIC a augmenté d’environ 1 %. En supposant que cette évolution annuelle se
poursuive dans les cinq prochaines années, quelle serait la valeur du SMIC mensuel brut en 2019 (arrondie
à l’euro) ?
a. 1 517 e
N. SANS
b.
1 450 e
c.
Page 2
2 327 e
d.
1 519 e
Année 2015/2016
Mercredi 07/10
Exercice 2
Mathématiques
TES
(6 points)
Dans une réserve naturelle, on étudie l’évolution de la population d’une race de singes en voie d’extinction à
cause d’une maladie.
Partie A
Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15 % chaque année.
Au 1er janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes.
A l’aide d’une suite, on modélise la population au 1er janvier de chaque année.
Pour tout entier naturel n, le terme un de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l’année
2004 + n.
On a ainsi u0 = 25 000.
1. Calculer l’effectif de cette population de singes :
a) au 1er janvier 2005 ;
b) au 1er janvier 2006.
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a un = 25 000 × 0, 85n .
3. Suivant ce modèle, on souhaite savoir, à l’aide d’un algorithme, au bout de combien d’années après le 1er
janvier 2004 le nombre de singes sera inférieur à 5 000.
Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l’algorithme ci-dessous.
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L8
:
:
:
:
:
:
:
:
Variables
Initialisation
Traitement
Sortie
u un réel, n un entier
u prend la valeur 25 000
n prend la valeur 0
Tant que . . . . . . . . . . . . faire
u prend la valeur . . . . . . . . . . . .
n prend la valeur . . . . . . . . . . . .
Fin Tant que
Afficher n
4. Montrer que la valeur n affichée après l’exécution de l’algorithme est 10.
Partie B
Au 1er janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve
naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus. La maladie prenant de l’ampleur, on met en place un programme
de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un
quart des singes disparaît et qu’il se produit 400 naissances.
On modélise la population de singes dans la réserve naturelle à l’aide d’une nouvelle suite. Pour tout entier
naturel n, le terme vn de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l’année 2014 + n.
On a ainsi v0 = 5 000.
1.
a) Calculer v1 et v2 .
b) justifier que, pour tout entier naturel n, on a vn+1 = 0, 75 × vn + 400.
2. On considère la suite (wn ) définie pour tout entier naturel n par wn = vn − 1 600.
a) Montrer que (wn ) est une suite géométrique de raison 0, 75. Préciser la valeur de w0 .
b) Pour tout entier naturel n, exprimer wn en fonction de n.
c) En déduire que pour tout entier naturel n, on a vn = 1 600 + 3 400 × 0, 75n.
d ) Calculer la limite de la suite (vn ) et interpréter ce résultat.
N. SANS
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Année 2015/2016
Mercredi 07/10
Exercice 3
Mathématiques
TES
(5 points)
Une entreprise, qui fabrique et vend des ordinateurs sur commande, modélise le bénéfice en euros pour x
ordinateurs fabriqués et vendus en une journée, par la fonction :
f (x) = x3 − 60x2 + 900x − 500.
L’entreprise ne pouvant construire plus de 30 ordinateurs par jour, on aura 0 6 x 6 30.
1.
a) Calculer le bénéfice pour 4 puis pour 10 ordinateurs.
b) Calculer f ′ (x), où f ′ désigne la fonction dérivée de f .
c) Dresser, après avoir étudié le signe de f ′ , le tableau de variation de f .
d ) En déduire combien d’ordinateurs l’entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour pour avoir un
bénéfice maximal. Donner ce bénéfice.
2. La courbe C donnée ci-dessous représente l’évolution du bénéfice en fonction du nombre d’ordinateurs
fabriqués et vendus en une journée suivant le modèle choisi par l’entreprise.
bénéfice en e
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
ordinateurs fabriqués
0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
−500
a) Par lecture graphique, déterminer combien l’entreprise doit fabriquer et vendre d’ordinateurs en une
journée si elle veut un bénéfice d’au moins 2 500 e.
b) Une grande surface veut acheter des ordinateurs. Elle propose au choix deux contrats à cette entreprise :
– contrat A : acheter 300 ordinateurs à fabriquer en dix jours ;
– contrat B : acheter 100 ordinateurs à fabriquer en cinq jours.
Quel contrat l’entreprise a-t-elle intérêt à choisir ? (Justifier votre réponse).
N. SANS
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Année 2015/2016
Mercredi 07/10
Exercice 4
Mathématiques
TES
(5 points)
Deux coureurs cyclistes, Nicolas et Vivien, ont programmé un entraînement hebdomadaire afin de se préparer
à une course qui aura lieu dans quelques mois. Leur objectif est de parcourir chacun une distance totale de
1 500 km pendant leur période d’entraînement de 20 semaines.
Nicolas commence son entraînement en parcourant 40 km la première semaine et prévoit d’augmenter cette
distance de 5 km par semaine.
Vivien commence son entraînement en parcourant 30 km la première semaine et prévoit d’augmenter cette
distance de 10 % par semaine.
On note un la distance, en kilomètres, parcourue par Nicolas la n-ième semaine.
On note vn la distance, en kilomètres, parcourue par Vivien la n-ième semaine.
On a ainsi u1 = 40 et v1 = 30.
Dans cet exercice, on étudie les suites (un ) et (vn ).
Partie A : l’entraînement de Nicolas
1. Calculer les distances parcourues par Nicolas au cours des deuxième et troisième semaines d’entraînement.
2. Quelle est la nature de la suite (un ) ? Préciser sa raison.
3. Recopier l’algorithme ci-dessous et en compléter les lignes (1) et (2) de façon à ce qu’il affiche en sortie la
distance parcourue par Nicolas lors de la n-ième semaine d’entraînement.
Variables :
Entrée :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
u est un réel
i et n sont des entiers naturels
Saisir n
u prend la valeur . . . . . . (1)
Pour i allant de 1 à n
u prend la valeur . . . . . . (2)
Fin Pour
Afficher u
4. Montrer que, pour tout n > 1, un = 35 + 5n.
Partie B : l’entraînement de Vivien
1. Quelle est la nature de la suite (vn ) ? Justifier la réponse.
2. Montrer que, pour tout n > 1, vn = 30 × 1, 1n−1 .
3. Calculer v8 . On arrondira le résultat au dixième.
Partie C : comparaison des deux entraînements
1. Vivien est persuadé qu’il y aura une semaine où il parcourra une distance supérieure à celle parcourue par
Nicolas. Vivien a-t-il raison ?
On pourra utiliser les parties A et B pour justifier la réponse.
2. À la fin de la 17e semaine, les deux cyclistes se blessent. Ils décident alors de réduire leur entraînement.
Ils ne feront plus que 80 km chacun par semaine à partir de la 18e semaine.
Leur objectif sera-t-il atteint ? Justifier.
N. SANS
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Année 2015/2016