Maillage optimum des éléments de plaques pour la

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A uteur
Titre
Date
T
Miche l C AZENAVE / Francis GUILLEMAR D
Maillage optim um de s é lé m e nts de plaque s pour la construction
Édition janvie r 2002 (I)
out utilisate ur de logicie l de calcul par é lé m e nts finis a é té un jour confronté à la que stion suivante : "Q ue lle de nsité
de m aillage adopte r pour avoir de bons ré sultats ?". Il e st bie n sur trè s difficile de ré pondre de m aniè re form e lle à ce tte
que stion dans la m e sure où par principe , la m odé lisation par é lé m e nts finis (surtout surfacique e t a fortiori volum ique )
induit de s cham ps d'e fforts e t de contrainte s discontinus. Le s ré sultats é volue nt e n fonction du m aillage e t conve rge nt
ve rs la solution e x acte , m ais... com m e nt faire pour dé te rm ine r une de nsité de m aillage optim ale ?
Avant de propose r une m é thode de dé te rm ination de m aillage pour le s plaque s chargé e s pe rpe ndiculaire m e nt à le urs
plans, é voquons le s de ux possibilité s de quantification de s approx im ations due s au m aillage de s m odè le s.
· Augm e ntation de la discré tisation,
· C om paraison de s cham ps d'e fforts/contrainte s lissé s e t non lissé s.
1. A ugmentation de la discrétisation (voir annexe 1)
C e type de validation s'e ffe ctue e n trois é tape s :
1) Calcul n°1 : La discré tisation initiale du m odè le considé ré donne un dé place m e nt
d1
s1,
d 2 e t une
e t une contrainte
2) Calcul n°2 : Le double m e nt de la discré tisation initiale du m odè le considé ré donne un dé place m e nt
contrainte s2,
3) Hors concentration(s) de contraintes, vérification de :
d1 » d2,
(s1-s2)/s1*100 < 5%
Pour l'ingé nie ur, il e st rare m e nt possible de faire varie r le m aillage de m odè le s im portants e t e nsuite de com pare r le s
ré sultats obte nus, pour de s raisons é vide nte s de dé lais e t de coûts d'é tude s. Une te lle possibilité pourrait ê tre
autom atisé e e t le dé parte m e nt R &D de GR AITEC travaille à la m ise e n oe uvre d'un m ode le ur qui pe rm e ttra
l'optim isation autom atique du m aillage .
2. Comparaison des champs lissés et non lissés (voir annexe 2)
La m é thode pré cé de nte ne pouvant ê tre d'une utilisation
systé m atique , l'utilisate ur a né anm oins la possibilité de
com pare r dire cte m e nt le s ré sultats associé s aux cham ps
lissé s e t non lissé s.
Si ce s de ux vale urs ne corre sponde nt pas e t dans la m e sure
où ce tte com paraison s'e ffe ctue hors de s points de
conce ntration(s) de contrainte s ou d'e fforts, le m aillage
pourra ê tre considé ré com m e insuffisant.
Gé né rale m e nt e t de m aniè re trè s sim plifié e , ce tte opé ration
consiste à com pare r de s ré sultats nodaux e t é lé m e ntaire s...
C e tte m é thode ne pe ut s'e nvisage r que pour de s
vé rifications ponctue lle s dans le cas de m odè le s im portants
com pte te nu é gale m e nt du te m ps né ce ssaire à sa m ise e n
œuvre
Paramétrage de la visualisation des champs lissés
ou non lissés dans Effel
ALORS COMMENT FAIRE ?
A dopter des le départ un maillage optimum qui puisse garantir des résultats fiables !
Pour e x plique r l'astuce que nous vous proposons, pre nons l'e x e m ple d'un planche r dalle e n bé ton arm é :
Etape 1 :
Longitudinale m e nt (coupe AA) de ssinons qualitative m e nt le s flè che s du planche r dalle . Dans ce tte coupe , il y a 7
courbure s dont 2 courbure s conte nant un appui inte rm é diaire que nous dé com posons e n de ux . Nous obte nons donc 9
zone s :
Pour chaque zone de m ê m e courbure , nous im pose rons un m aillage de 4 é lé m e nts de plaque s.
Etape 2 :
Transve rsale m e nt (C oupe BB), m ê m e opé ration de dé coupage par zone de courbure :
Il y a 4 courbure s e t 6 zone s :
Pour chaque zone de m ê m e courbure , nous im pose rons un m aillage de 4 é lé m e nts de plaque s.
Etape 3 :
Dé finition de s zone s de m aillage .
Le m aillage du planche r dalle pe ut ê tre dé com posé par le s zone s de s é tape s 1 e t 2 :
Nous avons donc une surface de 9*6 zone s. Pour chaque zone nous pre nons un m aillage 4*4.
Dans ce t e x e m ple , le m aillage se ra donc de 36*24.
Etape 4 :
Harm onisation du m aillage
Nous re m arquons que le m aillage contie nt de s plaque s de surface s diffé re nte s pour chaque zone . Pour de s raisons de
rapidité de m odé lisation, il convie ndra é ve ntue lle m e nt d'optim ise r ce m aillage variable e n pre nant com m e ré fé re nce la
m aille la plus pe tite .
Etape 5 :
Vous pouve z toujours e nsuite vé rifie r la conve rge nce de votre m odè le par le s de ux m é thode s d'analyse pré se nté e s e n
dé but d'article e t dé ve loppé e s e n anne x e .
5. Conclusion
De part sa form ulation, la m é thode de s é lé m e nts finis introduit une ince rtitude sur la qualité de s ré sultats e n e fforts e t
contrainte s. La clé de ce problè m e passe par un m aillage adapté au problè m e considé ré .
C e t article vous a proposé une m é thodologie e n 5 é tape s pour dé te rm ine r un m aillage optim al, né anm oins le s outils de
post-traite m e nt proposé s par le s logicie ls pe rm e tte nt, par com paraison de s ré sultats lissé s e t non lissé s, de quantifie r
ce tte e rre ur (par e x e m ple , dans Effe l activation de l'option "Lissage R é gions iso" dans la boite de dialogue acce ssible
par le m e nu "O ptions / R é sultats").
C e pe ndant, aucune de s de ux m é thode s é voqué e s au dé but de ce t article e t dé ve loppé e s dans le s anne x e s, ne pe uve nt
ê tre considé ré e s com m e d'utilisation systé m atique . Pour de s m aillage s pe u de nse s, la m é thode non lissé e se m ble plus
adapté e dans la m e sure où e lle é vite tout é crê tage de s ré sultats. Inve rse m e nt e t ave c de s m aillage s suffisam m e nt
de nse s, le s ré sultats lissé s sont gé né rale m e nt plus pré cis du fait d'une m e ille ure inte rpolation. Enfin, il convie nt de
pré cise r que ce tte m é thodologie n'e st pas applicable s au points de conce ntration de contrainte s ou d'e fforts.
C e constat a bie n sur une incide nce non né glige able sur le s calculs e n gé nie civil é tant donné que le s sollicitations sont
la base de toute s vé rifications ré gle m e ntaire s. En e ffe t e t plus particuliè re m e nt pour le s calculs e n bé ton arm é utilisant
le s m é thode s de W ood ou C apra par e x e m ple , le nive au d'ince rtitude sur le s quantité s d'acie r se ra proportionne l à ce lui
obte nu sur le s e fforts d'où la né ce ssité de cale r le s ré sultats é lé m e nts finis avant tout dim e nsionne m e nt, e n utilisant
une de s 2 m é thode s é voqué e s au dé but de l'article e t dé ve loppé e s e n anne x e s.
Annexe 1 - Augmentation de la discrétisation
Étude d'une plaque rectangulaire en flexion
Donné e s :
a =2 m
Module longitudinal E = 10000000 N/m 2
C oe fficie nt de Poisson n = 0.3
Epaisse ur h = 0.01 m
C harge ré partie transve rsale p =1 N/m 2
C onditions d'appuis : appuis sim ple s sur tout le contour
1. Solutions de référence
S. Tim oshe nk o (Thé orie de s plaque s e t de s coque s) a é tabli que :
C e qui donne dans notre cas :
2. Résultats avec b/a=1 en faisant varier la densité de maillage
2.1. Déplacements
d
Le s ré sultats conve rge nt ve rs la vale ur obje ctif dè s un m aillage de 4x 4 é lé m e nts.
C e ux ci pe ut s'e x plique r par la fait que l'é lé m e nt liné aire utilisé pour la m odé lisation
re constitue corre cte m e nt la dé form é e de de gré 4 re quise par la thé orie de s plaque s.
2.2. Moments lissés
Le s ré sultats de vie nne nt acce ptable s dè s un m aillage 6x 6.
Le s ré sultats sont forcé m e nt continus du fait de l'utilisation du lissage .
2.3. Moments non lissés
Le s ré sultats de vie nne nt acce ptable s dè s un m aillage 4x 4.
La continuité de s ré sultats de vie nt e ffe ctive .
3. Résultats avec b/a=2 en faisant varier la densité de maillage
3.1. Déplacements
d
3.2. Moments lissés
Le s ré sultats de vie nne nt acce ptable s dè s un m aillage 6x 6.
3.3. Moments non lissés
Le s ré sultats de vie nne nt acce ptable s dè s un m aillage 4x 4.
Annexe 2 - Comparaison des champs lissés et non lissés
1. Un petit peu de théorie
La m é thode de s é lé m e nts finis utilise large m e nt l'inté gration num é rique dite de Gauss pour dé te rm ine r le s quantité s
né ce ssaire s au calcul (rigidité , e ffort, m asse , e tc.). C e s quantité s sont dé finie s e n de s points trè s particulie rs de
l'é lé m e nt fini considé ré appe lé s points d'inté gration ou points de Gauss, le s positions de ce s points é tant connue s trè s
pré cisé m e nt. De la m ê m e façon e t aprè s calcul, le s ré sultats e n e fforts e t contrainte s sont e x prim é s e n ce s points.
2. Champ lissé
C onsidé rant un nœud i com m un à 4 é lé m e nts surfacique s, la vale ur de la contrainte
liné aire de s vale urs corre spondante s aux points de Gauss voisins, par la m oye nne :
si
e st obte nue aprè s inte rpolation
Si le cham p de contrainte s (ou d'e fforts) e st forte m e nt discontinu du fait d'un m aillage inapproprié (i.e , le s vale urs aux
points de Gauss voisins du nœud i sont trè s diffé re nte s), la vale ur ré sultante e st bie n sur trè s é crê té e d'où un risque
d'e rre ur im portant.
3. Champ non lissé
Dans ce cas le s contrainte s ou e fforts de chacun de s é lé m e nts pris un à un sont e x prim é s au ce ntre de gravité de
chacun d'e ux aprè s inte rpolation. Enfin, un traite m e nt num é rique de type iso vale urs pe rm e t d'e x prim e r au nœud i le s
vale urs obte nue s pour chacun de s é lé m e nts. Il y donc quatre vale urs de contrainte s si au nœud i pe rm e ttant de
m até rialise r le de gré de continuité de s ré sultats ainsi obte nus.