Pricing d`options et méthodes d`arbre
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Pricing d`options et méthodes d`arbre
Pricing doptions et méthodes darbre Matthieu Leblanc Août 2003 Contents 1 Introduction 1 2 Méthodologie 2 3 Qualité de la convergence vers prix et delta 3.1 Options européennes . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Sans détachement de dividendes . . . 3.1.2 Avec détachement de dividendes . . . 3.2 Options américaines . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Sans détachement de dividendes . . . 3.2.2 Avec détachement de dividendes . . . 3.3 Résultat global transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 7 10 10 12 14 4 Précision prix et delta 14 4.1 Options européennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2 Options américaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5 Conclusions 1 16 Introduction Ce document se consacre à létude des méthodes numériques, dites par arbres, utilisées par X dans le pricing des options standards américaines. Il existe également dautres techniques, arbre willow power de Curran, di¤érences nies ou Monte Carlo par exemple. Comme nous envisageons dans un premier temps unniquement lamélioration de la méthode utilisée jusquici, un arbre de CoxRoss-Rubinstein, nous ne nous concentrerons que sur ce type de technique. Lobjectif de ce papier est double : permettre de savoir comment se comporte loutil de pricing actuel, spécialement en présence de détachement discret de dividende (étude qui ne semble pas avoir été faite dans la littérature académique), et denvisager certaines améliorations simples. Ces améliorations doivent aller dans deux directions : précision et rapidité de calcul, aussi bien pour les prix 1 que pour les grecs. Excepté pour les arbres trinomiaux, toutes les techniques utilisent un temps de calcul équivalent (précision à la seconde près). Nous nous appliquons donc à estimer la précision de chacune des méthodes. Lorsque lon étudie la littérature sur ce sujet, on constate quune méthode nest jamais la plus performante dans tous les cas (option out ou in, dividendes ou non). On pourra donc identi er la méthode qui fournit lerreur la plus faible possible en moyenne, mais aussi la méthode la plus performante dans chacun des cas possibles. 2 Méthodologie A n de comparer les performances des di¤érentes méthodes, il faut disposer de prix (et de delta) de référence. La première approche est donc de se placer dans le modèle de Black-Scholes et de comparer les prix des méthodes approchées à ceux obtenus par la formule de Black-Scholes. On regarde donc ici le prix doptions européennes. La deuxième approche consite à comparer les prix des options américaines. Sous certaines hypothèses, on dispose dune formule fermée pour les calls américains en présence de dividendes discrets. Cest donc dans ce contexte que lon se place (voir [1] pour plus de détails). Le delta est calculé alors par di¤érences nies a n dutiliser la même méthode quun arbre. Les prix et delta se comparent alors comme pour les options européennes. Pour les puts américains,une telle formule nexiste pas. On prendra alors comme prix de référence, celui obtenu par la méthode la plus courante, larbre de Cox Ross Rubinstein, avec un grand nombre de pas pour assurer une très forte convergence, on prendra la moyenne des prix et des deltas calculés pour N = 1000 et N = 1001 (certes, cette appproche peut en un sens favoriser à la baisse les calculs derreurs de larbre CRR) pour des options de maturité 6 mois. Lerreur sera mesurée lécart-type de lerreur relative.Il est donné par v u m u1 X e2 RM SE = t m i=1 i Pbi Pi où Pi est le vrai prix Pi de loption et Pbi le prix calculé numériquement. m est le nombre densembles de paramètres utilisés pour une technique numérique. Cest une mesure de lerreur adoptée dans de nombreuses études statistiques. On se limite à un seul type derreur pour éviter larbitrage entre di¤érentes mesures. Par exemple si lon teste calls et puts, out at et in, 2 maturités, 2 dates possibles de détachement de dividendes, 3 volatilités, on obtient m = 72 ensembles de paramètres. Si lon ne regarde que les calls out, on tombe à m = 12 ensembles où RMSE signi e Root Mean Square Error et ei = 2 de paramètres. On pourra aussi ne faire varier que le nombre de pas utilisés, etc. Ici, on ne fera varier quun seul paramètre à la fois et on établira la meilleure méthode dans chacun des cas. Les méthodes seront classées de 1 à 11, 1 pour la méthode ayant lerreur moyenne ou lécart-type le plus faible, ceci pour deux échantillons, lun allant jusquau pas 131 (nombre de pas utilisé actuellement sur une option de maturité 130 jours ouvrés), lautre allant jusquau pas 261. Le classement global, obtenu par moyenne de ces deux classements donne le résultat nal. Méthodes testées Nous navons pas la prétention dêtre exhaustif, même pour les méthodes par arbres. A n de limiter les temps de calculs de prix nous limitons volontairement aux techniques ne demandant le calcul que dun seul arbre : pas dutilisation du calcul de loption européenne comme contrôle pour le calcul du prix de loption américaine équivalente par exemple. Certaines techniques ne sont pas étudiées comme lapplication des extrapolations de Richardson. La plupart des méthodes sont décrites dans [2]. Tous les arbres considérés sont recombinants. - Binomial CRR, arbre standard décrit par Cox, Ross et Rubinstein (1979), actuellement utilisé pour le pricing des options américaines, - Binomial HW (BHW), arbre décrit par Hull et White (1988) - Binomial RB, arbre décrit par Rendleman et Bartter (1979), contenant le cas particulier de larbre JR de Jarrow et Rudd (1983). - Binomial Tian, arbre décrit par Tian (1993),. - Binomial LR, arbre décrit par Leisen et Reiner (1998), où lon sarrange pour que le strike soit toujours au centre de larbre. - Binomial BBS, méthode régularisant le prix en introduisant le prix BlackScholes à lavant dernier rang de larbre des prix doptions (voir [3]), larbre de départ étant le Binomial CRR. - Binomial Average (AVE), cest une petite exception à notre règle : on calculera deux arbres de taille n0 et n0 + 1 et on comparera le prix à un arbre CRR avec N pas. Cette technique vient à lorigine de le¤et N pair ou N impair qui apparait dans les arbres binomiaux et qui provoque une oscillation plus ou moins importante. On choisira n0 tel que le nombre de noeuds dans les deux arbres soient identiques au nombre de noeuds dans larbre à N 1 pas, soit p n0 = 2 + 4 + (N 2 + 3N 4) =2 a n que les temps de calcul soient similaires. - Binomial ABMD, arbre décrit par Jabbour et al. (2001) obtenu à partir dune modi cation dite en log dans le choix des paramètres de larbre. - Trinomial Boyle, arbre décrit par Boyle (1988). - Trinomial KR (TKR), arbre décrit par Kamrad et Ritchken (1991). 3 - Trinomial TBS, idem BBS où lon modi e lavant dernier rang de larbre, partant de larbre initial de KR. Listes des paramètres Contrat, européen ou américain, T ype, call ou put, S, sous-jacent, prix en date de calcul, K, strike de loption, T , maturité, exprimée en année, v; volatilité (constante), r, taux dintérêt continu (constant), q, taux repo (ou de dividende continu), t, date de détachement du dividende discret, D, valeur du dividende détachant en t, N , nombre de pas de temps utilisé dans larbre, l,pdegré de liberté supplémentaire intervenant dans les arbres trinomiaux, l = 3=2pest recommandé pour les options ATM (sans dividende) dans larbre KR, l = 3 dans larbre Boyle. Nous reviendrons sur ce point plus tard. Jeux de tests T = 0:5, K = 100, S = 120,100 ou 80, v = 0:5, r = 0:03, q = 0, t = 0:01; ou 0:49, D = 0 ou 10. Ceci pour des options européennes et américaines, puts et calls. Cest le détachement de dividendes qui nous intéresse particulièrement ici. Le taux dintérêt ou le taux Repo ont la même inuence quelque soit la méthode utilisée. - Qualité de la convergence vers le prix et le delta La maturité est xée à 0:5 année et nous observons la diminution de la taille de lintervalle de temps entre deux étapes de larbre par une aumentation de N . Ceci nous montre comment la méthode converge vers le véritable prix et le véritable delta. Notons que, dans les méthodes BBS et TBS, pour quun dividende ne détache T soit N > 50 lorsque t = 0:49 pas entre les pas N 1 et N , il faut que N > T t et N > 1 lorsque t = 0:01. Nous prendrons systématiquement N 51 et allant jusquà 261. - Précision du prix et du delta de loption. En pratique, dans le pricing actuel, on choisit toujours N = min(101, nombre de jours jusquà échéance). De plus si N est pair on prend alors N + 1. En faisant varier la maturité de 1 à 260 jours, on pourra apprécier la qualité des valeurs obtenues dans des conditions proches de celles utilisées aujourdhui et identi er la méthode la plus performante. 4 3 Qualité de la convergence vers prix et delta Les erreurs commises sont calculées pour un nombre de pas N = 51 à N = 261 (m = 211). La maturité étant de 6 mois soit 130 jours, nous calculons également les erreurs pour un nombre de pas allant de N = 51 à N = 131 (m = 81): On rappelle que, a n de résumer les résultats sur les erreurs nous établissons un classement des méthodes pour chaque erreur (soit 2 classements) pour obtenir ensuite un classement global. Ce dernier classement nous permettra dexhiber les méthodes optimales dans chacun des tests. 3.1 Options européennes Le cas des options européennes nest pas le plus intéressant directement en pratique. Mais dans ce cas, nous disposons de formule fermée pour les calls et les puts qui nous permettent de comparer les résultats de la méthode numérique au prix théorique vers lequel elle converge. 3.1.1 Sans détachement de dividendes Nos procédons aux calculs des prix et des deltas pour les 11 méthodes. Pour les 6 combinaisons suivantes, nous donnons les méthodes plus performantes que larbre CRR, de la meilleure à la moins bonne (un et signi e méthode équivalente) n test S type 1 80 callout 2 100 callat 3 120 callin 4 80 putin 5 100 putat 6 120 putout m ethodes prix : T BS; BBS; T KR; AV E; Boyle; ABM D delta : T BS; T KR; BBS; BHW; RB prix : AV E; T BS; T KR; BBS; T ian delta : BBS; T KR; AV E; T BS; BHW; RB; LR prix : T BS; BBS; T KR; Boyle; AV E; T ian; ABM D delta : BBS; AV E; BHW; T BS; T KR prix : T BS; BBS; T KR; AV E; Boyle; ABM D delta : T BS; T KR; BBS; BHW; RB prix : T BS; BBS; T KR; AV E; Boyle; ABM D delta : T KR; BBS; T BS; AV E; BHW; RB; LR prix : T BS; BBS; T KR; Boyle et AV E; T ian; ABM D delta : BBS; AV E; T BS; BHW; T KR; RB Les mêmes méthodes reviennent dans les 6 combinaisons. Pour les prix les 4 approches TBS, BBS, AVE, TKR sont systématiquement meilleures que la méthode de pricing actuelle. Pour les deltas, les 4 approches TBS, TKR, BBS, BHW sont systématiquement meilleure que la méthode de pricing actuelle. Pour les 10 méthodes et la méthode CRR, nous recalculons une erreur transversale sur le prix et le delta obtenus au pas 131 sur chacun des 6 tests (ici m=6). 5 On retient ce nombre de pas car cest celui utilisé actuellement pour une maturité à 130 jours (maturité de test). De la meilleure technique (celle ayant lerreur RMS la plus faible) à la moins bonne, on obtient : Pour le prix : AVE, Tian, TKR, TBS, BBS, Boyle, ABMD, LR, CRR, RB, BHW. Pour le delta : TBS, BBS, TKR, BHW, Boyle, RB, CRR, ABMD, AVE, Tian, LR. Les 4 méthodes précedemment retenues dans chacun des cas restent encore meilleure que larbre CRR dans ce cadre. Au nal, le meilleur compromis jusquici est lapproche TBS, mais si lon considère que les méthodes trinomiales requiert plus de calcul pour un même nombre de pas, la méthode BBS doit être retenue. Il faudrait tester la méthode trinomial dans des conditions de temps de calculs équivalents, nous verrons plus loin pourquoi ce nest pas nécessaire. Les deux graphes ci-dessous montrent comment, dans le contexte du test n 6, convergent chacune des méthodes (la couleur est fortement conseillée pour apprécier les nuances). 6.9200 6.9100 6.9000 6.8900 prix CRR prix BS Prix AVE prix TBS 6 prix TKR prix BBS 255 243 231 219 207 195 183 171 159 147 135 123 111 99 87 75 63 51 6.8800 6.8700 6.8600 6.8500 6.8400 -0.2309 -0.2311 -0.2313 -0.2315 delta CRR delta BS delta AVE delta TBS delta TKR delta BBS On constate que les façons de converger pour chaque méthode sont assez distinctes. Les techniques XBS lissent la fonction de prix en fonction du pas (cest le but de la technique) et améliorent naturellement le calcul du delta. Prendre la méthode moyenne AVE donne une convergence similaire à larbre TKR. La technique trinomial réduit considérablement loscillation de la méthode binomial CRR. On constate également que dans la méthode CRR (et les méthodes de convergence similaire), laugmentation du nombre de pas naméliore pas à coup sûr la précision, ceci étant du à le¤et de convergence en cône (oscillations de taille croissante puis décroissante) que lon constate ci-dessus. 3.1.2 Avec détachement de dividendes Lors de détachement de dividendes, on a vu plus haut quil fallait imposer un nombre minimal de pas, ici N = 51, à partir du quel sont calculées toutes les erreurs. Le dividende discret est xé à 10; qui est élevé par rapport à la réalité mais permet de plus facilement constater le¤et de son détachement. 7 255 243 231 219 207 195 183 171 159 147 135 123 -0.2307 111 99 87 75 63 51 -0.2305 n test S 7 80 0:01 callout 8 80 0:49 9 100 0:01 10 100 0:49 11 120 0:01 12 120 0:49 13 80 0:01 14 80 0:49 15 100 0:01 16 100 0:49 17 120 0:01 18 120 0:49 t type callat callin putin putat putout m ethodes prix : BBS; AV E; RB delta : BBS; BHW; T ian; RB prix : BBS; AV E; RB delta : BBS; BHW; T ian; RB prix : BBS; AV E; ABM D delta : BBS; BHW; RB; LR prix : BBS; AV E; AM BC; LR delta : BBS; BHW; RB; LR prix : BBS; AV E; T ian; LR; AM BD delta : BBS; AV E; BHW prix : BBS; AV E; T ian; LR; ABM D delta : BBS; AV E; BHW prix : BBS; AV E delta : BBS; BHW; T ian; RB prix : BBS; AV E delta : BBS; BHW; T ian; RB prix : BBS; AV E; ABM D; LR delta : BBS; BHW; RB; LR prix : BBS; AV E; ABM D; LR delta : BBS; BHW; RB; LR; AV E prix : BBS; AV E; T ian; LR; ABM D delta : BBS; AV E; BHW prix : BBS; AV E; BHW delta : BBS; AV E; BHW Les mauvais résultats globaux des arbres trinomiaux viennent du fait que le paramètre l doit être choisi en fonction notamment de la position du spot utilisé dans larbre par rapport au strike. Il nexiste pas de formule donnant le paramètre optimal à utiliser dans chaque condition. Il parait donc di¢cile dutiliser les arbres trinomiaux dans dautres cas que les options sans détachement de dividende avant léchéance (en fait en tatonnant, on pourra trouver un paramètre optimal, mais sans exhiber une règle pour le déterminer). Les techniques qui emmergent sont : Pour les prix : BBS, AVE Pour les deltas : BBS, BHW Pour le pas N = 131, on obtient : Pour le prix : BBS, CRR, RB, ABMD, BHW, AVE, LR, Tian, TBS, TKR, Boyle. Pour le delta : BHW, RB, CRR, ABMD, BBS, AVE, Tian, LR, TBS, TKR, Boyle. Ici les performances sont assez di¤érentes et il est plus délicat de trancher. 8 Dans le contexte du test n 12 nous donnons les graphes suivant : 21.2400 21.2200 21.2000 21.1800 21.1600 21.1400 21.1200 prix BS prix CRR prix BBS prix BHW prix AVE 0.6892 0.6891 0.6890 0.6889 0.6888 delta BS delta CRR delta BBS delta BHW 255 delta AVE Ici encore, et malgré le détachement de dividende, le¤et de lissage voulu dans la méthode BBS est un succès. CRR, BHW et RB (non représenté) se comportent de façon très similaires, les résultats numériques montrant que la deuxième 9 243 231 219 207 195 183 171 159 147 135 123 111 99 87 75 63 51 0.6887 259 246 233 220 207 194 181 168 155 142 129 116 103 90 77 64 51 21.1000 oscille moins que la première lors de la convergence du delta. AVE se comporte correctement également au niveau du delta grâce au lissage partielle de la fonction prix que la méthode impose. 3.2 Options américaines Gardons en mémoire que les valeurs théoriques calculées pour les puts américains ne sont en réalité que des valeurs approchées calculées avec plus de précision (plus de décimales correctes). 3.2.1 Sans détachement de dividendes Dans le cas du call, cest la situation des tests 1, 2 et 3. Nous na¢chons donc que les cas du put ici. n test S type 19 80 putin 20 100 putat 21 120 putout m ethodes prix : T BS; T KR; BBS; Boyle et AV E; ABM D delta : T BS; T KR; BBS; AV E; BHW; RB prix : T KR; AV E; T BS; BBS; T ian; ABM D; LR delta : T KR; BBS; T BS; AV E; BHW; RB et LR prix : T BS; BBS; T KR; Boyle; AV E; ABM D delta : BBS; AV E; BHW; RB Les méthodes trinimoiales sont à nouveau performantes ici (au moins pour les prix). On retiendra les techniques systématiquement meilleures que CRR (calls et puts confondus) : Pour les prix : TBS, TKR, BBS, AVE Pour les deltas : BBS, BHW Pour le pas N = 131, on obtient : Pour le prix : AVE, TKR, TBS, Tian,BBS, Boyle,ABMD, CRR, LR, RB, BHW. Pour le delta : TBS, BBS, TKR, BHW, RB, Boyle, CRR, ABMD, AVE, Tian, LR. Les résultats sont ici assez semblables aux précédent. Le meilleur compromis est encore BBS. 10 Les graphes suivants correspondent au test n 19: 24.2000 24.1900 24.1800 24.1700 24.1600 24.1500 24.1400 prix BS prix CRR prix BBS prix AVE 255 243 231 219 207 195 183 171 159 147 135 123 111 99 87 75 63 51 24.1300 prix TBS 255 243 231 219 207 195 183 171 159 147 135 123 99 87 111 -0.6735 75 63 51 -0.6730 -0.6740 -0.6745 -0.6750 -0.6755 -0.6760 delta BS delta CRR delta BBS delta AVE Les comportements des convergences sont similaires aux cas précédents. 11 delta TBS 3.2.2 Avec détachement de dividendes Cette situation est la plus importante en pratique. n test S t type 22 100 0:01 callat 23 100 0:49 24 120 25 120 0:49 26 80 0:01 callout 27 80 0:49 28 100 0:01 29 100 0:49 30 120 31 120 0:49 32 80 0:01 33 80 0:49 0:01 0:01 callin putat putout putin m ethodes prix : BBS; AV E; ABM D delta : BBS; BHW; RB; LR prix : T ian; AV E; BHW; RB; BBS; LR delta : BHW; RB; BBS; LR prix : T ian et BHW; RB; BBS delta : Boyle; T KR; T BS; T ian; BBS; ABM D prix : BHW; RB; BBS; AV E delta : BHW; LR; Boyle et BBS; T KR prix : BBS; AV E; RB delta : BBS; T ian; BHW; RB prix : T ian; BHW; BBS; RB delta : T ian; LR; BHW; BBS; RB prix : BBS; AV E; ABM D; LR delta : BBS; BHW; RB et AV E; LR prix : BBS; AV E; ABM D; LR delta : BBS; AV E; BHW; RB; LR prix : BBS; AV E; T ian; LR; ABM D delta : Boyle; T BS; T KR; T ian; BBS; ABM D; RB; AV E prix : BBS; AV E; T ian; ABM D; LR delta : BHW prix : BBS; AV E; ABM D delta : BBS; BHW; RB prix : BHW et T ian; RB; LR delta : BBS; BHW; RB Les résultats sont moins tranchés ici, mais les méthodes trinomiales ne sont pas dans le coup à nouveau. Les techniques systématiquement meilleures que CRR (calls et puts confondus) : Pour les prix : BBS Pour les deltas : il ny en a pas mais BBS et BHW sont 11 fois meilleurs sur les 12 tests e¤ectués et quand lun nest pas meilleur, lautre lest. Pour le pas N = 131, on obtient : Pour le prix : LR, Tian, AVE, BBS, BHW, RB, CRR, ABMD, TBS, TKR, Boyle. Pour le delta : BHW, RB, CRR, BBS, ABMD, AVE, Tian, LR, TBS, TKR, Boyle. Le meilleur compromis pourrait être une combinaison des méthodes BBS et BHW : en e¤et, BBS est un lissage de la fonction prix de larbre CRR et on pourrait envisager un lissage de larbre BHW de la même façon. On donne les graphes suivant dans le cadre du test n 22: 12 prix BS prix CRR prix BBS prix AVE 259 246 233 220 207 194 181 168 155 142 129 116 103 90 77 64 51 13.2000 13.1800 13.1600 13.1400 13.1200 13.1000 13.0800 13.0600 13.0400 13.0200 13.0000 prix BHW 0.5879 0.5877 0.5875 0.5873 0.5871 0.5869 0.5867 delta BS delta CRR delta BBS delta AVE 255 delta BHW Ici, les techniques BBS, BHW, et CRR convergent de la même manière (quasi superposition sur les graphes). En particulier, le lissage de la première méthode est inexistant. 13 243 231 219 207 195 183 171 159 147 135 123 111 99 87 75 63 51 0.5865 En n, une remarque sur le test n 24 dont la convergence vers le delta est particulièrement mauvaise : Lerreur RMS 131 jours pour CRR est de 3:84%; la meilleure méthode étant Boyle qui donnne 1:13%. 3.3 Résultat global transversal Pour le pas N = 131, on donne les résultats transversaux pour : les options américaines seules (tests 19 à 33) - prix : Tian, AVE, BBS, LR, ABMD, CRR, RB, BHW, TBS, TKR, Boyle - delta : BBS, BHW, RB, CRR, ABMD, AVE, Tian, LR, TBS, TKR, Boyle. les options américaines et européennes (tests 1 à 33) - prix : AVE, BBS, Tian, LR, ABMD, CRR, RB, BHW, TBS, TKR, Boyle. - delta : AVE, BBS, Tian, LR, ABMD, CRR, RB, BHW, TBS, TKR, Boyle. Pour résumer, lapproche BBS semble le meilleur compromis. 4 Précision prix et delta Les jeux de tests sont les suivants. K = 100, r = 3%, D = 10, t = 0:5 ans, v = 50%: La maturité varie de 1 à 260 jours. Lorsque le détachement de dividende est après lexpiration, on nen tient pas compte. Le nombre de pas N est choisi comme indiqué plus haut à priori. Encore un fois les techniques BBS et TBS imposent t < T T =N . Si t = T = 130 ou 131 jours, N = 131 et cette inégalité nest plus véri ée. On aumentera alors le nombre de pas de 1 (pour toutes les techniques bien sûr) pour éviter ce problème dans ce cas. En pratique cette di¢culté ne se pose pas si lon impose aucun détachement de dividende entre les pas N 1 et N . 4.1 Options européennes test S type 1 120 callin 2 100 callat 3 80 callout 4 120 putout 5 100 putat 6 80 putin m ethodes prix : BBS; AV E; T ian; LR; BHW; RB delta : BBS; BHW prix : AV E; BBS; T ian; ABM D delta : BHW; BBS; RB; LR prix : Boyle; BBS; T ian; BHW; RB delta : Boyle; T ian; T KR; T BS; BBS; BHW; RB prix : BBS; T BS; Boyle; T KR; AV E; ABM D delta : Boyle; T BS; BBS; T KR; BHW; RB prix : AV E; BBS; T ian; ABM D; LR delta : BHW; BBS; RB; LR prix : BBS; AV E; RB delta : BBS; BHW; RB 14 Remarque 1 Pour les options out, les erreurs RMS sont calculées à partir du rang où les prix obtenus sont signi cativement distinguables. Les techniques systématiquement meilleures que CRR (calls et puts confondus) : Pour les prix : BBS Pour les deltas : BBS et BHW. 4.2 Options américaines Ici notre règle de choix du pas ne semble pas adaptée. Par exemple, si T = 144 jours (après détachement du dividende) le prix théorique du call est 27:2665. Si lon prend N = 145, le prix CRR est alors 27:2067, alors que si N = 144, le prix CRR est de 27:2507 qui est bien meilleur. Ceci est vrai pour toutes les méthodes étudiées, pour toutes les maturités au delà de la date de détachement du dividende. Cela suggère de conserver autant ditérations quil y a de jours jusquà la maturité au lieu de forcer au nombre impair supérieur lorsquun dividende tombe avant léchéance de loption. Evidemment ceci nest visible que sur les calls, là où lon dispose dun formule fermée. De façon semble t-il plus générale, lorsque la maturité est peu après un détachement de dividende, le nombre de pas ditération semble largement insu¢sant : par exemple, dans le cas du test 8 ci-dessous, si T = 131, t = 130, le prix CRR avec N = 131 est 13:2317 alors que le vrai prix (formule fermée pour les calls) est 13:3031. Avec N = 1000 le prix CRR passe à 13.2991. Evidemment, il est impossible de déterminer une règle précise. Ce constat peut être fait pour toute les méthodes étudiées ici et sestompe lorsque la maturité augmente. Ceci suggère daugmenter le nombre de pas entre la date détachement et la maturité. Avec ces modi cations pour les calls nous obtenons : test S type 7 120 callin 8 100 callat 9 80 callout 10 120 putout 11 100 putat 12 80 putin m ethodes prix : BBS; T ian; LR; AV E; ABM D delta : Boyle; T BS; T KR; BBS; BHW prix : BBS; AV E; T ian; ABM D delta : BBS; RB; LR; ABM D prix : BBS; Boyle; T ian delta : Boyle; T KR; T ian; T BS; BBS; BHW; RB prix : BBS; T BS; Boyle; T KR; AV E; ABM D delta : Boyle; T BS; BBS; T KR; BHW; RB prix : AV E; T BS; BBS; T KR; T ian; ABM D; LR delta : T KR; ABM D prix : BBS; AV E; ABM D delta : BBS; BHW; RB Les techniques systématiquement meilleures que CRR (calls et puts confondus) : 15 Pour les prix : BBS Pour les deltas : il n y en a pas. BBS est meilleure 5 fois sur 6. 5 Conclusions Nous navons étudié que des méthodes darbres simples, dont limplémentation serait aisée à partir de la méthode utilisée actuellement, larbre CRR. Nous pourrons dans un deuxième temps envisager de développer des méthodes darbres plus élaborées : avec une variable de contrôle, par extrapolation,... ou tout simplement dautres approches : di¤érences nies, Monte Carlo... Deux résultats sont mis en avant : - la méthode BBS est le meilleur compromis parmi toutes les méthodes et dans tous les cas examinés ici. - le choix dun nombre pas impair systématique nest pas bon lorsquun dividende détache avant léchéance dune option américaine : dans ce cas il meilleur de conserver un nombre ditérations égale au nombre de jour jusquà échéance. Plus généralement, augmenter le nombre ditérations entre la date de détachement et la maturité peut-être envisagé. Bien que nous nayons pas une règle précise à donner, une dizaine ditérations supplémentaires judicieusement placée améliorent les résultats. References [1] J. Hull, Options, Futures and Other Derivatives, 3ème édition, Prentice Hall, 1997. [2] Y. Kwok, Mathematical Models of Financial Derivatives, Springer Finance, 1998. [3] M. Leblanc, Suggestions et remarques sur les outils de market-making, Note interne, 2003. 16