Terminale ES : contrôle 6.

Lycée JANSON DE SAILLY
01 mars 2013
EXERCICE
CONTRÔLE N
O
Tle ES
Durée 2 heures
6
( 5 points )
1
2
1. Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) = x2 − 2x + − 1.
x
Z
4
Calculer la valeur exacte de l’intégrale I =
f (x) dx.
1
2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f définie par f (x) =
3. Calculer l’intégrale J =
Z 2
x2
2
− − 1 sur l’intervalle [2; 6].
2 x2
ex − e−x dx.
−2
Peut-on en déduire que la fonction f définie pour tout réel x par f (x) = ex − e−x est constante sur l’intervalle
[−2; 2] ?
EXERCICE
( 5 points )
2
Selon une étude réalisée par le CNC (centre national du cinéma) :
« en 2011, 20 % films français de court métrage sont aidés en production.
L’animation apparait comme un genre majeur parmi les films aidés en production : elle représente 22,5 % des
films, contre seulement 6,9 % des films qui ne sont pas aidés en production. »
On consulte au hasard la fiche d’un film français de court métrage réalisé en 2011 et on note :
S : l’évènement « le court métrage a bénéficié d’une aide à la production » ;
A : l’évènement « le court métrage est un film d’animation ».
Les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondis au millième.
1. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités donné ci-dessous.
A
S
A
A
S
A
2. Calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d’un court métrage d’animation qui a bénéficié d’une
aide à la production.
3. Montrer que la probabilité que la fiche choisie soit celle d’un court métrage d’animation est égale à 0,1.
4. La fiche choisie est celle d’un court métrage d’animation, quelle est la probabilité que ce soit celle d’un film
ayant bénéficié d’une aide à la production ?
5. On consulte au hasard et de façon indépendante n fiches de films français de court métrage réalisés en 2011.
On note pn la probabilité qu’au moins une de ces fiches soit celle d’un court métrage d’animation.
Déterminer le plus petit entier n pour lequel pn > 0,9.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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Lycée JANSON DE SAILLY
01 mars 2013
EXERCICE
CONTRÔLE N
O
Tle ES
Durée 2 heures
6
( 10 points )
3
PARTIE A
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 2e−0,5x + x.
1. Calculer f ′ (x).
2. Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f .
PARTIE B
On considère maintenant la fonction F définie sur R par F(x) =
x2
− 4e−0,5x .
2
1. Montrer que F ′ (x) = f (x).
2. Étudier les variations de la fonction F.
3. Montrer que l’équation F(x) = 0 a une solution unique α dans R, avec α appartenant à l’intervalle [1 ; 2].
Donner une valeur arrondie au dixième près de α .
4. Étudier la convexité de la fonction F.
5. La courbe représentative de de la fonction F a-t-elle un point d’inflexion ?
PARTIE C
1. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I =
Z 2
f (x) dx
−2
2. On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal (unités
graphiques : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées).
y
Cf
7
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
Calculer une valeur approchée à 10−2 près de l’aire en cm2 de la portion du plan hachurée.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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