Les proportions du visage sont-elles définies par le

Les proportions du
visage sont-elles
définies par le nombre
d’or?
Par : Maud Gauthier et Claudia Lavoie
Cégep de St-Félicien, 2015
Résumé: Les proportions du visage sont-elles définies par le nombre d’or?
Gauthier, M. & Lavoie, C. 2015. Rapport interne. Sciences, Cégep St-Félicien. 34
volontaires âgés entre 18 et 21 ans ont été pris en photo de face et de profil. À
partir de ces photographies, des mesures ont été prises pour établir des
proportions. Ainsi, il a été possible d’évaluer s’ils se rapprochaient du nombre d’or
et de d’autres rapports théoriques. Les résultats sont concluants pour certaines
proportions et non-concluants pour d’autres.
Abstract: Are the facial proportions defined by the Golden Ratio? Gauthier, M. &
Lavoie, C. 2015. Internal report. Sciences, Cégep St-Félicien. 34 volunteers, aged
between 18 and 21 years old, were photographed from face and profile. The
pictures were used to take different measures and with these measures,
proportions were calculated. Thus, it had been possible to evaluate if the ratios
were close from the Golden Ration and from others proportions. Results have
shown that some of them are fulfilled and others are not.
Mots clés: mathématiques, visage humain, nombre d’or, proportions
divines, rectangle doré.
Il y a plusieurs siècles, on a découvert certaines règles mathématiques qui régiraient la
beauté mathématique d’une personne selon les proportions de son corps. Par ailleurs, il
serait même possible d’évaluer la symétrie ainsi que le niveau de perfection mathématique
d’un visage humain d’après ces proportions dites divines. Ces dernières sont régies par le
nombre d’or, qui est une constante établie ayant fait ses preuves, au même titre que pi. On
peut le retrouver dans plusieurs sphères de la société, notamment dans la nature, dans les
arts, dans la musique et dans l’architecture.
Le but de l’expérimentation est de déterminer si l’esthétique du nombre d’or est un mythe
ou une réalité.
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Théorie
Le nombre d’or et ses applications
Tout d’abord, le nombre d’or est représenté par l’unique solution positive de l’équation du
second degré suivante :
.
La racine résultant de cette équation est
, qui équivaut à 1,6180339… et qui se fait
couramment appelé φ (phi). Pour l’instant, φ n’est peut-être qu’un nombre quelconque,
mais il prend tout son sens avec les formes dorées ainsi qu’avec ses autres représentations
dans la vie quotidienne.
1) Les formes dorées
Le segment ci-contre (fig.1) est la plus simple
représentation de la proportion d’or et il est dit
d’extrême et moyenne raison puisque b est à a ce
que a est à a+b. Un segment sera doré s’il
respecte la formule suivante :
Figure 1 Segment doré
Le triangle ci-contre (fig.2) peut, lui aussi, être traité
comme étant une forme dorée. En effet, les triangles AOC
et ABC seront semblables si et seulement si les segments a
et b respectent la formule (2). Donc, la droite OC sera
coupée
d’extrême
et
moyenne raison si les
triangles sont semblables.
Il est possible de noter les
mêmes
proportions dans un
Figure 2 Triangle doré
rectangle de côtés a et b
(fig.3). Encore une fois, le rectangle sera dit doré si et
seulement si les rapports (voir formules (2)) équivalent à φ.
Cependant, il existe une manière simplifiée de vérifier si
cette forme est dorée:
Figure 3 Rectangle doré
2) Le visage humain
Il existe une infinité de proportions pouvant être faites à partir de différentes mesures sur le
corps humain, autant par rapport au corps que par rapport au visage. Ces dernières sont
appelées la Proportion divine. Voici les rapports de distances pouvant être faits à partir d’un
visage humain et qui, en théorie, devraient s’apparenter au nombre d’or:
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- Distance du sommet du front aux sourcils = 1/3 de la longueur du visage
- Distance des sourcils à la base du nez = 1/3 de la longueur du visage
- Distance de la base du nez à la base du menton = 1/3 de la longueur du visage
Distance de la base du nez au milieu des lèvres = ½ de la distance du milieu des lèvres à la
base du menton
En dessinant un arc de cercle ayant pour centre le tragus
auriculaire de l’oreille du profil d’une personne, il est possible de
différencier 3 angles distincts (voir dessin ci-contre (fig.4)) :
- Du sommet du front aux sourcils (angle 1);
- Des sourcils à la pointe du nez (angle 2);
- De la pointe du nez au menton (angle 3).
Figure 4 Proportions divines de profil
Si
et que
, alors
.
Hypothèses :
1. Au moins 25% de la population étudiée aura des proportions près ou identiques à la
Proportion divine sur au moins 3 des 6 aspects étudiés;
2. Au moins 75% de la population étudiée préfèrera la forme dorée à deux autres formes
proposées.
Matériel :
 Appareil photo numérique de bonne qualité;
 Trépied;
 Règle de 30 cm;
 Rapporteur d’angles;
 Banc qui se monte et se descend;
 Punaise
 Niveau;
 Toile blanche;
 Bloc de styromousse d’une trentaine de cm de longueur et de hauteur;
 Papier à imprimer;
 Ficelle
 Carton noir
Méthode :
Pour atteindre notre but, nous devrons ajuster un appareil photo sur un trépied à une
hauteur x qui sera la même tout au long de l’expérimentation et le placer à une distance x
d’un mur (blanc de grande préférence ou où on aura placé une toile) qui sera elle aussi la
même tout au long de l’expérimentation.
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Devant le mur sera placé un banc ajustable. Il devra être placée exactement en face de
l’appareil de façon à n’avoir aucun angle qui pourrait influencer nos mesures lors de la prise
de photos.
Sur le mur à une hauteur x sera placée une ligne qui régira la hauteur à laquelle le haut de
la tête de chaque participant devra se situer. Cette hauteur sera la même pour la
photographie de face et pour celle de profil. Le zoom devra être ajusté à une valeur précise
qui ne changera jamais au cours de l’expérimentation.
Pour les photographies de face, le sujet devra être assis sur le banc le dos accoté sur le mur
derrière lui de façon à ce qu’il soit parfaitement droit. Ses cheveux devront être attachés
s’ils sont longs et le toupet devra être ramassé avec un bandeau de manière à ce que le
visage soit complètement dégagé. Son visage devra être neutre, sans émotion.
Pour les photographies de profil, elles se prendront toutes d’après le profil gauche. De plus,
de façon à ce que tous les sujets soient à la même distance de l’appareil photo, un cube ou
tout autre objet long devra être placé entre sa tête et le mur devant lequel il sera. L’objet en
question devra être plus long qu’une épaule pour que chaque personne soit évaluée de la
même façon. Aussi, le visage ne devra être neutre et ne contenir aucune émotion. Le sujet
devra regarder droit devant lui. Ses cheveux devront être attachés de manière à ce que son
visage soit complètement dégagé.
Lors de la prise de mesure sur les photographies de face, les longueurs suivantes devront
être mesurées : la longueur (de la racine des cheveux à la pointe du menton) et la largeur
(vis-à-vis les tragus auriculaires, d’un os de joue à l’autre), la distance du sommet du front
aux sourcils (de la racine des cheveux à entre les deux sourcils), la distance des sourcils à la
base du nez (d’entre les deux sourcils à juste en-dessous du nez), la distance de la base du
nez à la base du menton (de juste en-dessous du nez à la pointe du menton), la distance de
la base du nez au milieu des lèvres (de juste en-dessous du nez au milieu de la ligne des
lèvres fermées) et la distance du milieu des lèvres à la base du menton (du milieu de la
ligne des lèvres fermées à la pointe du menton). Pour ce qui est des photographies de profil,
les angles suivants seront mesurés : l’angle entre le sommet du front et les sourcils, l’angle
entre les sourcils à la pointe du nez et l’angle entre la pointe du nez et le menton.
Suite à la prise de mesures, nous devrons effectuer des calculs qui évalueront les
proportions étudiées :
(1)
(2)
(3)
(4) Distance du sommet du front aux sourcils = 1/3 de la longueur du visage;
Distance des sourcils à la base du nez = 1/3 de la longueur du visage;
Distance de la base du nez à la base du menton = 1/3 de la longueur du visage.
(5) Distance de la base du nez au milieu des lèvres = ½ de la distance du milieu des
lèvres à la base du menton.
(6) Si
et que
, alors
.
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Pour ce qui est de l’expérimentation #2, nous allons présenter 3 rectangles différents aux
sujets et ils devront décider lequel est le plus beau/parfait pour eux. Les données recueillies
suite à cette expérimentation se retrouveront elle aussi dans l’étude statistique qui sera
réalisée à la fin des calculs.
Résultats
Graphique 1: Expérience du
rectangle
38,89%
22,22%
#1
#2
38,89%
#3
Discussion
Avant de traiter des résultats, il est important de préciser quelques problèmes qui ont été
rencontrés. Malgré le fait que des proportions étaient calculées et qu’il n’était évidemment
pas nécessaire que toutes les photos soient identiques, il a semblé important de tout de
même suivre cette méthode de façon à ce qu’il soit plus facile de se vérifier et de se repérer
parmi les différentes photographies. Pour les photographies de face, les mesures se sont
faites sans anicroche tandis que pour celles de profil, cela a été un peu plus difficile : il a été
difficile de trouver une méthode efficace pour tracer l’arc de cercle; aucun compas n’était
assez grand. Ce fut au final une méthode plutôt archaïque qui a été utilisée, soit qu’une
punaise soutenait une corde qui, à l’aide d’un crayon, permettait de dessiner un arc de
cercle. De plus, la première technique utilisée pour mesurer les angles a été avec un
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rapporteur d’angles. Cependant, cela ne semblait pas assez précis, donc les angles ont été
mesurés une deuxième fois en utilisant un produit croisé par rapport aux arcs de cercle, ce
qui s’est avéré plus efficace.
Pour ce qui est des résultats en lien avec le nombre d’or (pupille/sourcils, longueur/largeur,
bouche/nez, angles de profil), il est possible de remarquer qu’ils se situent plutôt loin de la
valeur théorique désirée. Cela peut s’expliquer par le fait que les mesures ont été prises par
deux personnes différentes et avec une règle, donc la précision est moindre que si cela avait
été effectué par un logiciel informatique. L’instrument utilisé permettait de mesurer aux
millimètres près, ce qui signifie que la différence entre les mesures n’est qu’une question de
millimètres, mais cela peut avoir tout de même joué un grand impact sur les résultats
finaux. Bien que ces derniers ont été évalués comme étant plutôt bons, il a été préférable
d’effectuer un test de l’écart-moyen, qui allait permettre de savoir l’intervalle entre lequel
nos données se situaient. Pour la majorité de cette catégorie de résultats, l’écart frôlait la
mesure théorique sans toutefois l’englober. Par contre, vu le côté expérimental, les résultats
sont considérés comme étant très bons. Il y a cependant une proportion qui ne peut être
perçue comme bonne et c’est celle des pupilles/sourcils. En effet, il s’est avéré qu’elle était
beaucoup plus élevée que la valeur théorique. Cela s’explique par le fait que les sourcils sont
variables d’une personne à l’autre : certains les épilent, d’autres non, ce qui peut avoir
influencer de beaucoup le calcul de la proportion.
Pour ce qui est des résultats n’étant pas reliés au nombre d’or (bouche-menton/nez-bouche,
les tiers du visage), il se sont révélés excellent. Effectivement, les résultats étaient pour la
plupart sur la valeur théorique, sinon ce n’était qu’une question de décimales de différence.
De plus, il n’aurait pas été nécessaire d’évaluer les écarts-moyens pour ces cas, puisqu’il
était évident qu’il allait englober le résultat désiré.
Dans le cas de l’expérience des rectangles, il est difficile d’évaluer si les résultats obtenus
sont révélateurs ou non, puisque ce n’était qu’une expérience connexe qui aurait pu être
poussée davantage. Le rectangle d’or, qui aurait dû être le plus apprécié par les sujets, s’est
avéré l’être, mais à égalité avec un autre rectangle aux proportions quelconques.
Ensuite, en ce qui attrait à l’hypothèse sur l’expérimentation principale, il est impossible de
la confirmer ou de l’infirmer, étant donné la très grande quantité de mesures et de résultats
(voir Annexe 1). Aussi, il est difficile d’évaluer à partir de quelle valeur les résultats sont
considérés comme étant près de la valeur théorique. Il en est de même pour l’expérience
des rectangles, puisqu’il n’y avait aucune profondeur dans l’expérience et que les résultats
n’étaient pas représentatifs, il a été impossible de conclure quoi que ce soit.
Finalement, pour orienter notre expérience principale selon un angle différent, il serait
intéressant de comparer les proportions du visage entre les hommes et les femmes ou de
faire de même entre les différentes nationalités. Pour l’expérimentation des rectangles, il
serait intéressant de demander aux sujets de dessiner un rectangle et d’en mesurer les
proportions pour vérifier si elles respectent celles du rectangle doré. Ainsi, l’expérience serait
beaucoup plus poussée et précise que ce qui a été fait.
Le projet n’a pas de réel impact sur la société puisqu’il n’a servit qu’à valider une théorie
mathématique traitée un très grand nombre de fois par différents mathématiciens.
Cependant, bien qu’aujourd’hui la beauté soit relative à chacun, ne se pourrait-il pas, qu’un
jour, la beauté soit indirectement régie par des proportions au lieu d’opinions générales?
Conclusion
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Le but de l’expérimentation, qui était de déterminer si l’esthétique du nombre d’or est un
mythe ou une réalité, a été atteint puisque suite à la prise de mesures et à l’établissement
de proportions, les résultats se sont avérés près des valeurs théoriques désirées, selon le
temps qui nous était accordé ainsi que l’échantillon de sujets. En effet, étendue sur une plus
grande période et à plus grande échelle, l’expérimentation gagnerait beaucoup en précision
et serait plus facile à confirmer. Tout cela amène tout de même à conclure que l’esthétique
du nombre d’or est effectivement une réalité.
Remerciements
Nous remercions ces personnes qui ont contribué à l’accomplissement de notre projet;

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M. Dominique Boivin, professeur de mathématiques au Cégep de St-Félicien
Mme Nancy Francoeur, technicienne en laboratoire au Cégep de St-Félicien
Les 34 sujets de Sciences de la nature et de Sciences humaines qui ont
gentiment accepté de faire partie de notre expérience
Iconographie
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Fig.1:
Fig.2:
Fig.3:
Fig.4:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d%27or
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d%27or
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d%27or
Maud Gauthier
Médiagraphie
Sites Internet
 DAMASO, Nina, Travail de maturité : Les propriétés esthétiques du nombre d’or sur le
visage humain : mythe ou réalité ?, 20 octobre 2011, (En ligne),
http://www.slgb.ch/schulhaus/archiv/maturaarbeiten/maturitaetsjahrgang2012/TM%20NIna%20Damaso%20%20termine-1.pdf

Wikipédia, Nombre d’or, (En ligne), http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d%27or

Les Canons de Beauté Féminins À la Renaissance, (En ligne), http://femmes-duxiv.e-monsite.com/pages/iere-partie/divines-proportions.html

TPE : Mesurer la beauté, Comment mesurer la beauté humaine et quels sont les
mécanismes qui la régissent et permettent de la percevoir, http://tpe-mesurer-labeaute.e-monsite.com/pages/le-nombre-d-or-une-preuve-de-beaute.html

HUBAUT, Xavier, Mathématique du secondaire: Rectangles, (En ligne),
http://xavier.hubaut.info/coursmath/var/rectangl.htm

Société Radio-Canada, Le nombre d’or : Les faits, Montréal, 2011, (En ligne),
http://curio-stfelicien.proxy.ccsr.qc.ca/fr/le-nombre-dor-les-faits/s/s/211/
Livres et documents
 HEMENWAY, Priya, Le code secret, Suisse, Evergreen, 2008, 203p.

CLEYET-MICHAUD, Marius, Le nombre d’or, Collection : Que sais-je ?, France, Puf,
1973, 125p
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