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1et_ch9 (Complexes_RLC_sinusoïdal).odt Marie Pierrot – Lycée du Rempart 20/05/10 Ch.9 : Dipôles passifs en régime sinusoïdal. 1. Nombres complexes associés aux vecteurs de Fresnel. Le vecteur de Fresnel: Son module est la valeur efficace de la grandeur u(t) qu'il représente. θ est la phase à l'origine de u(t). U U θU O x On peut lui associé un nombre complexe: U=U∙cos θj∙U ∙sinθ U = U et θ = Arg (U) j est un nombre complexe tel que: j2 = 1 et 1 = − j. j Un vecteur tout comme un nombre complexe nous permet de caractériser une grandeur sinusoïdale en nous indiquant son amplitude et sa phase à l'origine. Réponses : U1=5 U2=j ∙4 U3=−3 U4=−j ∙2 Exercice d'application n°1 Dessiner les vecteurs de Fresnel et donner l'écriture complexe des tensions ci – contre : u1=5∙ 2 ∙sinω ∙t u2=4 ∙ 2∙sin ω∙ t 2 u5=5,8 ∙ 2 ∙sin ω∙ t− u =5,8 ∙ 2 ∙sinω ∙t− 4 u3=3 ∙ 2∙sin ω∙t 3 2 U5=2,9−j∙5 2. Les dipôles passifs en régime sinusoïdal 2.1. Caractéristiques d'un dipôle passif linéaire i=I 2∙sin ω∙t−φ Les dipôles passifs sont la résistance, le condensateur et l'inductance. Lorsque on applique une tension sinusoïdale u=U 2∙sin ω∙t , de fréquence donnée, à un dipôle passif linéaire, il est traversé par un courant sinusoïdal i=I 2∙sin ω∙ t−φ de même fréquence que la tension et tel que U et I sont proportionnels : U=Z ∙I Z est appelée impédance du dipôle et s'exprime en Ohm – Ω φ est le déphasage entre la tension et l'intensité en radians – rad ; φ = θU – θI Dipôle passif Z;φ u=U 2 ∙sin ω∙ t Un dipôle passif linéaire est caractérisé par son impédance Z et le déphasage φ qu'il produit entre la tension à ses bornes et l'intensité du courant qui le traverse. Rmq: on définie également Y = 1/Z, appelée admittance et qui s'exprime en Siemens S. Exercice d'application n°2 : Un dipôle passif soumis à une tension u=16 2∙ sin9525∙ t− est traversé par un 6 courant d'intensité i=0,008 2∙ sin 9525∙ t . 12 1) Dessiner les vecteurs de Fresnel associés à chacune de ces grandeurs 2) Déterminer les nombres complexes qui leur sont associés 3) Déterminer les éléments caractéristiques du dipôle passif Z et φ. 2.2. Impédance complexe des dipôles élémentaires. I et U sont les nombres complexes associés aux vecteurs La loi d'Ohm s'écrit avec les complexes : U = Z.I I et U . ⇒ Z = U [U ; 0 ] = = [Z ; φ] I [I ;−φ ] Z est l'impédance complexe du dipôle élémentaire : Z = [ Z ; φ ] Exercice d'application n°3 : Reprendre l'exercice précédent et déterminer l'impédance complexe Z du dipôle passif, sous la forme trigonométrique et sous la forme algébrique. Calculer le rapport U / I . Conclusion ? Page 1 sur 5 1et_ch9 (Complexes_RLC_sinusoïdal).odt Marie Pierrot – Lycée du Rempart 20/05/10 2.3. Résistance. R i Entre les valeurs instantanées du courant et de la tension on a la relation: u = R i si i=I 2 sin ωt alors u=RI 2 sin ωt avec U=RI u Tension u : Amplitude 4,23 Volt Valeur efficace 2,99 Volt 10 0 degrés Phase à l'origine intensité i Valeur efficace 4 3 3 0 degrés i(t) (mA) y Vecteur 1 2,99 0 Vecteur 2 6,36 0 1 1 u(t) (V) On en déduit : x 2 2 100 Hertz Fréquence 5 6 4 6,36 mA Phase à l'origine 7 5 9 mA Amplitude 6 8 100 Hertz Fréquence 7 9 0 0 1 1 2 3 2 4 3 5 Caractéristique de l'impédance 8 470 ohms Module 5 7 0 degrès Déphasage 4 6 6 9 7 10 0 1 2 3 4 5 temps en millisecondes 6 7 8 9 7 10 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 Exercice d'application n°4 Déterminer le déphasage entre u et i et le module de l'impédance Z = U / I En déduire la valeur de la résistance. Les caractéristiques du résistor linéaire sont: Z = R et ϕ = 0 rad Impédance complexe: sont colinéaires et on peut écrire U = R.I entre les grandeurs complexes associées. Les vecteurs de Fresnel I et U → L'impédance complexe d'une résistance est réelle : ZR = R 2.4. Bobine parfaite (inductance). si i =I 2sin ωt θ I alors u=LωI 2sin ωt θI On a : U =LωI et π 2 L i di Entre les valeurs instantanées du courant et de la tension on a la relation: u=L dt u d u =L I 2sin ωt θ I = LI 2 ⨯ ωcos ωt θI dt [ et comme ] u=U 2sin ωt θ U π φ = θ U −θI = rad 2 Tension u : 5 Volt Amplitude Valeur efficace 10 3,54 Volt intensité i Valeur efficace 4 3 3 0 degrés On en déduit : x y Vecteur 1 0 3,54 Vecteur 2 5,66 0 2 2 100 Hertz Fréquence 5 6 4 5,66 mA Phase à l'origine 7 5 8 mA Amplitude 6 8 100 Hertz Fréquence 7 9 90 degrés Phase à l'origine 1 1 u(t) (V) 0 0 i(t) (mA) 1 1 2 3 2 4 3 5 Caractéristique de l'impédance 90 degrès Déphasage Module 625 ohms 4 6 7 5 8 6 9 7 10 0 1 2 3 4 5 temps en millisecondes 6 7 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 Exercice d'application n°5 Déterminer le déphasage entre u et i et le module de l'impédance Z = U / I En déduire la valeur de l'inductance de la bobine. Page 2 sur 5 1et_ch9 (Complexes_RLC_sinusoïdal).odt Marie Pierrot – Lycée du Rempart 20/05/10 Les caractéristiques de la bobine parfaite sont: Z = Lω et ϕ = +π/2 rad Impédance complexe: Loi d'Ohm en complexe: UL = ZL.I Relation entre les modules : UL = LωI On peut écrire : UL = [ LωI ; ] = jLωI car 2 U L est sur l'axe des imaginaires purs. → L'impédance complexe d'une bobine parfaite est : ZL = [ Lω ; ] = jLω 2 2.5. Condensateur parfait (capacité). Entre les valeurs instantanées du courant et de la tension on a la relation: i =C si u = U 2 sin ωt alors u = CωU 2 sin ωt On a alors : π 2 I = CωU C i du dt u d i = C [ U 2sin ωt ] = CU 2 ⨯ω cos ωt dt et comme ou U = i = I 2sin ωt −φ I Cω et π φ = θ U −θI = − rad 2 Tension u : 7 Volt Amplitude Valeur efficace 10 4,95 Volt Phase à l'origine 90 degrés Fréquence 100 Hertz 4 3 3 0 degrés On en déduit : x y Vecteur 1 0 4,95 Vecteur 2 3,54 0 2 2 100 Hertz Fréquence 5 6 4 3,54 mA Phase à l'origine 7 5 5 mA Valeur efficace 6 8 intensité i Amplitude 7 9 1 1 u(t) (V) 0 0 i(t) (mA) 1 1 2 3 2 4 3 5 7 90 degrès Déphasage 5 8 1400 ohms Module 4 6 Caractéristique de l'impédance 6 9 7 10 0 1 2 3 4 5 temps en millisecondes 6 7 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 Exercice d'application n°6 Déterminer le déphasage entre u et i et le module de l'impédance Z = U / I En déduire la valeur de la capacité du condensateur. Les caractéristiques du condensateur parfait sont: Z = 1/Cω et ϕ = π/2 rad Impédance complexe: Loi d'Ohm : UC = ZC.I Relation entre les modules : UC = (1/Cω)×I On peut écrire : UC = [ 1 ∙I ; − ] = j ×(1/Cω) × I 2 Cω → L'impédance complexe d'un condensateur parfaite est : ZC = [ 1 ; − ] = 1/jCω Cω 2 2.6. Généralisation L'impédance complexe Z introduit le déphasage entre U et I et contient la proportionnalité entre les valeurs efficaces : Z =[ Z ; φ] et U =Z ⨯ I ⇒ { U =Z ⨯ I φ=θ U −θ I =Arg Z Page 3 sur 5 1et_ch9 (Complexes_RLC_sinusoïdal).odt Marie Pierrot – Lycée du Rempart 20/05/10 Exercice d'application n°7 1) Déterminer le déphasage entre u et i et le module de l'impédance Z = U / I 2) En déduire l'impédance complexe Z sous la forme trigonométrique puis sous la forme algébrique. 3) Ce dipôle possède une résistance. Estil selon vous plutôt inductif ou plutôt capacitif ? 4) i=3,54 ∙10−3 ∙ 2∙sin ω∙t . Exprimer l'intensité complexe I sous la forme trigonométrique. 4 5) En déduire la tension complexe U en utilisant la loi d'Ohm complexe. 6) Votre résultat correspondil aux données concernant u ? Tension u : 6 Volt Amplitude Valeur efficace 10 4,24 Volt Phase à l'origine 20 degrés Fréquence 100 Hertz 4 3 3 45 degrés On en déduit : x y Vecteur 1 3,99 1,45 Vecteur 2 2,5 2,5 2 2 100 Hertz Fréquence 5 6 4 3,54 mA Phase à l'origine 7 5 5 mA Valeur efficace 6 8 intensité i Amplitude 7 9 1 1 u(t) (V) 0 0 i(t) (mA) 1 1 2 3 2 4 3 5 Caractéristique de l'impédance 65 degrès Déphasage Module 1200 ohms 4 6 7 5 8 6 9 7 10 0 1 2 3 4 5 temps en millisecondes 6 7 8 9 7 10 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 3. Tableau récapitulatif Dipôle RESISTOR PARFAIT Représentation i REACTOR PARFAIT R i U =R I Z R =[ R ; 0]=R C u U = j Lω I U = Z I Impédance Z (Ohm Ω) i L u u Lois d'Ohm: CONDENSATEUR PARFAIT π Z L =[Lω ; ]= j Lω 2 U= Z C=[ 1 I j Cω 1 π 1 ;− ]= Cω 2 j Cω Admittance Y (Siemens S) Y R =[ 1 Y= Z Représentation des vecteurs de Fresnel associés à u et i Comportement aux basses fréquences Comportement aux hautes fréquences I O 1 1 ;0]= R R U Y L=[ 1 π 1 ;− ]= Lω 2 j Lω O ϕ I π Y C =[Cω ; ]= j Cω 2 I U ϕ U O R R Page 4 sur 5 1et_ch9 (Complexes_RLC_sinusoïdal).odt Marie Pierrot – Lycée du Rempart 20/05/10 4. Association RLC série. Problème: Connaissant R, L et C, trouvons l'impédance Z de l'ensemble. On peut appliquer la loi d'additivité des tensions avec les notations complexes: i R uR U =U RU LU C 1 U =R I jLω I I 2 jCω 1 ∣ Z∣= Z= R2 Lω− 1 Cω 1 U = R jLω I Z=R j Lω− jCω 1 Cω Lω− 1 Cω Z= R jLω φ= Arg Z ⇒ φ= Arctg[ ] et ⇨ jCω R 1 Z=R j Lω− jCω C L uL uC u Exercice d'application n°12 Trois dipôles R = 820 Ω ; L = 0,3 H et C = 0,47 µF sont associés en série. f = 800 Hz. 1) Déterminer Z 2) i=0,007 2∙ sinω∙ t− .Déterminer u. 6 5. Association RLC parallèle. Problème: Connaissant R, L et C, trouvons l'impédance Z de l'ensemble. On peut appliquer la loi des nœuds avec les notations complexes: I = I R I L I C U U I= jCω U R jL ω 1 1 I = jCωU 1 R jL ω Z= 2 2 1 1 1 1 1 Z= I = − j j C ω U Cω− R Lω enfin ⇨ 1 1 R Lω [ j Cω− ] 1 1 R Lω 1 I =[ j C ω − ]U φ= Arctg[ R −Cω] R Lω Lω 1 U= I 1 [ j C ω − 1 ] R Lω iR i R L iL C iC u Exercice d'application n°13 Trois dipôles R = 820 Ω ; L = 0,3 H et C = 0,47 µF sont associés en parallèle. f = 800 Hz. 1) Déterminer Y puis en déduire Z 2) i=0,007 2∙ sinω∙ t− .Déterminer u. 6 6. Conclusion L R C Quand les dipôles sont en série leurs impédances complexes s’ajoutent pour donner l’impédance complexe de l’association. 1 ZR = R ; ZL = jLω ; ZC = 1/ jCω et Z = R j Lω− Cω R L C Quand les dipôles sont en parallèle leurs admittances complexes s’ajoutent pour donner l’admittance complexe de l’association. 1 1 j Cω− YR = 1/R ; YL = 1/jLω ; YC = jCω et Y = R Lω Page 5 sur 5