Olivier Goachet - Ressources actuarielles

MÉMOIRE D'ACTUAIRE
BUDGÉTISATION DES CONSOMMATIONS
EN FONDS PROPRES DANS LE CADRE
D'UN PORTEFEUILLE DE CRÉDITS
OLIVIER GOACHET – 2008
1
2
Résumé
Mots clés
Portefeuille de crédits – Fonds propres réglementaires – Fonds propres économiques
– Mesure de risque – Bâle II – Allocation – Budgétisation
Nous nous intéressons dans ce mémoire à la mise en place pratique d'un processus
de budgétisation des fonds propres dans le cadre d'un portefeuille de crédits. Les
outils nécessaires à la modélisation du risque de crédit des portefeuilles sont
présentés dans les première et deuxième parties. La troisième partie développe une
première formalisation du processus de budgétisation ainsi que deux principales
problématiques liées, puis propose des pistes d'amélioration. Le sujet présenté est à
l'intersection de problématiques de contrôle des risques et de contrôle de gestion et
peut être complété par d'autres travaux impliquant une coordination de ces deux
matières.
Keywords
Credit portfolio – Regulatory capital – Economic Capital – Risk measure – Basel II –
Allocation – Planification
This study deals with practical implementation of a capital budgeting process in the
context of credit portfolios. First and second parts present tools which allow to model
portfolio credit risk. Third part shows a formal capital budgeting process as well as
two related issues and then proposes adequate improvement solutions. Developed
subject is of interest for both Risk Management and Finance departments, and can
be completed by other studies mixing these two areas.
3
Sommaire
Résumé ____________________________________________________ 3
Sommaire ___________________________________________________ 4
I. Introduction générale ________________________________________ 6
II. Modélisation du risque de crédit d’un portefeuille d’actifs ___________ 7
1. Approche structurelle de Merton _____________________________________7
1.1. Modélisation de la structure du bilan _______________________________7
1.2. Des variations de l'equity à celles de l'actif __________________________9
2. Modèle CreditMetrics _____________________________________________10
2.1. Distribution de la valeur future d'une obligation _____________________11
2.1.1. L'ensemble des qualités de crédit possibles _____________________11
2.1.2. La probabilité d'occurrence __________________________________11
2.1.3. Le choix de l'horizon de temps _______________________________12
2.1.4. Evaluation des prix forward __________________________________12
2.1.5. La construction de la distribution forward de la valeur de l'obligation _13
2.2. Extension à un portefeuille constitué de plusieurs obligations __________14
2.2.1. Modification du modèle de Merton _____________________________15
2.2.2. Prise en compte des corrélations via des facteurs systémiques ______16
2.3. Résumé ____________________________________________________17
3. Modèle Bâle II __________________________________________________17
3.1. Le contexte réglementaire ______________________________________18
3.1.1. Le rôle des fonds propres dans une banque _____________________18
3.1.2. Exigences minimales de fonds propres réglementaires _____________19
3.2. Le modèle de crédit sous-jacent à la réforme Bâle II _________________20
3.2.1. De Bâle I à Bâle II _________________________________________20
3.2.2. Un principe de base conduisant à l'utilisation d'un modèle ASRF _____21
3.2.3. Description du modèle ______________________________________21
3.2.4. Estimation de la consommation en fonds propres réglementaires ____25
III. Mesures de risque et allocation de fonds propres ________________ 27
1. Mesures de risque _______________________________________________27
1.1. Définition et formalisation ______________________________________27
1.1.1. Notion de risque __________________________________________27
1.1.2. Formalisation des propriétés des mesures de risque_______________28
1.2. Différentes mesures de risque ___________________________________29
1.2.1. Mesures basées sur l'écart-type ______________________________29
1.2.2. Value-at-Risk _____________________________________________31
1.2.3. Expected Shortfall _________________________________________33
1.2.4. Autres mesures de risque ___________________________________36
1.2.5. Résumé _________________________________________________37
2. Allocation de fonds propres ________________________________________37
2.1. Description et motivation de la problématique ______________________37
2.2. Un système d'axiomes pour l’allocation de fonds propres ______________38
2.2.1. Fonction d'allocation de fonds propres _________________________38
2.2.2. Complétude de ce système __________________________________40
2.2.3. Existence d'une fonction d'allocation de fonds propres _____________41
2.3. Exemples de fonctions d'allocation de fonds propres _________________42
2.3.1. Mesures basées sur l'écart-type ______________________________42
2.3.2. Expected Shortfall _________________________________________44
4
2.3.3. Value-at-Risk _____________________________________________45
IV. Budgétisation des consommations en fonds propres ______________ 48
1. Un premier processus de budgétisation des consommations en fonds propres _48
1.1. Intérêts et motivations d'une approche prospective __________________48
1.1.1. Gouvernance interne _______________________________________48
1.1.2. Communication externe ____________________________________49
1.2. Choix de mesures de consommation en fonds propres ________________49
1.2.1. Bilan simplifié et activités de Lux Bank _________________________50
1.2.2. Deux mesures de consommation en fonds propres ________________51
1.2.3. Allocation des consommations________________________________52
1.2.4. Synthèse des résultats et situation financière ____________________53
1.3. Une première formalisation du processus de budgétisation ____________54
2. Problématiques de mise en œuvre et affinement du processus de budgétisation
________________________________________________________________56
2.1. Exemple d'évolution des consommations entre deux dates ____________56
2.1.1. Modifications apportées au bilan de Lux Bank entre t=0 et t=6m ____56
2.1.2. Synthèse des évolutions ____________________________________56
2.1.3. Analyse globale des évolutions _______________________________57
2.1.4. Analyse détaillée des évolutions ______________________________59
2.2. Principales problématiques rencontrées ___________________________60
2.2.1. Volatilité des consommations ________________________________60
2.2.2. Volatilité des allocations ____________________________________62
2.3. Affinement du processus de budgétisation _________________________64
2.3.1. Octroi des fonds propres disponibles ___________________________64
2.3.2. Suivi des consommations ___________________________________66
V. Conclusion générale ________________________________________ 69
Annexes ___________________________________________________ 70
Annexe 1 : description des portefeuilles en t = 0 _________________________70
Annexe 2 : description des portefeuilles en t = 6m ________________________76
Bibliographie _______________________________________________ 82
5
I. Introduction générale
Depuis le début des années 90 les fonctions de Risk Management ont pris une
importance considérable dans les institutions financières et notamment dans les
banques. Aujourd'hui ces dernières s'aident de plus en plus d'outils de mesure du
risque pour piloter leurs activités.
Ces outils de mesure du risque peuvent prendre différentes formes, allant du suivi
quotidien d'activités dont le profil de risque évolue très rapidement (Market Risk
Management pour des activités de trading par exemple), au suivi plus global et à
intervalles plus espacés de l'ensemble des risques auxquels les banques sont
exposées.
Ces dernières approches visent à proposer au Management une vision exhaustive
sur les risques auxquels les banques sont ou peuvent être exposées. Dans ce cadre
le suivi des niveaux de fonds propres disponibles par rapport à l'ensemble des
risques encourus fait l'objet d'une attention particulière. A ceci deux raisons
principales : d'une part le souci d'assurer à la banque un niveau de solvabilité
suffisant, d'autre part la volonté d'optimiser l'utilisation qui est faite des fonds
propres disponibles.
Les banques font ainsi face à une problématique pratique quant à l'allocation de
leurs fonds propres à différentes sous-activités ou différentes entités. Cette
problématique est depuis quelques années au cœur des processus de planification
financière et a été récemment encouragée par le régulateur avec l'obligation pour les
banques de mettre en place un processus ICAAP1 dans le cadre du Pilier 2 de Bâle II.
Si on trouve dans la littérature de nombreux travaux sur le thème de l'allocation
de fonds propres, celle-ci est toujours entendue comme le partage parmi n sousportefeuilles d'un montant global de consommation de fonds propres. Si cette
approche est utile, voire nécessaire, pour une estimation ex post, son utilisation est
délicate dans le cas d'une approche prospective.
L'objet de ce mémoire est de présenter quels sont les intérêts qu'a une banque à
déployer un processus de budgétisation de ses fonds propres, une formalisation
possible de celui-ci, la présentation de problématiques auxquelles elle sera
confrontée lors de son implémentation ainsi que différents ajustements permettant
d'y faire face.
Auparavant et afin de disposer des outils quantitatifs nécessaires la première
partie du mémoire présentera différentes approches de modélisation du risque de
crédit d'un portefeuille, et la deuxième précisera comment, une fois le risque global
d'un portefeuille estimé, il est possible de répartir ce niveau en fonction de
contributions individuelles.
1
Internal Capital Adequacy Assessment Process
6
II. Modélisation du risque de crédit d’un portefeuille
d’actifs
Jusqu'à la fin des années 1990 le risque crédit, pourtant un des risques les plus
importants pour les banques, et qui n'avait pas fait l'objet d'une attention
quantitative très marquée de la part de ces dernières a vu croître le nombre des
modèles dédiés à son étude.
Les pionniers de cette tendance ont été les firmes KMV (VASICEK (1987), VASICEK
(1991)), JPMorgan (BHATIA, FINGER, GUPTON (1997)) et Credit Suisse (CREDIT SUISSE
FINANCIAL PRODUCTS (1997)) en produisant des modèles qui sont désormais considérés
comme étant des best practices dans le domaine du Credit Risk Management au
même titre que le modèle de Black & Scholes l'a été dans le domaine du Market Risk
Management.
Suite à ces travaux de nombreux autres modèles ont été développés faisant de
l'analyse du risque de crédit un thème de recherche quantitative récurrent. Parmi les
nombreux articles analysant ces différents modèles nous retiendrons COURHY, GALAI,
MARK (2000) qui présentent une synthèse des modèles CreditMetrics, KMV et
CreditRisk+.
Nous entamerons cette partie par une description du modèle de Merton dont
l'approche a servi de base à différents modèles de crédit de type Asset Value Model.
Nous présenterons ensuite le modèle CreditMetrics puis finirons en présentant le
modèle implicite utilisé dans la réforme Bâle II visant à améliorer l'approche Cooke
actuelle.
1. Approche structurelle de Merton
Les modèles de crédit de type Asset Value Model (CreditMetrics, KMV, …) sont
basés sur l'approche structurelle de Merton (MERTON (1974)). Cette approche
consiste à modéliser le bilan de la société dont on souhaite étudier le risque de crédit
afin de pouvoir estimer la valeur de la dette à partir du modèle de valorisation
d'option développé par Black et Scholes (BLACK, SCHOLES (1973)).
1.1. Modélisation de la structure du bilan
Le modèle de Merton considère que l'actif A d'une société est financé pour partie
par de l'equity E et pour partie par de la dette D modélisée par une obligation zéro
coupon. Ces trois quantités pouvant varier dans le temps notons At, Et et Dt leurs
valeurs respectives à l'instant t  0.
7
Dette
Dt
Actif
At
Equity
Et
Bilan de la société à l'instant t
Les valeurs de l'actif et de l'equity sont supposées se comporter chacune comme
un mouvement brownien géométrique. Notons la situation en date 0 :
A0  E0  D0
Expression de la dette
La dette ayant été modélisée par une obligation zéro coupon cela signifie qu'en
t=0 les créanciers vont prêter D0 à la société, et qu'en t=T c'est-à-dire à maturité de
l'obligation cette dernière devra s'acquitter du montant F, comprenant le
remboursement de capital ainsi que le paiement des intérêts dus sur la période.
Pour les créanciers il existe un risque de crédit dès lors que la probabilité que la
valeur AT de l'actif à la date T soit inférieure à F est non nulle. Dans ce cas-là la
valeur de la dette en t=0 est inférieure à la valeur de F actualisée au taux sans
risque r :
D0  e r T  F
Ceci vient du fait que les créanciers souhaitent être rémunérés pour le risque
supplémentaire qu'ils prennent comparativement à un investissement dans un actif
non risqué.
Un créancier qui souhaiterait se couvrir contre ce risque de crédit peut le faire en
achetant un put dont le sous-jacent est la valeur de l'actif de la firme
Si les créanciers souhaitent se couvrir contre ce risque de crédit, ils peuvent le
faire en achetant un put dont le sous-jacent est la valeur de l'actif de la firme, le
strike F et la maturité T. Cette stratégie conduit à un payoff final sans risque F. Un
raisonnement d'absence d'opportunité d'arbitrage ainsi que la théorie de Black et
Scholes de valorisation des options permette d'égaler les prix suivants exprimés en
t=0 :


D0  P0 A0 ,  A , F , T , r  F  e r T
8
Ce qui permet d'écrire la valeur de la dette en t=0 comme :

D0  F  e r T  P0 A0 ,  A , F , T , r

Expression de l'equity
Considérons maintenant la valeur de l'equity : celle-ci correspond à chaque
instant à l'actif net, c'est-à-dire à la valeur des actifs de la société diminuée de la
valeur de ses dettes.
En t=T deux cas peuvent se produire :

Si AT > F alors l'equity vaut AT – F.

Si AT < F alors l'actif n'est pas suffisant pour rembourser les dettes, et l'equity
a une valeur nulle.
A l'horizon T le payoff pour les actionnaires est donc égal à Max( A T – F , 0 ), qui
correspond au payoff d'un call dont le sous-jacent est A, le strike F et la maturité T.
Nous pouvons alors écrire la valeur de l'equity en t=0 comme :

E0  C0 A0 ,  A , F , T , r

Synthèse des deux expressions
En combinant les expressions de E0 et D0 nous arrivons à :



A0  E0  D0  C0 A0 ,  A , F , T , r  F  e r T  P0 A0 ,  A , F , T , r
Ou encore :




A0  P0 A0 ,  A , F , T , r  C0 A0 ,  A , F , T , r  F  e r T
Qui est la relation de parité call put.
1.2. Des variations de l'equity à celles de l'actif
9

Une des limites du modèle de Merton vient du fait qu'il se base sur la variation de
la valeur des actifs de la société alors que cette valeur n'est généralement pas
directement observable.
Cependant il est possible, à partir de l'observation de la valeur de l'equity qui est
quant à elle observable, d'en déduire une estimation de la valeur de l'actif.
Si l'on reprend l'expression précédente de la valeur de l'equity cette fois-ci
estimée à la date t nous avons :

Et  Ct At ,  A , F , T  t, r

En inversant cette fonction il est possible d'exprimer la valeur At de l'actif de la
société à la date t en fonction de la valeur de l'equity et des paramètres F, T-t, r et
A.
Parmi ces derniers seule la volatilité A de l'actif n'est pas observable. Un
raisonnement via des équations différentielles stochastiques et l'application de la
formule d'Itô amènent à la relation suivante :
A C t At ,  A , F , T  t , r 
E
 t 
A
Et
At
L'utilisation de la valeur A satisfaisant cette équation dans l'expression de la
valeur de l'equity ci-dessus permet d'aboutir à une expression de At pour t>0.
Une fois cette modélisation réalisée il est possible de lier la probabilité de défaut à
horizon t de l'émetteur à la variation de valeur de son actif : elle est égale à la
probabilité que le rendement de l'actif de la société à horizon t soit inférieur au
rendement pour lequel l'actif de la société serait égal au niveau de sa dette, c'est-àdire que l'equity vaille 0. Nous verrons ceci plus en détail dans le paragrape 2.2.1.
expliquant les modifications apportées par le modèle CreditMetrics au modèle de
Merton.
2. Modèle CreditMetrics
L'approche CreditMetrics développée par JP Morgan a été rendue publique en
1997 avec la publication du document CreditMetrics – Technical Document (BHATIA,
FINGER, GUPTON (1997)). Reposant sur l'approche de Merton présentée dans le
chapitre précédent, elle consiste en l'analyse de la distribution de la valeur future
(généralement à un horizon de 1 an) d'un portefeuille de crédits (obligations, loans)
en fonction des possibles migrations de rating (incluant le défaut) sur cette période.
Nous allons détailler le schéma de fonctionnement de l'approche CreditMetrics, en
listant notamment les différents paramètres nécessaires à son application et ayant
une influence sur le résultat final. Pour ce faire nous utiliserons le document initial
BHATIA, FINGER, GUPTON (1997), l'article CROUHY, GALAI, MARK (2000) ainsi que
l'ouvrage BLUHM, OVERBECK, WAGNER (2002).
10
Certains points d'attention seront illustrés de courts exemples numériques. Une
illustration plus globale sur base d'un portefeuille sera traitée dans la troisième partie
de ce mémoire.
2.1. Distribution de la valeur future d'une obligation
Afin de servir d'illustration prenons un exemple numérique simple : supposons
que nous détenions une obligation de valeur nominale 100 et dont l'émetteur est
noté BBB par exemple. Nous souhaitons construire la distribution de la valeur future
de cette obligation à un horizon donné et ce uniquement en fonction de l'évolution de
la qualité de crédit de son émetteur.
Pour ce faire nous allons considérer l'ensemble des qualités de crédit possibles à
cet horizon puis associerons à chacune d'elles une probabilité d'occurrence ainsi
qu'une valeur forward de notre obligation.
2.1.1. L'ensemble des qualités de crédit possibles
Cet ensemble est représenté par l'ensemble des ratings possibles de l'émetteur,
allant du rating AAA (meilleure qualité de crédit possible) au rating D (situation de
défaut de l'émetteur).
2.1.2. La probabilité d'occurrence
La probabilité de se trouver dans l'un ou l'autre rating sachant le rating actuel est
donnée par ce que l'on appelle une matrice de transition.
Rating en t=0
Voici ci-dessous une matrice de transition proposée par Standard & Poor's et
reprise en exemple dans la documentation de CreditMetrics :
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
AAA
90.81%
0.70%
0.09%
0.02%
0.03%
0.00%
0.22%
AA
8.33%
90.65%
2.27%
0.33%
0.14%
0.11%
0.00%
A
0.68%
7.79%
91.05%
5.95%
0.67%
0.24%
0.22%
Rating en t=1
BBB
BB
0.06%
0.12%
0.64%
0.06%
5.52%
0.74%
86.93%
5.30%
7.73% 80.53%
0.43%
6.48%
1.30%
2.38%
11
B
0.00%
0.14%
0.26%
1.17%
8.84%
83.46%
11.24%
CCC
0.00%
0.02%
0.01%
0.12%
1.00%
4.07%
64.86%
Défaut
0.00%
0.00%
0.06%
0.18%
1.06%
5.20%
19.79%
Ce type de matrice se lit par ligne : pour un rating initial en t=0 de BBB, la
probabilité de passer à un rating A est de 5.95%, celle de passer en défaut de 0.18%
par exemple. Notons que la somme des éléments de chaque ligne est égale à 1.
Les implications du choix d'une telle matrice doivent être clairement identifiées :
selon la période de temps choisie pour son estimation, la matrice de transition
pourra varier sensiblement. En effet pendant une période de croissance économique
soutenue, les downgrades et défauts sont moins fréquents que dans une phase de
récession. Une matrice de transition calibrée sur une telle période pourrait conduire,
si la situation économique se retournait, à une estimation peu prudente du risque du
portefeuille. A contrario une matrice calibrée sur une période de temps
économiquement difficile pourrait conduire à une vision exagérément pessimiste du
risque de crédit actuel.
Enfin une matrice calibrée sur un intervalle de temps trop réduit peut évoluer
sensiblement d'une année à l'autre, rendant délicat le suivi au cours du temps des
impacts de décisions prises avec une telle matrice.
Dans un cas comme dans l'autre le choix de la matrice de transition a un impact
qu'il convient de mesurer et d'avoir en tête lors de l'analyse des résultats que
produira le modèle CreditMetrics et a fortiori lors de l'utilisation de ces résultats en
tant qu'outil d'aide à la gestion du portefeuille.
2.1.3. Le choix de l'horizon de temps
Afin de mener les calculs de Credit VaR, un horizon de temps doit être choisi.
Nous avons déjà indiqué qu'un horizon de temps de 1 an est le choix le plus répandu
dans l'industrie. Ceci s'explique en partie par le fait que les portefeuilles de crédits
"tournent" moins vite que les portefeuilles de marché, et en partie par le fait que
l'horizon de 1 an coïncide avec le pas de temps généralement utilisé pour réaliser les
budgets et plans financiers.
Notons que le choix d'un horizon de temps différent est tout à fait possible, mais
doit alors s'accompagner d'ajustements sur les probabilités de défaut et matrices de
migration afin d'assurer une cohérence de calibration.
2.1.4. Evaluation des prix forward
Afin d'évaluer les différents prix forward à 1 an de l'obligation nous avons besoin
des courbes de taux zéro coupon pour chacun des ratings possibles. En effet pour
chaque rating nous observons :

Des niveaux de taux différents, traduisant des niveaux de risque différents

Des pentes différentes : les données empiriques montrent en effet que les
courbes de taux zéro coupon ont tendance à être plus pentue pour des
12
ratings Investment Grade que pour des ratings Speculative Grade. Ce
phénomène s'explique généralement par le fait qu'une société ayant un
mauvais rating actuellement aura a priori du mal à se maintenir les deux
ou trois prochaines années, mais en cas de survie sur cette période aura
bien plus de chances de continuer à résister.
Ci-dessous est présenté un graphique de courbes de taux zéro coupon pour
différents ratings permettant de visualiser ce phénomène (ces taux zéro coupon sont
ceux donnés en exemple dans la documentation de CreditMetrics) :
Rating
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Year 1
3.60%
3.65%
3.72%
4.10%
5.55%
6.05%
15.05%
Year 2
4.17%
4.22%
4.32%
4.67%
6.02%
7.02%
15.02%
Year 3
4.73%
4.78%
4.93%
5.25%
6.78%
8.03%
14.03%
Year 4
5.12%
5.17%
5.32%
5.63%
7.27%
8.52%
13.52%
15%
10%
AAA
BBB
CCC
5%
0%
Year 1
Year 2
Year 3
Year 4
Enfin dans le cas d'un défaut un facteur dépendant de la séniorité de l'obligation
appelé Loss Given Default (LGD) est appliquée et permet d'estimer le montant perdu
en cas de défaut. La valeur de notre obligation dans un an sera :
VBBB  1  LGD  FaceValue
2.1.5. La construction de la distribution forward de la valeur de
l'obligation
A partir des étapes précédentes il est possible de construire la distribution des
valeurs possibles à 1 an de l'obligation que nous détenons en portefeuille. Le tableau
suivant résume les probabilités d'occurrence des différents états pour une obligation
13
notée BBB ainsi que chacune des valeurs à 1 an et ainsi par déduction la variation de
valeur (exprimée en montant nominal) :
Rating
dans 1 an
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Défaut
Probabilité
d'occurrence
Prix forw ard
0.02%
0.33%
5.95%
86.93%
5.30%
1.17%
0.12%
0.18%
109.37
109.19
108.66
107.55
102.02
98.10
83.64
51.13
Variation de
valeur
1.82
1.64
1.11
0
-5.53
-9.45
-23.91
-56.42
Cette distribution est asymétrique à queue gauche de distribution épaisse, en
d'autres termes l'amélioration de la qualité du crédit de l'émetteur de cette obligation
aura un impact plus modéré sur le prix de cette dernière qu'une forte dégradation de
la qualité de crédit, voire d'un défaut.
2.2. Extension à un portefeuille constitué de plusieurs obligations
Supposons que notre portefeuille contienne maintenant 2 obligations dont les
qualités de crédit sont indépendantes. Dans ce cas il est possible de reproduire le
même schéma d'application que précédemment, en ayant à la place d'un tableau à
une dimension donnant les probabilités d'occurrence des différents ratings à un an
un tableau à deux dimensions donnant les probabilités d'occurrence du couple
(RatingObligation1, RatingObligation2).
Cependant cette hypothèse d'indépendance est trop forte, et ne permettrait
notamment pas de mettre en avant les phénomènes de concentration des
portefeuilles de crédits observés.
On observe en effet en pratique des corrélations positives entre les améliorations
ou dégradations de la qualité de crédit d'émetteurs appartenant à un même secteur
économique, ou à une même zone géographique. Par exemple si le marché de
l'automobile ralentit, c'est-à-dire si le nombre des ventes diminue, cela entraîne pour
la majorité des fabricants de voitures des rentrées d'argent moins importantes que
prévues, induisant d'éventuels problèmes de trésorerie et in fine de possibles défauts
de remboursements de dettes.
De plus les corrélations existantes à un instant t peuvent évoluer au cours des
mois ou années suivantes : comme pour la matrice de transition le choix de l'horizon
de temps retenue pour estimer les corrélations a un impact non négligeable sur le
résultat final.
14
2.2.1. Modification du modèle de Merton
Le modèle CreditMetrics propose d'estimer les corrélations existantes entre les
qualités de crédit des différentes contreparties en portefeuille en utilisant les prix des
actions comme estimateurs des valeurs des actifs des sociétés considérées.
Concrètement la démarche consiste à estimer les corrélations entre les rendements
des prix d'actions de différents émetteurs, puis à en déduire les corrélations entre les
changements de qualité de crédit (i.e. de rating) en utilisant la distribution jointe des
rendements des actions.
Pour ce faire CreditMetrics adapte l'approche de Merton que nous avons vue dans
le chapitre précédent. En effet l'approche de Merton ne permet de distinguer que
deux cas de figure à l'horizon t = T : soit l'émetteur est en défaut, soit il ne l'est pas.
CreditMetrics retouche cette approche de telle sorte à pouvoir distinguer autant de
cas à l'horizon t = T qu'il existe de qualités de ratings différentes, i.e. de ratings.
Ceci sera possible en découpant la distribution des rendements de l'actif en
différentes tranches afin de pouvoir associer chacune de ces tranches à chaque
rating possible à horizon t = T. Ce mécanisme est illustré par le schéma suivant :
Afin d'estimer les différents niveaux qui séparent les ratings, le modèle
CreditMetrics considère identiques les log-rendements normalisés des actifs des
différents émetteurs d'une même classe de ratings.
Soit pDef la probabilité qu'un émetteur BB fasse défaut. La valeur seuil des actifs
ADef correspondant à cette probabilité est :

pDef  P At  ADef
Sachant que l'on a
15


2 


  t    t  Zt
At  A0  exp  


2


avec
 
Zt  N 0,1 et At
t 0




 0 l'expression de pDef peut alors être adaptée en
considérant les log-rendements normalisés des actifs At de la firme :
pDef



2 



  t    t  Zt   ADef
 P A0  exp  



2 




ln ADef / A0     2 / 2  t 


 P Zt 




t


2

ln A0 / ADef     / 2  t 

 P  Zt  




t



 


 





Nous avons ainsi estimé le premier niveau, i.e. celui séparant l'état de défaut de
la classe des ratings CCC et valant :
ZCCC 

 

ln A0 / ADef     2 / 2  t
 t
2.2.2. Prise en compte des corrélations via des facteurs systémiques
Si elle peut sembler précise une modélisation visant à utiliser les corrélations
entre chaque paire d'émetteurs s'avère vite impraticable : d'une part l'estimation de
l'ensemble de ces corrélations entre émetteurs peut se révéler une tâche fastidieuse
et excessivement sensible aux données utilisées, la rendant peu stable au court du
temps. D'autre part les calculs numériques qui en découleraient pour réaliser les
simulations de Monte Carlo de variations de la valeur du portefeuille de crédit
seraient trop consommatrices en temps pour être envisageables régulièrement.
La solution largement adoptée consiste à ne pas prendre en compte explicitement
des corrélations entre paires d'émetteurs, mais entre facteurs représentatifs de la
qualité de crédit de ces émetteurs. Ces facteurs sont par exemple la zone
géographique de l’émetteur, ou bien son secteur d'activité.
Les seules corrélations à prendre en considérations lors des simulations seront
celles entre les facteurs de risque, ce qui réduira sensiblement la complexité des
calculs.
Le modèle CreditMetrics utilise une gaussienne multivariée pour prendre en
compte les dépendances entre les facteurs de risque. La simulation des valeurs de
16
ces facteurs peut ainsi se faire relativement simplement en partant de gaussiennes
centrées réduites indépendantes puis en utilisant un algorithme tel que celui décrit
dans le deuxième chapitre de GLASSERMAN (2004) qui consiste à appliquer une
décomposition de Cholesky à la matrice des covariances entre facteurs.
Concrètement cela se traduira par la modélisation suivante du rendement de
chaque émetteur i représenté par n facteurs de risque :
ri   i1  F 1  ...   in  F n     i
Le terme
i
représente le risque propre à chaque émetteur, aussi appelé risque
idiosyncratique. Ce risque est supposé indépendant des risques systémiques
représentés par la partie

k
i
Fk .
k
2.3. Résumé
Telle que présentée pour le moment l'approche CreditMetrics nous permet,
partant d'un portefeuille constitué de titres de créance émis par différents émetteurs,
de construire la distribution du P&L à un horizon donné de ce portefeuille traduisant
l'amélioration ou la dégradation de la qualité globale du portefeuille.
Les paramètres propres à chaque position du portefeuille et influençant la
distribution de P&L obtenue sont la maturité, le rating, la loss given default,
l'appartenance à une zone géographique ou un secteur économique.
D'autres paramètres ont également un impact sur cette distribution mais sont
choisi globalement pour le portefeuille sans dépendre de sa composition ligne à ligne
: l'horizon de temps considéré, la matrice de transition, les niveaux de taux sans
risque et de spread.
Notons qu'à ce stade nous n'avons pas encore introduit de notion de mesure de
risque, ni de consommation de fonds propres : nous ne disposons pas encore d'un
outil qui nous permette d'évaluer le risque de crédit propre à un portefeuille. Ces
outils seront présentés dans le chapitre suivant relatif à la réforme Bâle II, puis
étudiés dans un contexte plus formel dans la troisième partie de ce mémoire.
De plus nous ne savons pas encore, sachant le risque global d'un portefeuille,
quelle part de ce risque porte une position individuelle ou bien un ensemble de
positions : il s'agit-là d'une problématique d'allocation de fonds propres, que nous
étudierons dans la troisième partie de ce mémoire.
3. Modèle Bâle II
17
3.1. Le contexte réglementaire
3.1.1. Le rôle des fonds propres dans une banque
L'actif d'une banque est en grande partie constitué par les crédits qu'elle a
octroyés à ses clients ou aux titres de créance qu'elle détient. Cependant au
contraire d'une entreprise classique, une banque n'utilise pas ses fonds propres
directement pour financer ses actifs. En effet, de part les dépôts de ses clients ainsi
que sa capacité à émettre de la dette sur les marchés, une banque dispose de
capacités de financement à faible coût qui suffisent au financement de ses
investissements.
Le graphique ci-dessous produit par la banque centrale du Danemark compare les
niveaux de dettes et de fonds propres de différents types d'industries :
Dès lors quel rôle jouent les fonds propres dans une banque ? En accordant des
crédits et en détenant des titres de créance une banque prend un risque sur la
capacité de ses débiteurs à payer leurs intérêts et à rembourser les sommes prêtées.
En moyenne et grâce aux historiques de pertes dont elle dispose une banque
s'attend chaque année à enregistrer un certain montant de pertes dues à des non
remboursements. Ce montant de pertes attendues est provisionné et a été intégré
au coût des crédits accordés. Il est toutefois possible que cette banque observe un
jour un niveau de pertes excessivement élevé par rapport à ses attentes : ce sont
ses fonds propres qui lui permettront alors d'être capable de pouvoir faire face à
cette situation inattendue comme l'illustre le graphique ci-dessous :
18
3.1.2. Exigences minimales de fonds propres réglementaires
Afin de protéger les créanciers des banques, et plus particulièrement les
déposants, les organismes de régulation du secteur bancaire imposent aux banques
de détenir un montant minimal de fonds propres en fonction du niveau de risque
auquel la banque d'expose.
Comment cette contrainte est-elle formalisée ? Tout d'abord en définissant ce que
les banques peuvent considérer comme étant des fonds propres : les régulateurs
proposent une classification des différents éléments du passif d'une banque étant
éligibles à l'appellation de fonds propres. Ces éléments sont appelés "fonds propres
réglementaires". Ils correspondent généralement aux fonds propres Tier 1 + une
partie des fonds propres Tier 2 (dont la prise en compte est majorée à 50% des
fonds propres Tier 1).
Ensuite les régulateurs définissent la notion de RWA (Risk Weighted Assets) : ils
correspondent à la somme des différents actifs du bilan pondérés par des facteurs
représentant le niveau de risque auquel ils exposent la banque. Quand on multiplie
ces RWA par 8% on obtient une quantité que l'on peut décrire comme un niveau de
consommation de fonds propres réglementaires.
Les régulateurs posent alors la contrainte que le niveau de fonds propres
réglementaires doit toujours être supérieur à l'utilisation de fonds propres
réglementaires, c'est-à-dire que :
RWA  8%  FPréglementa ires
La question est maintenant de savoir comment estimer les RWA, c'est ce que nous
allons voir dans la section suivante.
19
3.2. Le modèle de crédit sous-jacent à la réforme Bâle II
3.2.1. De Bâle I à Bâle II
Une fois ce contexte posé la question est de savoir comment mesurer les RWA.
Une première approche réglementaire dite Bâle I et datant de 1988 avait introduit la
notion de ratio Cooke : la valeur de chaque type d'actif est pondérée par un facteur
dit ratio Cooke, facteur déterminé à partir de règles préétablies visant à traduire sa
dangerosité.
Le ratio par défaut est de 100%, signifiant alors qu'une exposition de 100 sur un
type de contrepartie ayant un ratio Cooke de 100% aura une consommation en
fonds propres réglementaires de 100  100%  8% = 8. Certaines contreparties
bénéficient de ratio Cooke plus faibles comme les banques des pays OCDE (ratio
Cooke = 20%) ou bien les souverains des pays OCDE (ratio Cooke = 20%). Les
crédits ayant comme garantie une hypothèque sur un bien immobilier bénéficient
quant à eux d'un ratio Cooke de 50%.
Cette approche a eu le mérite de définir un premier cadre réglementaire
coordonné permettant de mieux suivre les réserves en fonds propres des banques
soumises à Bâle I. Cependant les ratios Cooke proposés ne se sont pas avérés
suffisamment discriminants en termes de risque, et ont donné lieu à des parades
mises en place par les banques et leur permettant de jouer sur ces pondérations. Par
exemple une banque détenant une obligation d'un émetteur ayant un ratio Cooke de
100% peut, en la couvrant par un CDS contracté avec une banque d'un pays OCDE
faire diminuer ce ratio à 20%. Couvrir une telle position en étant acheteur de
protection via un CDS a bien sûr un coût, mais peut permettre dans certains cas
d'augmenter le Return On Equity de l'opération en question.
Afin de palier à ces manques le comité de Bâle a proposé à ses membres une
consultation qui a débouché en 2004 sur la production d'une note donnant les idées
directrices d'une nouvelle approche de mesure de fonds propres réglementaires :
Bâle II. Cette approche est bâtie sur trois piliers.
Le premier pilier décrit la nouvelle approche de mesure de la consommation de
fonds propres réglementaires. Il s'agit de redéfinir la mesure de consommation de
fonds propres réglementaires. L'approche précédente par Ratio Cooke est
abandonnée au profit d'une approche reposant sur un modèle mathématique,
permettant de prendre en compte différents
Le deuxième pilier est plus ouvert : il encourage les banques à aller au-delà du
pilier I, notamment en s'intéressant à des risques non couverts par le premier pilier
(risque de liquidité, risque de business, …), l'idée étant que chaque banque puisse
développer un mécanisme qui lui permette de lier son profil de risque à ses fonds
propres disponibles. Le deuxième pilier prévoit une surveillance du régulateur quant
à ces dispositifs, surveillance pouvant aller jusqu'à l'obligation d'immobiliser des
fonds propres réglementaires pour certains types de risques non couverts par les
banques et sur lesquels elles seraient exposées de façon non négligeable.
20
Enfin le troisième pilier vise à encourager la discipline de marché, autrement dit
l'échange d'informations entre les banques quant aux approches et modèles qu'elles
utilisent.
3.2.2. Un principe de base conduisant à l'utilisation d'un modèle
ASRF
Un des pré requis du nouveau modèle Bâle II était qu'il soit portfolio invariant,
autrement dit que la consommation de fonds propres induite par un nouvel actif ne
soit fonction que des caractéristiques de cet actif et pas de la composition du
portefeuille existant de la banque.
Pourquoi une telle contrainte alors que comme nous l'avons vu précédemment en
présentant l'approche CreditMetrics le risque de crédit d'un portefeuille – et donc
intuitivement le montant de fonds propres qu'il convient de conserver pour se
protéger des unexpected losses qu'il pourrait induire – dépend précisément de la
composition de ce dernier ? Parce qu'un objectif prioritaire du Comité de Bâle était
que la nouvelle approche soit applicable par une large majorité de banques.
Préconiser un modèle plus complexe intégrant les spécificités de l'actif de chaque
banque aurait pu dissuader bon nombre de banques d'opter pour ce type d'approche,
et ainsi de restreindre le champ d'application de la réforme.
Le Comité de Bâle a donc utilisé un modèle ASRF (Asymptotic Single Risk Factor)
dont la particularité est que les fonds propres consommés par chaque nouvelle
opération ne dépendent pas des opérations précédentes. Ceci est rendu possible par
le fait que ce modèle fait l'hypothèse d'un portefeuille bien diversifié. Si une banque
estime que ce n'est pas le cas de son portefeuille elle peut traiter ce point
spécifiquement dans le cadre du pilier 2.
3.2.3. Description du modèle
Pour décrire mathématique le modèle ASRF utilisé dans Bâle II nous nous
appuierons sur les articles de VASICEK (1987), VASICEK (1991), VASICEK (2002), GORDY
(2002) ainsi que sur l'ouvrage BLUHM, OVERBECK, WAGNER (2002).
Considérons un portefeuille constitué de n titres de créance émis par n émetteurs
distincts et ayant les caractéristiques suivantes :
-
même maturité T
même montant nominal
les actifs des différents émetteurs sont deux à deux corrélés avec une
corrélation égale à 
Soit Ai la valeur des actifs de l'émetteur i dont les variations sont modélisées par :
dAi   i  Ai  dt   i  Ai  dx i
21
En t=T la valeur des actifs peut s'écrire :
ln( AiT )  ln( Ai0 )   i  T 
avec
1
  i2  T   i  T  X i
2
X i  N(0,1)
En t=T l'émetteur i sera considéré en défaut si la valeur de ses actifs tombe en
dessous de la valeur de sa dette Bi. La probabilité de défaut du i-ième émetteur peut
alors s'écrire :
pi  P( AiT  Bi )  P(X i  ci )  N(ci )
pi

 P AiT  Bi

    lnB 
T
i
 P ln A
i
 
 
1


 P ln Ai0   i  T    i2  T   i  T  X i  ln Bi 
2


1


ln Bi  ln Ai0   i  T    i2  T 

2

 P X i 


i  T




  ci
 
 
 
puisque
X i  N(0,1) et avec c i 
ln(Bi )  ln( Ai0 )   i  T 
1
  i2  T
2
i  T
Définissons l'indicatrice Li par :
= 1 si l'émetteur i fait défaut
Li
= 0 sinon
Définissons L comme le pourcentage de défauts du portefeuille global :
L
1 n
  Li
n i 1
Si les Li étaient indépendantes entre elles, la variable L convergerait en vertu du
théorème central limite vers une variable aléatoire gaussienne quand n.
Cependant ces variables n'étant pas indépendantes les hypothèses du théorème
central limite ne sont pas satisfaites et la variable L ne tend pas vers une variable
aléatoire gaussienne.
22
Cependant L admet une distribution limite qu'il est possible d'expliciter. Les
variables Xi définies précédemment étant des variables normales centrées réduites
corrélées deux à deux il est possible de les réécrire :
X i  Y    Zi  1  
où les variables Xi, Y et Zi sont des variables aléatoires normales centrées réduites
deux à deux indépendantes.
La variable Y s'interprète comme une variable représentant l'état global de
l'économie. La variable Xi est ainsi décomposée en deux :
X i  Y    Zi  1  
Exposition systémique
Exposition idiosyncratique
Si on fixe le facteur Y on peut écrire la probabilité de défaut de l'émetteur i
comme étant égale à :
pY 

 P X
 P Li  1 | Y

i
N
1

p

 P Y    Zi  1    N 1 p

N 1 p  Y   

 P Zi 


1 



1
 N p  Y   

 N


1 


p(Y) représente la probabilité que l'émetteur i fasse défaut sous le scénario Y.
Conditionnellement à la variable Y les variables Li sont i.i.d. (indépendantes
identiquement distributées) et de variance finie. Il est donc possible d'appliquer la loi
des grands nombres qui nous permet d'écrire que, conditionnellement à Y, la
distribution des pertes du portefeuille converge vers son espérance p(Y) quand n.
Alors nous pouvons écrire :




P L  x   P pY   x   P Y  p 1 x   N  p 1 x 
or d'après l'écriture de p(Y) ci-dessus nous avons :
23
 N 1 p  p 1 x    

x  p p x   N 


1






1
N 1 x   1    N 1 p  p 1 x   
p
1
x  
N 1 p  N 1 x   1  

ce qui nous permet d'écrire :
 N 1 x   1    N 1 p 

P L  x   N 





Le graphique ci-dessous présente dans le cas où p=0.02 et =0.05 la distribution
des pertes d'un portefeuille :
Distribution des pertes
(p=0.02, rho=0.05)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Nous avons dans les trois caractéristiques du portefeuille indiqué que les
montants d'exposition sur chaque émetteur doivent être égaux. En fait pour que
l'égalité ci-dessus soit valable avec des montants d'exposition différents il suffit
(mais il faut) que :
n
w
i 1
2
i
24
0
les wi étant les poids des expositions sur chaque émetteur distinct.
n
La quantité
w
i 1
2
i
s'appelle l'indice de Herfindahl-Hirschman (HHI). Elle est
utilisée par des banques voire des régulateurs pour mesurer le niveau de
concentration sur des émetteurs individuels. En effet cette quantité est comprise
entre deux extrêmes : 0 correspondant au cas d'une granularité infinie (qui est
l'hypothèse du modèle de Bâle II) et 1 correspondant à un cas où le portefeuille
serait en fait investi sur une seule contrepartie. S'il est délicat de donner des niveaux
à partir desquels un portefeuille peut être considéré comme concentré le suivi
régulier d'un tel indicateur peut permettre à une banque de suivre des tendances, et
éventuellement de prendre les mesures correctrices appropriées.
Nous venons de présenter le modèle ASRF (Asymptotic Single Risk Factor)utilisé
pour Bâle II : Asymptotic car nous considérons la distribution limite de perte du
portefeuille, Single Risk Factor car le modèle n'intègre les composantes économiques
globales qu'au travers d'un unique facteur Y. Voyons maintenant comment ce
modèle est utilisé pour estimer la consommation de fonds propres réglementaires.
3.2.4. Estimation de la consommation en fonds propres
réglementaires
Sur base du modèle présenté ci-dessus le Comité de Bâle propose aux banques
d'estimer leur consommation en fonds propres réglementaires au moyen de formules
dépendant de différents paramètres de risque.
Il existe différentes formules dépendant soit du type de contrepartie, soit du type
de crédit. Nous présentons ci-dessous à titre d'exemple la formule utilisée pour les
crédits hypothécaires :
 N 1 PD 


K  N

 N 1 0.999  LGD  PD  LGD
 1 

1 


avec =15%.
La formule à utiliser pour les contreparties de types banques, corporates,
souverains intègre un facteur d'ajustement dépendant de la maturité du crédit ou du
titre de créance. Cet ajustement vise à pénaliser les expositions à maturité éloignée
(notons toutefois qu'il existe un cap à 5 ans pour le calcul des consommations de
fonds propres réglementaires). Il peut s'interpréter comme le fait qu'en cas de
dégradation de la qualité de crédit d'un émetteur, et ce sans aller jusqu'au défaut, la
valeur des créances détenues par une banque à son égard a tendance à se déprécier.
25
Enfin il existe un dernier ajustement pour les contreparties de type PME
dépendant du chiffre d'affaires : l'idée est alors de considérer que les plus grosses
entreprises, représentées par celles ayant les chiffres d'affaires les plus importants,
sont celles qui seront le plus sensibles à la dégradation de l'environnement macro
économique dans sa globalité représentée par le facteur unique du modèle ASRF.
En pratique les estimations de consommations en fonds propres réglementaires
sont effectuées en ligne à ligne, puis sommées pour avoir la consommation d’un
portefeuille complet, ou d’une banque en totalité. Le nombre parfois élevé de
positions constituant un portefeuille peut amener à se demander s’il n’est pas
possible d’alléger les calculs en retenant par exemple comme montant d’exposition la
somme des expositions individuelles, et comme paramètres de risques des PD
moyennes, LGD moyennes etc. Une telle approche peut amener à des résultats
surestimés, du fait que la fonction calculant les fonds propres réglementaires en
fonction de la PD (tous les autres paramètres étant constants) est concave comme le
montre le graphique ci-dessous :
Consom m ation en fonds propres réglem entaires en fonction
de la PD
6%
5%
4%
3%
2%
1%
0%
0.0%
0.5%
1.0%
1.5%
2.0%
2.5%
3.0%
3.5%
4.0%
4.5%
5.0%
S’il est possible d’alléger les calculs, il vaut mieux dans la mesure du possible
éviter d’utiliser une PD moyenne pour le portefeuille, car les résultats obtenus
seraient alors surestimés.
Dans cette première partie nous avons vu deux approches de modélisation du
risque de crédit : l'approche CreditMetrics, largement utilisée par les banques, et
l'approche réglementaire qui sert de base à la réforme Bâle II actuellement en cours
de finalisation dans le milieu bancaire.
Notons que nous n'avons évoqué la "consommation de fonds propres" que pour
cette dernière, alors que nous en étions restés à l'obtention d'une distribution des
pertes pour l'approche CreditMetrics. La notion de "consommation de fonds propres"
est incluse dans celle de mesure de risque que nous allons traiter dans la deuxième
partie de ce mémoire.
26
III. Mesures de risque et allocation de fonds propres
1. Mesures de risque
Depuis quelques années les fonctions de Risk Management se développent dans
les institutions financières, qu'il s'agisse de banques ou de compagnies d'assurance.
Ces fonctions ont pour objectif de donner au Management de ces sociétés un
éclairage chiffré sur l'ensemble des risques auxquels elles sont exposées. Un
éclairage c'est-à-dire le recensement et la description la plus précise possible des
différents risques encourus : cette phase est préalable à toute approche globale et se
traduit fréquemment par la rédaction d'une cartographie des risques propre à chaque
société. Chiffré car si la description littérale des risques est nécessaire afin de bien
cerner les problématiques et de s'assurer de l'exhaustivité de l'approche à déployer,
elle demeure insuffisante dès lors qu'il s'agit de disposer d'indicateurs d'aide à la
décision, afin par exemple de permettre la comparaison de la dangerosité de
différentes activités ou différents portefeuilles.
L'attention accrue des professionnels pour le domaine du Risk Management est
également partagée par les régulateurs nationaux chargés de surveiller les activités
des sociétés comme nous l'avons vu dans la partie précédente. Ceci s'est formalisé
dans le domaine bancaire avec la mise en place des réformes dites de Bâle dont la
seconde version Bâle II est en cours de finalisation, et par une démarche similaire
dans le domaine des assurances avec les réformes dites Solvency dont la seconde
version Solvency II commence à être déployée parmi les sociétés d'assurance.
Ces attentions croisées ainsi que la nécessité de disposer d'indicateurs chiffrés ont
été à l'origine du développement d'outils quantitatifs appelés mesures de risque.
Dans un premier temps nous présenterons un cadre formel comprenant la définition
de ces mesures ainsi qu'un ensemble de propriétés qu'elles peuvent respecter. Nous
donnerons ensuite différents exemples de mesures de risque fréquemment utilisées
par les banques ou les compagnies d'assurance.
1.1. Définition et formalisation
Parmi les différents travaux de formalisation des mesures de risque disponibles
dans la littérature nous nous appuierons dans cette section sur ceux repris dans
l'article ARTZNER, DELBAEN, EBER, HEATH (1998).
1.1.1. Notion de risque
27
Avant de pouvoir définir formellement ce que l'on entend par mesure de risque il
convient de commencer par préciser la notion de risque.
Pour cela plaçons-nous du point de vue d'un investisseur détenant un actif
financier dont la valeur est représentée par At à la date t. Intuitivement le risque
pour cet investisseur est que la valeur future de son actif financier à horizon t=T
diffère de la valeur future à ce même horizon telle qu'attendue en t=0.
Admettons que l'actif en question soit une action de valeur 100 en t=0 et pour
laquelle le rendement annuel attendu est de 10%. Le risque pour l'investisseur sera
que dans un an la valeur de son action soit inférieure à 110 (l'ensemble des valeurs
possibles strictement supérieures à 110 n'étant pas "gênantes" de son point de vue).
En t=0 le risque d'un actif financier à un horizon de temps t=T peut se définir
comme l'incertitude quant à une déviation défavorable de la valeur future de cet actif
en t=T par rapport à sa valeur future attendue en t=0.
Formellement une mesure de risque est une fonction f :   R, avec  étant un
ensemble de fonction à valeurs dans R, représentant pratiquement le niveau
possibles des pertes d'un portefeuille ou d'un actif.
1.1.2. Formalisation des propriétés des mesures de risque
Dans ARTZNER, DELBAEN, EBER, HEATH (1998) sont définies quatre propriétés que
peut respecter une mesure de risque :
L'invariance par translation
 X  G et    R on a ( X +  r ) =  ( X ) – 
Une mesure de risque invariante par translation assure que l'ajout d'une
constante à un portefeuille ne fera que déplacer le niveau de risque mesuré
de cette constante.
L'homogénéité positive
 X  G et    0 on a (  X ) = ( X )
Une mesure de risque positive homogène assure qu'une duplication de
portefeuille aura un effet proportionnel sur le niveau de risque mesuré.
La monotonie
 X et Y  G tels que X  Y on a ( X )  ( Y )
28
Une mesure de risque monotone assure que si la valeur d'un portefeuille est
systématiquement plus faible que celle d'un autre portefeuille, alors le risque
qu'il induira sera également plus faible.
La sous-additivité
 X et Y  G on a ( X + Y )  ( X ) + ( Y )
Une mesure de risque sous-additive est une mesure de risque favorisant la
diversification : le risque global de deux sous-portefeuilles étant inférieur à la
somme des risques de chaque sous-portefeuille considéré individuellement.
Une mesure de risque satisfaisant les quatre propriétés ci-dessus est appelée mesure
de risque cohérente.
1.2. Différentes mesures de risque
1.2.1. Mesures basées sur l'écart-type
Les mesures de risque basées sur l'écart-type sont en fait des généralisations de
la mesure de risque utilisée dans l'approche de Markowitz (MARKOWITZ (1952),
QUITTARD-PINON (2003)) à savoir l'écart-type des rendements de chaque actif, aussi
appelé volatilité.
Soit c  0. Définissons la mesure de risque c par :
 c X   c  StdX   E X 
Propriétés
La mesure de risque
c
est :
(a) invariante par translation
(b) positivement homogène
(c) sous-additive
(d) non nécessairement monotone
Démonstration
(a)  (a,X)  (R,V) on a
 c X  a
 c  StdX  a  E X  a
 c  StdX   E X   a
29
  c X   a
(b)  (a,X)  (R+,V) on a
 c a  X 
 c  Stda  X   E a  X 
 a  c  StdX   a  E X 
 a   c X 
(c)  (X,Y)  V2 on a
 c X  Y 
 c  StdX  Y   E X  Y 
 c  StdX   StdY   E X   E Y 
  c X    c Y 
(d) Si c = 0, c( X ) = E( X ) est monotone.
Soit c > 0 et A  A telle que 0 < P(A) < c2 / (1+c2).
Notons P(A) =p, et définissons la variable X  V ainsi :
- 1 / p sur A
X=
0 en dehors de A
Nous avons ainsi X  0. Nous allons calculer la mesure c( X ) :
E X   1
2
VARX 
1

 p  
 1  1  p  12
 p

1

1
p
 c X   c 
1
1 1
p
d'où
or nous avions choisi A telle que
0 p
c2
d'où
1  c2
1
1
1 2
p
c
c
1
1 1  c 
p
1
1
c2
 c X   0
30
Comme X  0 et
 c X   0 , c n'est pas monotone.

En résumé les mesures de risques basées sur l'écart-type telles que nous les
avons définies possèdent les propriétés suivantes :
-
invariance par translation
homogénéité positive
sous-additivité
En revanche elles ne possèdent généralement pas la propriété de monotonie, ce
qui peut poser certains problèmes si on souhaite les utiliser comme règle d'allocation
de fonds propres. Nous verrons ceci dans le second chapitre de cette partie.
1.2.2. Value-at-Risk
Supposons ici que X soit une variable aléatoire définie sur un espace de
probabilité (,A,P) et correspondant au P&L d'un portefeuille donné. Soit également
a  ]0;1[ un nombre réel représentant l'intervalle de confiance auquel on souhaite se
placer.
Définition des quantiles
Quantile inférieur de X pour un intervalle de confiance  :
x    q X   Inf x  R | P X  x    
Quantile supérieur de X pour un intervalle de confiance  :
x    q X   Inf x  R | P X  x    
Définition de la VaR
L'existence de deux quantiles pour un même intervalle de confiance peut rendre
ambiguë la définition de la VaR. Ici nous adoptons l'approche retenue par DELBAEN
(2000) et ACERBI, TASCHE (2002) qui définissent la VaR à l'intervalle de confiance 
comme la plus petite valeur telle que la probabilité que la perte absolue soit au plus
cette valeur soit au moins 1-. En d'autres termes :
VaR X    x    q1    X 
31
En termes plus qualitatifs la VaR d'un portefeuille répond à la question : "Quel est
le montant maximal de perte que mon portefeuille peut subir pour un intervalle de
confiance donné ?".
La VaR s'est rapidement imposée comme un outil de mesure de risque classique,
ceci notamment depuis la publication de la documentation RiskMetrics par JP
Morgan. La VaR a été utilisée essentiellement pour le suivi des risques de marché, la
fréquence et le nombre d'observations disponibles ayant rendu possible la calibration
des paramètres nécessaires aux calculs de VaR : la plupart des banques suivent ainsi
leurs positions sur les marchés des capitaux quotidiennement en calculant une VaR
99% à 10 jours.
Notons qu'en pratique la VaR est estimée de trois façons :
-
en répliquant la distribution empirique des rendements historiques observés
en calibrant une distribution théorique sur les rendements puis en prenant le
quantile souhaité
dans des cas plus complexes en réalisant des simulations de Monte Carlo.
Enfin ce succès de la VaR s'est concrétisé par l'adaptation du texte de Bâle I de
telle sorte à autoriser les banques à utiliser un modèle interne pour le suivi de leurs
risques de marché.
En dépit de son aspect pratique qui a rapidement fait d'elle un outil largement
utilisé dans les institutions financières la VaR a subi un certains nombres de
critiques. Un certain nombre d'entre elles portent sur le fait qu'elle ne soit pas une
mesure de risque cohérente, ou plus précisément sur le fait qu'elle ne soit pas, dans
l'absolu, une mesure de risque sous-additive. En effet si la VaR respecte les axiomes
d'invariance par translation, d'homogénéité positive ainsi que de monotonie elle ne
respecte en revanche pas celui de sous-additivité. Comme nous l'avons vu dans la
section précédente une mesure de risque  est dite sous-additive si elle respecte la
condition suivante :
 X et Y  G on a ( X + Y )  ( X ) + ( Y )
Cette propriété de sous-additivité s'interprète littéralement comme le fait qu'une
"fusion n'augmente pas le risque", autrement dit si l'on considère le risque d'un
portefeuille constitué de deux sous-portefeuilles, celui-ci ne doit pas être supérieur à
la somme des deux risques calculés isolément. Il se trouve que dans certains cas la
VaR du tout est supérieure à la somme des VaR des parties comme le montre
l'exemple suivant tiré de ARTZNER, DELBAEN, EBER, HEATH (1998).
Considérons deux variables aléatoires réelles indépendantes X1 et X2 ayant la
même densité fX1(x)=fX2(x)=f(x) avec :
f(x) =
0.05 pour x  [-2;0]
0.90 pour x  [0,1]
0 sinon
Nous avons alors VaR10%(X1)= VaR10%(X2)=0 et VaR10%(X1+X2) > 0.
Cet exemple montre, la VaR n'étant pas toujours sous-additive ne peut être
considérée comme une mesure de risque cohérente. Cependant il existe de
32
nombreux cas pour lesquels la VaR est sous-additive, ces cas dépendant de la
distribution des variables aléatoires représentant les P&L des différentes sousportefeuilles considérés : citons à ce sujet EBERLEIN, FREY, KALKBRENER, OVERBECK
(2007).
Afin de répondre à un certains nombres de critiques portées à la VaR d'autres
mesures de risque ont été cherchées, parmi lesquelles une est d'usage fréquent dans
le milieu bancaire ainsi qu'en assurance : l'Expected Shortfall.
1.2.3. Expected Shortfall
Si la VaR présente l'avantage de résumer en un seul chiffre un montant en risque,
elle ne donne aucun élément de réponse à la question "Si je me trouve dans ces x%
de cas à quel montant de pertes puis-je m'attendre ?". C'est précisément à cette
question que l'Expected Shortfall permet de répondre.
Citons comme références sur le sujet l'article ACERBI, NORDIO, SIRTORI (2001) qui
résume les avantages et inconvénients de la VaR en mettant en avant le non respect
de la propriété de sous-additivité et le fait que d'autres mesures telles que l'Expected
Shortfall en disposent. Citons également l'article ACERBI, TASCHE (2002) qui reprend
différentes mesures de risque et leurs propriétés, en mettant l'accent sur l'Expected
Shortfall ainsi que les relations existantes entre ces différentes mesures.
Définition de l'Expected Shortfall
Soit X une variable aléatoire de moment d'ordre 1 fini.
La Tail-Mean de la variable X à l'intervalle de confiance  :



x    TM X    1   E  X  1X  x    x      P X  x   
  
 

Et l'Expected Shortfall de la variable X à l'intervalle de confiance  :
ES X    x  
L'Expected Shortfall respecte certaines propriétés, notamment la propriété de
sous-additivité qui permet de faire d'elle une mesure de risque cohérente.
33
Proposition : sous-additivité de l'Expected Shortfall
 X et Y deux v.a. de moment d'ordre 1 fini
   ]0;1[
on a ES(X+Y)  ES(X) + ES(Y)
Démonstration
Soit
1X x  la fonction définie comme
1X x  
1X  x 
1X  x  
  P X  x 
P X  x 
 1X  x 
si
P X  x   0
si
P X  x   0
Nous avons immédiatement :
1X  x   0;1
 
E 1X  x    
  

 1  E  X  1X  x    x  
  

Il est ainsi possible d'écrire l'Expected Shortfall sous la forme suivante :
ES X    1  E  X  1X  x  
  

Définissons maintenant la variable aléatoire Z = X + Y. En utilisant l'écriture
précédente de l'Expected Shortfall nous pouvons écrire :
  ES X   ES Y   ES Z 
 E  Z  1Z  z   X  1X  x   Y  1Y  y  
 
 
  

 E  X  1Z  z   1X  x    Y  1Z  z   1Y  y   
 
  
 
   



 x    E 1Z  z   1X  x    y    E 1Z  z   1Y  y  
 
  
 
  


 x         y       
34
0
ES X  Y   ES X   ES Y 
c'est-à-dire

Une autre propriété intéressante est la continuité en l'intervalle de confiance ,
propriété que n'a pas la VaR par exemple. En pratique il est fréquent d'avoir affaire à
des variables aléatoires ont des distributions discrètes, ou plus exactement il est
fréquent d'avoir affaire à des variables pour lesquelles une approximation de
distribution continue s'écarte trop de la réalité.
Il peut s'agit par exemple de portefeuilles contenant des produits dérivés, ou bien
de portefeuilles constitués de crédits non traités sur les marchés (contrats entre la
banque et ses clients). Certaines mesures de risque parmi lesquelles la VaR peuvent
présenter des discontinuités pour ce types de distributions discrètes lorsque l'on
modifie, même légèrement, l'intervalle de confiance .
A contrario l'Expected Shortfall est une mesure de risque continue en l'intervalle
de confiance, ce qui fait que l'étude pour un même portefeuille du niveau d'Expected
Shortfall à intervalles de confiance proches ne sera pas biaisée par des sauts.
Proposition
Si
Continuité de l'Expected Shortfall en 
 
X est une variable aléatoire réelle avec E X    alors la fonction
f :   ES est continue sur ]0;1[.
Démonstration
Afin de démontrer cette proposition nous allons montrer que la Tail Mean peut
s'écrire sous la forme intégrale suivante :

x     1   x u du
0
Pour cela remarquons qu'il est possible de supposer qu'il existe une variable aléatoire
réelle U uniformément distribuée sur ]0;1[. On sait alors que la variable aléatoire
Z  x U  a la même distribution X .
La fonction
u  x u  étant non décroissante nous avons les deux inclusions
suivantes :
U     Z  x  
et
35
U     Z  x    Z
 x  

Ces deux inclusions permettent d'écrire :


0
x u du

 E Z  1U   

 E  Z  1Z  x   E  Z  1U    Z  x  
  
  


 E  X  1X  x    x      P X  x  
  


c'est-à-dire



 1   x u du  x  
0
On peut alors réécrire l'Expected Shortfall comme :
ES X    1   qu X du

0
Cette écriture montre que l'Expected Shortfall est continu en sur ]0;1[.

1.2.4. Autres mesures de risque
Il existe d'autres mesures de risque comme par exemple la Tail Conditional
Expectation (TCE) ou la Worst Conditional Expectation (WCE) introduites par DELBAEN
(2000) et ARTZNER, DELBAEN, EBER, HEATH (1998),ou la Conditional Value-at-Risk
introduite par URYASEV (2000).
Sans entrer dans le détail notons les points suivants : la TCE a, comme la VaR,
l'inconvénient de ne pas être sous-additive dans le cas général. La WCE est la plus
petite mesure de risque cohérente dominant la VaR, mais a l'inconvénient d'être peu
aisée à manipuler du fait de sa définition. Enfin la Conditional Value-at-Risk est une
mesure de risque à la fois cohérente et pratique à utiliser : on peut démontrer qu'elle
coïncide parfaitement avec l'Expected Shortfall défini ci-dessus sous certaines
conditions (la continuité de la fonction de répartition de X), et correspond à la valeur
maximale que peut prendre la WCE.
Notons finalement que l'Expected Shortfall peut être vue comme cas particulier
d'une classe de mesures de risque plus large : les mesures de risque spectrales, voir
par exemple ACERBI (2002). Ces mesures sont basées sur la définition d'une fonction
de pondération de la densité des pertes, permettant ainsi à chaque institution de
prendre en compte son aversion au risque. Comme le remarque OVERBECK (2004)
l'Expected Shortfall à 99% peut être vu comme traduisant une aversion au risque
nulle pour les pertes situées sous le seuil de confiance de 99%, et indifférente parmi
les pertes au-delà de ce seuil. L'utilisation d'une mesure de risque spectrale
permettra par exemple de considérer différentes pondérations en fonction de
différents niveaux d'intervalles de confiance. OVERBECK (2004) propose les
pondérations suivantes en guise d'exemple :
36
pondération =
w0 entre 50% et 99%
k1 w0 entre 99% et 99.9%
k2 w0 au-delà de 99.9%
1.2.5. Résumé
Avant de passer au chapitre traitant de l'allocation de fonds propres nous pouvons
résumer les différentes mesures de risque que nous avons vues ainsi que leurs
propriétés (dans un cas général), ces dernières étant particulièrement importantes
pour la partie suivante :
Propriété
Mesure de risque
Basée sur StD
Value-at-Risk
Expected Shortfall
Invariance par
translation
Homogénéité
positive






Monotonie
Sous-additivité




2. Allocation de fonds propres
2.1. Description et motivation de la problématique
Dans la première partie de ce mémoire nous avons vu comment appréhender le
risque d'un portefeuille de crédits pris dans sa globalité : en appliquant le modèle
CreditMetrics à l'ensemble des lignes d'un portefeuille nous pouvons aboutir à une
distribution des pertes et profits pour ce portefeuille, distribution à partir de laquelle
on peut déduire par exemple une consommation de fonds propres estimée comme la
Value-at-Risk à un horizon de temps et un intervalle de confiance donnés diminuée
de l'espérance de la distribution, c'est-à-dire des pertes de crédit attendues.
Cette estimation de consommation de fonds propres à un niveau global est
nécessaire pour que le management de la banque sache si l'ensemble des activités
de crédit n'expose pas la banque à un risque trop important auquel elle pourrait
avoir des difficultés à faire face s'il se matérialisait.
37
Cependant cette estimation se révèle insuffisante dès lors que l'on souhaite
descendre à un niveau de granularité plus fin que le niveau global. Supposons par
exemple que la banque soit organisée en cinq activités distinctes induisant toutes
ensemble une consommation globale de fonds propres de 100 : quelle est la
contribution de chacune des activités à ce montant global ? Plus précisément
certaines activités pénalisent-elles plus la banque que d'autres, avec des expositions
plus risquées par exemple ?
Différentes études relatives aux problématiques d'allocation de fonds propres ont
été et continuent d'être menées. Dans cette partie nous utiliserons essentiellement
les travaux de KALKBRENER (2002). Ceux-ci ont en effet l'avantage de proposer une
axiomatique pour l'allocation de fonds propres qui soit simple et efficace d'utilisation
avec les mesures de risque classiques.
2.2. Un système d'axiomes pour l’allocation de fonds propres
2.2.1. Fonction d'allocation de fonds propres
Définition : fonction d'allocation de fonds propres
Soit  une mesure de risque.
Nous dirons que  : V  V  R est une fonction d'allocation de fonds propres
associée à la mesure  si  X  V on a (X,X) = (X).
Cette définition impose que, quel que soit le portefeuille considéré X dans
l'ensemble des portefeuilles possibles V la fonction d'allocation de fonds propres de
ce portefeuille considéré isolément renverra exactement le montant de fonds propres
consommés par ce portefeuille et mesuré par la mesure de risque .
Considérons un portefeuille Y constitué de n sous-portefeuilles Xi. La mesure de
risque  nous indique que le portefeuille consomme (Y) en fonds propres. La
fonction d'allocation de fonds propres  va permettre de déterminer quelle est la
contribution (Xi,Y) de chacun des sous-portefeuilles Xi à la consommation globale
de fonds propres (Y) du portefeuille Y.
La fonction d'allocation  peut disposer de différentes propriétés, dont trois vont
constituer les axiomes de base du système d'allocation de fonds propres étudié :
Axiome 1 : linéarité
 a, b  R,  X, Y, Z  V on a
( a X + b Y , Z ) = a ( X , Z ) + b ( Y , Z )
38
Cet axiome permet de s'assurer que la somme des contributions individuelles des
sous-portefeuilles Xi d'un portefeuille Y est bien égale à la consommation de fonds
propres de ce dernier. En effet cette dernière vaut :
 Y   Y, Y 
 n

   X i , Y 
 i 1

 X
n

i 1
i
,Y

Axiome 2 : diversification
 X, Y  V on a
( X , Y )  ( X , X )
Il s'agit ici de traduire que le montant de fonds propres alloué à un portefeuille X
en tant que sous-portefeuille d'un portefeuille plus large Y est nécessairement
inférieur au montant de fonds propres consommé par X isolément.
En outre il permet (avec l'axiome 1) d'écrire que le montant de fonds propres
consommé par un portefeuille est inférieur à la somme des consommations de fonds
propres de chacun de ses sous-portefeuilles. En effet supposons que le portefeuille Y
se décompose en n sous-portefeuilles Xi. L'axiome 2 permet d'écrire :



 X i ,Y   X i , X i

soit en sommant les n inégalités :
n

  X
n
  X i ,Y 
i 1
i 1
 n

  X i , Y  
 i 1

 Y  
i
, Xi

  X 
n
i 1
i
  X 
n
i 1
i
Axiome 3 : continuité (en Y)
 X  V et pour   0 on a
lim ( X , Y +  X ) = ( X , Y )
39
Cet axiome vise à s'assurer qu'un léger changement sur un portefeuille global Y
n'aura qu'un léger impact sur l'allocation de fonds propres de ses différents sousportefeuilles.
2.2.2. Complétude de ce système
Maintenant que ce système a été défini nous pouvons nous interroger quant à sa
complétude. Autrement dit le fait qu'une fonction d'allocation de fonds propres
respecte les trois axiomes précédents suffit-il à la déterminer de façon univoque ? La
réponse est oui, et cette fonction est la dérivée de la mesure de risque  au point Y
dans la direction du sous-portefeuille X.
Théorème : complétude
Soit  une fonction d'allocation de fonds propres associée à la mesure  et
respectant les trois axiomes de linéarité, diversification et continuité en Y.
Alors
X  V on a X , Y   lim
 0
 Y    X    Y 

Démonstration
Soit 1, 2  R avec 1 < 2. Comme  respecte l'axiome de diversification on a :
 Y   2  X 




  Y   2  X,Y  1  X
  Y  1  X   2  1  X,Y  1  X
 

or L respectant également l'axiome de linéarité on en déduit :
 Y   2  X 

 
 
  Y  1  X   2  1   X,Y  1  X

soit en divisant par 2 – 1 :
 Y   2  X    Y   1  X 
 X , Y   1  X 
 2  1
En inversant les rôles de 1 et 2 et en partant de ( Y + 2 X ) nous pouvons
obtenir une inégalité similaire à la précédente :
 Y   2  X    Y   1  X 
 X , Y   2  X 
 2  1
40
Ces deux inégalités permettent d'aboutir à l'encadrement suivant :


 X ,Y  1  X 
 Y   2  X    Y   1  X 
 X , Y   2  X 
 2  1
Finalement la fonction d'allocation de fonds propres respectant l'axiome de
continuité le majorant et le minorant de cette inégalité tendent chacun vers ( X , Y
) quand 1 et 2 tendent vers 0 et donc
 Y    X    Y 
 0

X , Y   lim

2.2.3. Existence d'une fonction d'allocation de fonds propres
Reste maintenant la question de savoir si une telle fonction d'allocation de fonds
propres existe. A ce sujet KALKBRENER (2002) propose une condition nécessaire et
suffisante reprises dans le théorème suivant :
Théorème : CNS d'existence d'une fonction d'allocation de fonds propres
Soit  une mesure de risque.
Il existe une fonction d'allocation de fonds propres  associée à  linéaire et
diversifiante si et seulement si  est positive homogène et sous-additive.
Démonstration de la condition nécessaire
Démontrons d'abord la positive homogénéité.
Soit a un réel positif. La fonction d'allocation de fonds propres  étant linéaire on a :
a    X , X     a  X , X 
Or  est également diversifiante donc
  a  X , X     a  X , a  X 
En réutilisant ces propriétés de linéarité et de diversification on poursuit :
  a  X , a  X   a    X , a  X   a    X , X 
41
Nous en déduisons ainsi que :
a    X , X     a  X , a  X 
Pour montrer que  est positive homogène écrivons :
a   X 
 a    X , X 
   a  X , a  X  comme vu ci-dessus
  a  X 
Montrons maintenant que  est sous-additive
 X  Y 
   X  Y , X  Y 
   X , X  Y     Y , X  Y  car  est linéaire
   X , X     Y , Y 
car  est diversifiante
  X    Y 

La démonstration de la condition suffisante est plus délicate, reposant notamment
sur le théorème de Hahn-Banach. Nous renvoyons à KALKBRENER (2002) et DUNFORD,
SCHWARTZ (1958) pour plus de détails.
2.3. Exemples de fonctions d'allocation de fonds propres
2.3.1. Mesures basées sur l'écart-type
Reprenons la mesure de risque basée sur l'écart-type
 c X   c  StdX   E X 
c
définie précédemment :
avec c  0
Comme nous l'avons vu précédemment la mesure de risque
c
possède les
propriétés d'invariance par translation, d'homogénéité positive ainsi que de sousadditivité. Ces deux dernières propriétés font que l'on peut dire (cf point 2.2.3. sur
l'existence) qu'il existe une fonction d'allocation de fonds propres linéaire et
diversifiante par rapport à la mesure de risque
c .
Définissons maintenant la fonction d'allocation de fonds propres respectivement à
cette mesure
Std
suivante :
c
42
c
Std
c X , Y 
Cov X , Y 
 E X 
Std Y 
 E X 
si
Std Y   0
si
StdY   0
Montrons dans un premier temps que cette fonction d'allocation de fonds propres
est linéaire et diversifiante.
Démonstration
Linéarité
Evidente si Y =0. Sinon :
Std
c a  X  b  Y , Z 
Cov a  X  b  Y , Z 
 E a  X  b  Y 
Std Z 
Cov X , Z 
Cov Y , Z 
 ac 
 a  E X   b  c 
 b  E Y 
Std Z 
Std Z 
Std
 a  Std
c X , Z   b   c Y , Z 
c
Diversification
Evidente si Y =0. Sinon :
Std
Std
c X , Y    c X , X 
or
Cov X , Y 
Cov X , X 
 E X   c 
 E X 
Std Y 
Std X 
Cov X , Y 
c
 c  Std X 
Std Y 
Cov X , Y   Std X   Std Y 
c
Std Y 
c
Cov X , Y   Std X   Std Y  . En effet on a
 1  Corr X , Y   1
Cov X , Y 
1 
1
Std X   Std Y 
StdX   StdY   Cov X , Y   StdX   StdY 
ce qui permet de conclure que
Std
Std
c X , Y    c X , X   0

43
est continue en Y (du fait de la continuité de
Std Y   0 alors Std
c
Cov X , Y  et Std Y  en Y). Les trois hypothèses du théorème portant sur la
En outre si
complétude du système sont ainsi satisfaites et permettent d'écrire :
 c Y    X    c Y 
 0

Std
c X , Y   lim
c
En revanche le fait que la mesure de risque
ne soit généralement pas
monotone peut poser certains problèmes lors de l'allocation de fonds propres. En
effet une allocation par cette mesure peut conduire à allouer à certaines positions un
montant de fonds propres plus élevé que l'exposition elle-même. Tant que l'on ne
considère que des portefeuilles ayant des distributions de P&L gaussiennes une
allocation par contribution à la VaR est satisfaisante. En revanche dès que les
distributions ne sont plus gaussiennes, comme par exemple dans le cadre de
portefeuilles de crédits il est possible en utilisant cette méthode d'allouer à des sousportefeuilles des montants de VaR plus élevés que l'exposition totale du sousportefeuille, voir par exemple KALKBRENER, LOTTER, OVERBECK (2004).
2.3.2. Expected Shortfall
Rappelons que la mesure de risque Expected Shortfall à l’intervalle de confiance 
peut s’écrire :

ES  Y   1     E Y  1Y q
1

Y 
 q Y   PY  q Y    


Définissons maintenant la fonction d'allocation de fonds propres respectivement à
cette mesure
ES
 suivante :
ES
  X , Y   1    
1
 X 1
dP   Y   X  1Y q Y dP
Y  q Y 

avec :
Y 


P Y  q Y   
P Y  q Y 

si



P Y  q Y   0
Cette fonction présente l’avantage d’être en pratique très facile à estimer, par
exemple la contribution à l’Expected Shortfall de l’obligation i d’un portefeuille
obligataire se calcule comme :



E Li | L  VaR L   1     E Li  1LVaR  L 

1
44

En effet, le second terme de la somme (celui avec le coefficient ) étant en
pratique négligeable ou nul.
2.3.3. Value-at-Risk
Comme nous l'avons vu précédemment la VaR n'est en général pas une mesure
de risque sous-additive. Ainsi la constitution d'un portefeuille à partir de n sousportefeuille peut augmenter la mesure de risque calculée avec une VaR.
En dépit de ce défaut la VaR est largement utilisée dans la pratique, qu'il s'agisse
du suivi quotidien de portefeuilles de trading ou bien de l'estimation de la
consommation de fonds propres, la VaR répondant naturellement à la question "De
quel montant de fonds propres dois-je disposer afin d'être en mesure de faire face à
des pertes avec un niveau de confiance donné ?", la question n'étant pas de savoir
quel serait le montant moyen de ces pertes si ce niveau venait à être dépassé.
Dans ce contexte il est naturel de s'interroger sur la façon d'allouer le niveau de
VaR estimé pour un portefeuille global à différents sous-portefeuilles qui le
composent.
Le fait que la VaR ne soit généralement pas sous-additive fait qu'il n'est pas
possible d'appliquer le théorème du paragraphe 2.2.3. ci-dessus. En dépit de cette
impossibilité on peut trouver trois types de solutions en pratique.
La première consiste à écrire la dérivée
lim
VaR Y    X   VaR Y 

 0
qui peut en effet exister en fonction du portefeuille considéré, notamment dans le
cadre de P&L "suffisamment continus" comme peuvent l'être ceux d'activités de
trading. Nous renvoyons par exemple à GOURIEROUX, LAURENT, SCAILLET (2000) pour
une analyse des conditions d'existence de la limite ci-dessus.
Une deuxième solution couramment utilisée revient à calculer le niveau de VaR
pour l'ensemble d'un portefeuille global, et à allouer ce niveau de VaR à différents
sous-portefeuilles en fonction de leur contribution à la variance du portefeuille global.
Si cette technique peut s'avérer pratique et fournir des résultats probants dans le
cadre de portefeuilles de marché, elle montre ses limites dès lors que les
distributions des P&L sont à queues épaisses et fortement asymétriques comme cela
est le cas des portefeuilles de crédits, menant à deux phénomènes peu désirables.
Le premier est que le montant de VaR alloué à un sous-portefeuille peut être plus
élevé que le niveau de VaR de ce portefeuille considéré isolément. Si elle peut
paraître gênante à première vue cette possibilité s'explique notamment dans le cas
d'un sous-portefeuille contenant certaines positions largement répandues dans le
portefeuille global auquel on l'ajoute.
45
Le second est que le montant de VaR alloué à un sous-portefeuille peut-être plus
élevé que l'entière exposition du portefeuille, ce qui est là nettement plus gênant :
en effet si on associe ce sous-portefeuille à une Business Unit, le responsable de
celle-ci pourra éventuellement accepter d'avoir une consommation de fonds propres
plus élevée que s'il était considéré isolément, mais sans doute pas d'avoir une
consommation de fonds propres supérieure à sa perte maximale possible à savoir
l'entière exposition de son portefeuille. Nous renvoyons là encore à l'exemple fourni
dans l'article KALKBRENER, LOTTER, OVERBECK (2004).
Enfin une troisième solution permet d'éviter le cas d'une allocation supérieure au
montant d'exposition : il s'agit d'allouer le niveau de VaR calculé en fonction de la
contribution à l'Expected Shortfall. Cette technique a été décrite dans de nombreux
articles ou ouvrages (voir par exemple BLUHM, OVERBECK, WAGNER (2002)) et est
couramment utilisée en pratique.
En effet des outils de gestion du risque de crédit pour des portefeuilles de type
CreditMetrics reposent sur des simulations de trajectoires de migrations de rating.
Une fois que ces simulations ont été réalisées il est quasi immédiat d'avoir différents
indicateurs comme la VaR à différents quantiles, l'Expected Loss, l'Expected
Shortfall, etc.
A ce sujet nous pouvons noter dès à présent que l'utilisation d'une clef d'allocation
de la VaR reposant sur l'Expected Shortfall n'impose en aucun cas que ce dernier soit
calculé au même niveau de confiance que celle-là. Il est même relativement fréquent
que les niveaux de confiance retenus soient différents, les raisons pouvant être
multiples :
-
-
le niveau de confiance de la VaR est généralement lié à la probabilité de
défaut correspondant au rating cible de la banque : une banque souhaitant
s'assurer un niveau de fonds propres suffisant pour bénéficier d'un rating AA
devra utiliser un intervalle de confiance correspondant à la probabilité de
défaut d'un AA
le niveau de confiance de l'Expected Shortfall peut être choisi différemment
o parfois l'objectif de la banque est de retenir un intervalle de confiance
 tel que le montant d'Expected Shortfall soit proche du niveau de VaR
calculé à l'intervalle de confiance 
o le choix de l'intervalle de confiance peut également être purement
guidé par des contraintes calculatoires : si l'estimation d'une VaR
stable avec un intervalle de confiance  pour un portefeuille de crédit
peut nécessiter un nombre très importants de simulations, celui d'un
Expected Shortfall également stable avec un même niveau de
confiance  nécessite encore plus de simulations, du fait que la
mesure porte sur la queue de la distribution. Une banque pourra alors
être tentée de choisir un intervalle de confiance  sensiblement
inférieur, garantissant ainsi une convergence plus rapide des
estimations obtenues.
o enfin le choix de l'intervalle de confiance  peut manifester la volonté
du Management d'allouer plus ou moins de fonds propres en fonction
du type de pertes constatées : en effet un intervalle de confiance élevé
tendra à porter l'attention sur la queue de la distribution des P&L,
c'est-à-dire essentiellement aux simulations correspondant à des
défauts. Un relâchement de ce niveau de confiance aura tendance à
capter des variations de P&L plus modestes, correspondant plus à des
46
cas de migrations de rating : le choix de l'intervalle de confiance
retenu pour le  peut donc traduire la volonté d'accentuer la
pondération en fonds propres de portefeuilles de très bonne qualité ou
bien de qualité plus modeste
47
IV. Budgétisation des consommations en fonds
propres
Maintenant que nous avons vu différentes méthodes permettant d'estimer les
consommations en fonds propres d'une banque nous allons nous intéresser à la
façon dont elles peuvent être utilisées lors d'un processus de budgétisation.
1. Un premier processus de budgétisation des
consommations en fonds propres
1.1. Intérêts et motivations d'une approche prospective
1.1.1. Gouvernance interne
Comme nous l'avons vu dans la première partie de ce mémoire les fonds propres
d'une banque sont une ressource chère, aussi leur utilisation doit-elle être optimale.
A cette fin les banques mesurent à intervalles réguliers leurs consommations en
fonds propres, et les comparent à leur niveau de fonds propres disponibles, ceci afin
de s'assurer d'une part de leur solvabilité, d'autre part que les fonds propres non
utilisés ne sont pas inutilement importants.
Ce seul suivi devient insuffisant dès lors que le bilan de la banque évolue, par
exemple lors de l'achat ou de la vente de filiales, lors de la création ou de la
fermeture de nouvelles activités, ou encore lors de l'évolution en volume ou en
termes de profil de risque d'activités existantes.
Si une banque se retrouvant dans l'un des cas précédents souhaite anticiper au
mieux sa situation financière future en s'assurant de l'adéquation de ses fonds
propres disponibles par rapport à ses fonds propres consommés, elle doit réaliser des
projections pour chacun de ces niveaux, sur base d'hypothèses concernant la
croissance attendue, les ventes ou acquisitions anticipées, etc.
Ces hypothèses sont généralement formulées et documentées lors des exercices
annuels de planification financière, c'est-à-dire lorsque la banque fixe ses objectifs
en termes de revenus et dépenses pour chacune de ses activités et entités.
Ainsi le développement par une banque d'une vision prospective sur ses niveaux
de fonds propres consommés et disponibles lui permet de s'assurer une visibilité à
moyen terme en anticipant les impacts de ses décisions stratégiques sur sa situation
financière.
48
1.1.2. Communication externe
Les points du paragraphe précédents sont également utiles pour deux types de
tiers au moins: les investisseurs et les régulateurs.
Les investisseurs
Les investisseurs sont intéressés par la façon dont une banque gère ses risques et
son bilan : les actionnaires souhaitent que leur participation soit investie au mieux en
fonction des risques qu'ils sont prêts à prendre, les créanciers souhaitent quant à
eux s'assurer de la solvabilité de la banque.
Pour chacun d'eux la présentation d'une vision prospective des consommations en
fonds propres et fonds propres disponibles envoie un signal positif, gage que la
banque dans laquelle ils ont investi développe une vision à moyen terme claire de sa
situation financière.
Les régulateurs
Cette approche prospective est également, et c'est nouveau, attendue par les
régulateurs.
En effet si la réglementation Bâle I n'imposait que le suivi régulier ex post du ratio
de solvabilité, la réglementation Bâle II via son deuxième Pilier introduit la notion de
projection de fonds propres (BASEL COMMITTEE ON BANKING SUPERVISION (2005b)).
Le CEBS2 a publié en janvier 2006 un document (COMMITTEE OF EUROPEAN BANKING
SUPERVISORS (2006a)) donnant des lignes directrices concernant l'application du
SREP3 et le déploiement d'un ICAAP dans lequel il précise au point ICAAP 8 : The
ICAAP should be forward-looking :
The ICAAP should take into account the institution's strategic plans (...). The institution should
have an explicit, approved capital plan which states the institution's objectives (...).
Ainsi en plus d'un intérêt de gestion interne et d'une meilleure communication
externe la mise en place d'un processus de budgétisation des fonds propres permet à
chaque banque de répondre aux attentes de ses régulateurs.
1.2. Choix de mesures de consommation en fonds propres
2
3
Committee of European Banking Supervisors
Supervisory Review Process
49
Afin d'illustrer la mise en place d'un processus de budgétisation des fonds propres
ainsi que les problématiques rencontrées nous allons considérer une banque fictive
que nous appellerons Lux Bank, ayant son siège social à Luxembourg et qui est
organisée autour de trois activités distinctes (Activity A, Activity B et Activity C).
Voyons-en la structure ainsi que la situation financière en termes de consommations
de fonds propres et de fonds propres disponibles.
1.2.1. Bilan simplifié et activités de Lux Bank
Bilan de Lux Bank
Synthétisons le bilan de Lux Bank en trois postes : l'actif, le passif et les fonds
propres.
Poste
Actif
Passif
Fonds
propres
Description
Lux Bank n'a à son actif que des titres obligataires. Chacun de ces
titres est géré par une des trois activités de la banque.
L'actif peut ainsi être ventilé en trois grands blocs, chaque bloc
correspondant au portefeuille d'une des trois activités.
Le passif de Lux Bank est constitué de titres de dette émis sur les
marchés.
Notons qu'il n'est pas possible de rattacher chacune de ces émissions à
une activité précise comme c'est le cas pour l'actif.
Les fonds propres de Lux Bank sont constitués d'une part de capital
souscrit, d'autre part par des résultats reportés et des réserves de
réévaluation. Ensemble ils constituent les fonds propres éligibles4
dont le montant en t = 0 s'élève à 50 MEUR.
La ventilation des fonds propres de la banque est, comme celle du
passif, a priori impossible, ceux-ci n'étant rattachés à aucune activité.
Toutefois nous verrons dans la suite qu'il est possible selon certaines
règles de ventiler le montant global de fonds propres consommés, et
ainsi d'avoir une idée des consommations de chaque activité en fonds
propres.
Activités de Lux Bank
Lux Bank est organisée en trois activités. Ces activités sont gérées de façon
indépendante, et n'ont pas vocation à investir systématiquement dans des secteurs
d'activité ou des secteurs géographiques particuliers. Il n'y a donc a priori pas de
corrélation constante dans le temps entre leurs profils de risque.
4
Par souci de simplification nous considérons les fonds propres éligibles dans leur
globalité. En pratique ils doivent être décomposés selon la Partie IV de la Circulaire
CSSF 06/273 en fonds propres de base, fonds propres complémentaires et fonds
propres surcomplémentaires (correspondant respectivement aux fonds propres Tier
1, Tier 2 et Tier 3).
50
Les corrélations particulières à chaque date t seront implicitement prises en
compte via le modèle CreditMetrics.
A l'instant t = 0 l'actif de Lux Bank s'élève à 2'627 MEUR répartis ainsi entre les
trois activités (chiffres en MEUR):
Activité
Activity A
Activity B
Activity C
Total
Actif en t = 0 (MEUR)
1'357
475
795
2'627
Maturité
3.8
2.7
3.6
3.5
A titre d'information la ventilation des expositions par ratings est présentée cidessous, soulignant que le profil de risque de Lux Bank est relativement faible :
Distribution des ratings en t = 0
25%
20%
15%
10%
B-
B
B+
BB-
BB
BB+
BBB-
BBB
BBB+
A-
A
A+
AA-
AA
AA+
AAA
0%
CCC
5%
La description détaillée (en ligne à ligne) des portefeuilles des trois activités est
disponible en annexe.
1.2.2. Deux mesures de consommation en fonds propres
Afin de mesurer son exposition au risque Lux Bank retient deux mesures de
consommation en fonds propres :

La mesure Bâle II
Cette mesure correspond à la mesure imposée par le régulateur, et permet à
51
Lux Bank d'estimer sa consommation en fonds propres réglementaires.
Lux Bank doit faire en sorte que sous cette mesure sa consommation en fonds
propres soit à tout moment inférieure au niveau de ses fonds propres
éligibles.
Nous noterons par la suite ce type de consommation K_BII.

La mesure CreditMetrics
Cette mesure est une mesure interne. Si elle n'est pas imposée par le
régulateur elle permet toutefois de répondre à deux des points d'attention du
Pilier 2 de Bâle II :
- d'une part en fournissant à Lux Bank un outil de mesure de risque plus fin
que la mesure Bâle II, qui permet notamment d'appréhender – en partie – un
risque non couvert par le Pilier 1 : le risque de concentration (visé au
Sous-chapitre II.8. de la Circulaire CSSF 07/301 qui transpose en droit
luxembourgeois les lignes directrices du CEBS sur l'Icaap)
- d'autre part en permettant à Lux Bank de choisir l'intervalle de
confiance auquel elle souhaite mesurer ses risques, ceci en accord avec le
rating cible de Lux Bank (point II.3 . de l'annexe de la Circulaire CSSF
07/301)
Avec elle Lux Bank mesurera sa consommation en fonds propres
économiques, qui sera notée K_Eco et estimée avec un intervalle de
confiance de 99.97%5.
1.2.3. Allocation des consommations
Allocation des consommations en fonds propres réglementaires
Les calculs de la consommation en fonds propres réglementaires sont effectués
pour chaque position de l'actif. Pour obtenir des consommations selon une vue
agrégée (soit au niveau de chaque activité, soit au niveau global de Lux Bank) il
suffit de sommer les montants de consommation obtenus ligne à ligne (cf le chapitre
3. Modèle Bâle II de la première partie de ce mémoire).
Allocation des consommations en fonds propres économiques
Pour ce qui est de la consommation en fonds propres économiques c'est différent
: comme nous l'avons vu dans la première partie de ce mémoire l'approche
CreditMetrics va renvoyer une distribution des pertes globales pour un portefeuille,
i.e. ici une distribution des pertes pour Lux Bank, distribution qui permettra en
déduisant l'espérance (Expected Loss) du quantile à 99.97% d'avoir la
consommation en fonds propres économiques globale de Lux Bank.
5
Cet intervalle de confiance correspond à un rating AA. Les deux mesures de
consommation en fonds propres utilisées intégreront donc en paramètre des
intervalles de confiance différents.
52
Pour obtenir une ventilation à un niveau plus fin (activité, position particulière)
nous utilisons la technique de la contribution à l'Expected Shortfall présentée
dans la deuxième partie de ce mémoire.
1.2.4. Synthèse des résultats et situation financière
Le tableau ci-dessous synthétise les estimations des consommations en fonds
propres économiques et réglementaires réalisées en t = 0 ainsi que les allocations
entre les différentes activités :
Activity
Activity A
Activity B
Activity C
Lux Bank
Exposure
1 357 000 000
475 000 000
795 000 000
2 627 000 000
EL
Amount
933 803
538 512
1 704 305
3 176 620
Rate
0.07%
0.11%
0.21%
0.12%
K_BII
Amount
9 263 365
4 124 860
11 681 214
25 069 438
Rate
0.68%
0.87%
1.47%
0.95%
K_Eco
Amount
Rate
9 793 913
0.72%
4 970 756
1.05%
11 266 380
1.42%
26 031 049
0.99%
Ce tableau présente, pour chaque activité ainsi que pour Lux Bank les montants
d'expositions au risque de crédit ainsi que les Expected Loss et consommations en
fonds propres.
Les ratios (colonnes "Rate") rendent comparables ces valeurs nominales entre
portefeuilles, et permettent ainsi d'apprécier la dangerosité de chacun d'eux. On note
ainsi que le portefeuille A est le portefeuille au profil de risque le plus faible alors que
le portefeuille C est le plus risqué, le portefeuille B présentant un niveau de risque
intermédiaire.
Les chiffres détaillés en ligne à ligne de ces consommations sont présentés en
Annexes.
Situation financière de Lux Bank
En rappelant que les fonds propres éligibles de Lux Bank s'élèvent en t=0 à 50
MEUR deux conclusions peuvent être tirées :

en t=0 Lux Bank dispose d'un niveau de fonds propres éligibles suffisant,
tant au regard des exigences réglementaires 6 qu'au regard de sa mesure
interne

elle dispose en outre d'un niveau de fonds propres disponibles de l'ordre
de 25 MEUR, lui permettant de faire évoluer son bilan
6
Les exigences en fonds propres dues au risque opérationnel sont ici, par volonté de
simplification, ignorées.
53
L'un des rôles des dirigeants de Lux Bank étant d'investir au mieux les fonds
propres disponibles, le point suivant va présenter une manière de formaliser un
premier processus de budgétisation des fonds propres tenant compte des éléments
ci-dessus.
1.3. Une première formalisation du processus de budgétisation
Le processus de budgétisation des consommations en fonds propres peut se
décomposer en deux étapes :
-
déterminer sur base des niveaux de fonds propres éligibles et
consommés en t = 0 ainsi que des revenus futurs projetés le niveau attendu
de fonds propres disponibles
-
octroyer tout ou partie de ce niveau attendu de fonds propres disponibles
aux différentes activités de sorte à en favoriser ou à en limiter la croissance
La première étape est un état des lieux nécessaire qui peut être réalisé à partir
des parties précédentes du mémoire. Elle est illustrée par le schéma ci-dessous :
Le niveau de fonds propres disponibles en t à horizon H sera estimé par la
suite comme étant égal à :
54


FPt ,dispo
 FPt éligibles  Max K _ Ecot ; K _ BII t  FPtcréés
H
;t  H 
La seconde étape est celle qui permet à la direction de Lux Bank de mettre en
pratique ses décisions stratégiques (développement d'une activité, achat d'une
société, réduction d'une autre activité, etc.), en matérialisant celles-ci par un octroi
de fonds propres d'un niveau global à un niveau local. Elle est illustrée par le schéma
ci-dessous :
Ce processus de budgétisation devra se poursuivre, pour qu'il soit un des outils de
la mise en place de décisions stratégiques, par une comparaison entre les projections
(i.e. les fonds propres octroyés à chaque activité) et les consommations effectives,
en analysant les raisons des écarts et en prenant d'éventuelles mesures correctrices.
Si la première étape de ce processus peut être conduite relativement facilement,
la seconde soulève fréquemment différents problèmes qui peuvent rendre sa mise en
œuvre délicate. Nous allons voir dans le chapitre suivant deux des problèmes les plus
fréquents et les plus gênants, puis nous proposerons un affinement du processus de
budgétisation.
55
2. Problématiques de mise en œuvre et affinement du
processus de budgétisation
2.1. Exemple d'évolution des consommations entre deux dates
2.1.1. Modifications apportées au bilan de Lux Bank entre t=0 et
t=6m
Afin d'appréhender la façon dont les consommations en fonds propres peuvent
évoluer entre deux dates, et d'ainsi pouvoir dresser une liste de points d'attention
utiles à une démarche d'octroi de fonds propres nous allons reprendre l'actif en t = 0
de Lux Bank et le faire évoluer de la façon suivante :
Activité
A
B
C
Modifications entre t = 0 et t = 6m
Renforcement d'expositions déjà existantes sur l'Irlande et Morgan
Stanley, ajout d'une exposition nouvelle sur UBS.
Maintien du portefeuille inchangé.
Ajout d'expositions nouvelles sur l'Irlande, Morgan Stanley et UBS.
Le portefeuille B contenant déjà en t = 0 des positions sur l'Irlande, UBS et
Morgan Stanley, nous allons visualiser les effets de la création de concentrations sur
les consommations en fonds propres.
2.1.2. Synthèse des évolutions
Le tableau ci-dessous présente les résultats obtenus de façon synthétique, en
reprenant les résultats obtenus en t = 0 et en précisant les variations relatives :
56
2.1.3. Analyse globale des évolutions
A la lecture de ces tableaux différents points d'attention peuvent être soulignés :

Exposure
L'exposition globale augmente sensiblement de 2'627 MEUR à 3'427 MEUR
(+600 MEUR / +30.5%)

EL
Le niveau d'Expected Loss varie peu
o S'explique par le fait que les émetteurs des positions ajoutées ont un
bon rating, représentatif d'une PD faible.

K_BII
La consommation en fonds propres réglementaires diminue de quasiment 1
MEUR
o S'explique d'une part par le fait que, comme précisé ci-dessus, les
positions ajoutées sont peu risquées et induisent donc une charge
supplémentaire en fonds propres modeste, d'autre part par le fait que
le portefeuille restant par ailleurs inchangé, le seul paramètre qui varie
est la maturité résiduelle qui diminue de 6 mois : les positions
déjà présentes en t = 0 consommeront moins qu'auparavant. Le
graphique suivant résume ces évolutions :
57
Explication de la variation de K_BII
27
+ 0.9
26
25.1
25
24.2
24
- 1.8
23
22
K_BII en t = 0
Augmentation K_BII
(nouvelles positions)
Diminution K_BII
(maturité)
K_BII en t = 6m

K_Eco
La consommation en fonds propres économiques augmente sensiblement
o Ceci s'explique par la présence de positions concentrées (Irlande,
Morgan Stanley, UBS) dans le portefeuille.

Activité B
Si le portefeuille de cette activité reste inchangé entre t = 0 et t = 6m, les
consommations en fonds propres évoluent.
La consommation en fonds propres réglementaires diminue
o S'explique par la diminution de 6 mois de la maturité moyenne du
portefeuille.
La consommation en fonds propres économiques augmente
o S'explique par la création de concentrations par les activités A et C
sur des émetteurs présents dans le portefeuille de l'activité B.

Situation financière
Entre t = 0 et t = 6m le niveau de fonds propres disponibles de Lux Bank a
augmenté de 2.5 MEUR correspondant au résultat net d'intérêt sur 6 mois,
portant le niveau total de fonds propres éligibles à 52.5 MEUR.
Dans le même temps les exigences en fonds propres réglementaires sont
passées à 24.2 MEUR et celles en fonds propres économiques à 39.9 MEUR.
o Lux Bank dispose toujours d'un niveau de fonds propres éligibles
suffisant, tant du point de vue réglementaire que du point de vue de
sa mesure interne
o Le niveau de fonds propres disponibles a sensiblement diminué, ceci
du fait d'une consommation en fonds propres économiques plus élevée
due à la création de concentrations dans le portefeuille
La situation financière de Lux Bank est plus délicate en t=6m qu'en t=0 du
point de vue de sa mesure interne. De plus, d'un point de vue réglementaire,
le régulateur pourrait imposer à Lux Bank au titre du Pilier 2 de Bâle II, et si
la situation perdurait, d'immobiliser plus de fonds propres que ceux
normalement exigés par le Pilier 1.
58
2.1.4. Analyse détaillée des évolutions
Il est intéressant de comparer l'évolution des ratios K_Eco Rates et K_BII Rates
entre deux périodes et ceux pour chacune des positions à l'actif. Commençons par
présenter l'évolution des K_BII Rates :
Comparaison des K_BII Rates sur deux périodes
20%
2.0
15%
1.5
K_BII Rate t = 0
10%
1.0
K_BII Rate t = 6m
Ratio
Ratio = 1
5%
0.5
0%
0.0
On constate sur ce graphique que la ligne jaune est inférieure en tout point à la
ligne rouge en pointillés : tous les K_BII Rates diminuent entre les dates t = 0 et t =
6m. Ceci correspond bien à la diminution du K_BII Rate constaté globalement sur
Lux Bank.
Remarquons également qu'aucun point ne se distingue particulièrement des
autres, les K_BII Rates des trois émetteurs (Morgan Stanley, UBS et l'Irlande) se
fondant dans la masse.
Voyons maintenant l'évolution des K_Eco Rates :
59
Comparaison des K_Eco Rates sur deux périodes
20%
5.0
UBS
4.0
15%
Morgan Stanley
3.0
10%
K_Eco Rate t = 0
K_Eco Rate t = 6m
Ireland
Ratio
2.0
Ratio = 1
5%
1.0
0%
0.0
Les K_Eco Rates sont dans leur grande majorité supérieurs à 1, traduisant
l'augmentation du K_Eco Rate global de Lux Bank entre les deux dates.
D'autre part les trois positions sur lesquelles on a créé des concentrations ont des
K_Eco Rates sensiblement supérieurs à ceux des autres positions.
2.2. Principales problématiques rencontrées
2.2.1. Volatilité des consommations
Qu'elles soient mesurées avec le modèle de Bâle II ou avec le modèle
CreditMetrics les consommations en fonds propres peuvent varier au cours du temps,
ceci pour différentes raisons résumées dans le tableau ci-dessous :
Mesure
CreditMetrics
√
√
√
√
√
Origine de la volatilité
Evolution du volume des activités
Ratings
Evolution du profil
Maturités
de risque
Concentrations
Recalibrage des paramètres du modèle
Evolution du volume des activités
60
Bâle II
√
√
√
√
Cette première raison est évidente et correspond généralement à la croissance
attendue des activités. Les modèles CreditMetrics et Bâle II y sont sensibles.
Evolution du profil de risque
Les downgrades, les investissements dans des actifs de moindre qualité de crédit
ainsi que l'allongement des maturités d'un portefeuille ont tendance, toutes choses
égales par ailleurs, à faire augmenter les niveaux de fonds propres consommés
estimés par les modèles CreditMetrics et Bâle II.
En revanche seul le modèle CreditMetrics, du fait qu'il intègre explicitement des
informations relatives au nom de l'émetteur, à sa zone géographique et à son
industrie, est sensible à l'évolution des concentrations dans un portefeuille.
Cette sensibilité pose un double problème :
-
d'une part elle ne peut être gérée qu'à un niveau global car elle nécessite de
connaître la composition de tous les portefeuilles (ce point sera la cause de la
problématique sur la volatilité des allocations présentée au paragraphe
suivant)
-
d'autre part son impact, notamment sur les fonds propres disponibles, est
délicat à estimer du fait de la structure généralement complexe des
portefeuilles de crédits
A titre d'illustration reprenons les niveaux globaux de consommations en fonds
propres aux dates t=0 et t=6m :
Type de FP consommés
réglementaires
économiques
t=0
25.069 MEUR
26.031 MEUR
t = 6m
24.191 MEUR
39.891 MEUR
En t=0 le niveau de fonds propres disponibles à horizon 6m
FPt dispo
0, 6 m

FPt dispo
0, 6 m était de :

 FPt éligibles
 Max K _ Ecot 0 ; K _ BII t 0  FP0créés
0
;6 m 
 50  Max25.069;26.031  2.5
 26.469 MEUR
En t=6m le niveau de fonds propres disponibles à horizon 6m
FPt dispo
6 m, 6 m


 FPt éligibles
 Max K _ Ecot 6m ; K _ BII t 6m  FP6créés
6 m
m;12m 
 50  Max24.191;39.891  3.5
 13.609 MEUR
61
FPt dispo
6 m , 6 m est de :
L'augmentation des volumes globaux ainsi que l'apparition de positions
concentrées conduisent à une sensible réduction du niveau de fonds propres
disponibles.
Recalibrage des paramètres du modèle
Les paramètres des modèles utilisés doivent être régulièrement testés par le Risk
Management afin de s'assurer qu'ils reflètent correctement le niveau de risque
actuel. Si tel n'est pas le cas ils doivent alors être revus, et leurs nouvelles
estimations introduites dans les modèles CreditMetrics et Bâle II afin de produire des
consommations en fonds propres à jour.
Ce recalibrage peut donner lieu à des variations parfois non négligeables dans les
estimations des consommations en fonds propres, à la hausse comme à la baisse. Le
possible impact adverse de ces variations est fréquemment couvert par la notion de
risque de modèle.
Problématique 1
Difficulté d'estimer le niveau de fonds propres disponibles à horizon t du fait
de la volatilité des estimations de consommations en fonds propres.
2.2.2. Volatilité des allocations
Rappelons que l'allocation de fonds propres telle que nous l'avons vue
précédemment dans le mémoire est la façon de répartir parmi n sous-portefeuilles le
niveau global de consommation en fonds propres estimés pour le portefeuille total.
Dans le cas d'une estimation par le modèle de Bâle II cette allocation correspond
simplement à l'application des formules au niveau de chaque sous-portefeuille.
Dans le cas d'une estimation par le modèle CreditMetrics une clef d'allocation doit
être définie, dans le cas de Lux Bank cette clef est la contribution à l'Expected
Shortfall des différents sous-portefeuilles.
Cette allocation est nécessaire pour deux raisons :
-
elle permet d'avoir une vue sur les consommations en fonds propres de
chaque activité
-
cette vue constitue le point de départ du processus de budgétisation de fonds
propres, i.e. d'octroi de fonds propres à chaque activité pour une certaine
période
Comme nous l'avons dit ce second point n'est efficace que si un suivi a posteriori
de la différence entre consommation effective et niveau de fonds propres octroyés
est effectué. Un tel suivi doit permettre à la banque :
62
-
de s'assurer que ses objectifs globaux déclinés en objectifs locaux ont bien
été respectés, ou à défaut d'en déterminer les raisons
-
de prendre d'éventuelles mesures correctrices
Le premier des deux points ci-dessus peut se matérialiser sous la forme d'un
reporting déterminant et expliquant les écarts entre fonds propres octroyés et fonds
propres consommés pour chacune des activités :
Ecart constaté
FP consommés
<
FP octroyés
FP consommés
>
FP octroyés
Raison(s) possible(s)
Volume des activités insuffisant
Entrée plus difficile qu'anticipée sur un marché.
Profil de risque trop faible
Portefeuille investi dans des actifs très peu risqués, ou avec des
maturités courtes, et générant donc un revenu plus faible
qu'attendu.
Paramètres du modèle
Utilisation de paramètre menant à des estimations de FP plus
faibles qu'auparavant.
Volume excessif des activités
Tentation pour certaines activités voyant leurs marges diminuer
de jouer sur les volumes pour maintenir des revenus stables.
Profil de risque trop élevé
Portefeuille investi dans des actifs très risqués, ou avec des
maturités longues, afin de générer des revenus supplémentaires.
Portefeuille présentant des concentrations, ou impacté par les
concentrations du portefeuille d'autres activités.
Paramètres du modèle
Utilisation de paramètre menant à des estimations de FP plus
élevées qu'auparavant.
Une fois ce type de reporting produit il faut le soumettre à chaque activité pour
validation / discussion. La problématique suivante peut alors se poser : si une
activité peut expliquer un dépassement de ses fonds propres octroyés par des
investissements risqués en termes de ratings ou maturités, ou par un volume élevé
des positions contractées il lui est en revanche impossible de se justifier si le
dépassement est dû :
-
à un recalibrage des paramètres des modèles utilisés (valable pour les
modèles Bâle II et CreditMetrics)
-
à la présence de concentrations dans les portefeuilles des autres activités
(valable pour le modèle CreditMetrics)
C'est précisément ce point qui a été illustré dans le paragraphe 2.1. Exemple
d'évolution des consommations entre deux dates en maintenant le portefeuille de
l'activité B inchangé entre les deux dates et en créant des concentrations dans les
portefeuilles des activités A et C.
63
Problématique 2
Possible(s) difficulté(s) d'explication des écarts entre fonds propres
octroyés et fonds propres consommés aux différentes activités.
2.3. Affinement du processus de budgétisation
Au regard des deux problématiques soulevées dans le précédent paragraphe
nous allons proposer une version affinée du processus de budgétisation présenté
dans le paragraphe 1.3. Une première formalisation du processus de budgétisation.
Nous allons procéder selon deux axes : l'octroi des fonds propres disponibles et le
suivi des consommations.
2.3.1. Octroi des fonds propres disponibles
Nous avons défini le niveau de fonds propres disponibles en t à horizon H comme
:


FPt ,dispo
 FPt éligibles  Max K _ Ecot ; K _ BII t  FPtcréés
H
;t  H 
Ce niveau de fonds propres disponibles doit permettre à la banque de couvrir :
-
les effets de la volatilité des consommations en fonds propres dans le temps,
du fait de la sensibilité aux paramètres de risques (ratings, concentrations,
recalibrage, etc.)
-
les exigences supplémentaires en fonds propres dues à la croissance des
activités
Le tableau ci-dessous synthétise ces objectifs.
64
La partie droite du tableau intitulée "Suivi" indique, pour chaque motif d'évolution
du niveau de fonds propres disponibles lequel des types de suivis doit être impacté.
Il peut s'agir du suivi global, c'est-à-dire du suivi au niveau consolidé Lux Bank, ou
bien d'un suivi local, c'est-à-dire au niveau de chaque ligne d'activité.
Le suivi global doit être impacté par chacun des motifs d'évolution. Ceci est dû au
fait que ce suivi doit permettre à Lux Bank de s'assurer de l'adéquation entre ses
fonds propres éligibles et ses fonds propres consommés, ceci à tout moment et en
couvrant toutes les raisons possibles d'évolution de ces derniers.
En revanche le suivi individuel n'a pas à être impacté par des effets de
concentration ou de recalibrage des paramètres. En effet comme nous l'avons vu
dans le paragraphe 2.2.2. Volatilité des consommations il peut être difficile voire
impossible d'expliquer localement des évolutions de consommations en fonds propres
dues à des effets de concentration ou au recalibrage des paramètres des modèles
utilisés.
Le fait que le modèle CreditMetrics soit sensible aux effets de concentration le
rend selon nous inadapté à un processus d'octroi de fonds propres et suivi de la
consommation. En revanche le modèle Bâle II convient parfaitement, modulo la
sensibilité au recalibrage des paramètres. Le schéma ci-dessous synthétise un
processus d'octroi de fonds propres tenant compte de ces observations :
65
Notons que les deux types de mesures sont nécessaires : la mesure Bâle II est
imposée par le régulateur pour le Pilier 1 de Bâle II, et du fait qu'elle est insensible
aux effets de concentrations se prête bien à un processus d'octroi de fonds propres
et de suivi de la consommation. La mesure CreditMetrics quant à elle permet à Lux
Bank d'avoir une vision plus économique sur les risques auxquels elle est
globalement exposée, et par là satisfait également aux attentes du régulateur
concernant le Pilier 2 de Bâle II.
2.3.2. Suivi des consommations
Le processus d'octroi décrit précédemment constitue la première étape d'une
démarche de budgétisation des fonds propres, et doit être complété par un suivi des
consommations effectives. Ce suivi a deux objectifs : s'assurer que les
consommations sont globalement en ligne avec les niveaux projetés et, en cas
d'écarts significatifs, en analyser les raisons afin d'entreprendre des actions
correctrices.
Ce suivi doit être réalisé à deux niveaux :
-
au niveau de chaque activité avec comme outil le modèle Bâle II
66
-
au niveau global avec comme outils les modèles Bâle II et CreditMetrics
Dans un cas comme dans l'autre trois situations sont possibles à horizon H :
Le cas 2 correspond au cas où la consommation observée in fine à horizon H est
en ligne avec les projections réalisées en date t.
Les deux autres cas correspondent à des situations dans lesquelles le niveau de
fonds propres effectivement consommés est sensiblement différent de la projection
réalisée en t, ce qui peut conduire à la matérialisation de deux risques :
-
une solvabilité qui ne serait plus assurée au niveau de confiance attendu
-
un niveau de fonds propres éligibles sous-utilisé
Afin de pouvoir mettre en œuvre les mesures correctrices appropriées il est
nécessaire que la banque analyse les raisons de ces écarts. Des exemples ont été
donnés précédemment dans le paragraphe 2.2.2. Volatilité des allocations. Des
exemples de mesures correctrices peuvent être :
La mise en place de limites "stop buy"
Si certaines positions peuvent être considérées comme concentrées à un niveau
global, les vendre n'est pas toujours opportun (conditions de marché défavorables,
etc.).
La banque peut choisir de conserver ces positions, en arrêtant toutefois d'en
acheter de nouvelles. Pour cela il faut qu'elle communique à chacune de ses trois
activités une liste d'émetteurs dans lesquels celles-ci ne doivent plus investir, du
moins temporairement.
67
La modification du profil de risque d'une activité particulière
Entre deux dates données le profil de risque du portefeuille de crédit d'une
activité peut évoluer sensiblement, et ainsi induire des consommations en fonds
propres plus élevées qu'anticipées et ce, même à volume constant.
La banque peut décider de modifier ce profil de risque, en choisissant des
émetteurs mieux notés, ou en réduisant la maturité des créances qu'elle détient.
L'octroi de fonds propres à des activités ayant une croissance plus soutenue
Certaines activités peuvent ne pas consommer la totalité des fonds propres qui
leur avaient été octroyés, ceci par exemple du fait d'une croissance moins
importante qu'anticipé.
La banque peut décider à un niveau global d'octroyer ces montants de fonds
propres non utilisés à d'autres activités qui ont un niveau de croissance plus
soutenu.
Une fois ces analyses menées et actions correctrices engagées, la banque pourra
renouveler son processus d'octroi de fonds propres. L'alternance de ces deux phases
constitue un processus budgétaire itératif dont le but est de fournir un cadre aux
décisions d'utilisation des fonds propres disponibles.
68
V. Conclusion générale
L'attention portée par les banques à la gestion du risque de crédit n'a cessé de
croître ces dernières années. Dans le même temps les outils de mesure de ce risque
se sont complexifiés comme l'illustre le passage des normes Bâle I fondées sur des
pondérations simples par types d'émetteurs aux normes Bâle II autorisant
l'utilisation de modèles de notation interne par les banques.
Les deux premières parties de ce mémoire ont illustré ces points en présentant les
modèles CreditMetrics et Bâle II ainsi que différentes techniques d'allocation de
fonds propres estimés globalement à différents sous-portefeuilles.
Au-delà de la simple mesure du risque de crédit, et plus généralement de
l'ensemble des risques auxquels elles sont exposées, les banques se doivent de
suivre et d'anticiper leurs consommations en fonds propres, ceci afin d'assurer à la
fois leur solvabilité et une utilisation optimale de leurs ressources. Pour être efficace
ce processus doit intégrer l'utilisation de résultats fournis par des modèles parfois
complexes à une démarche pragmatique de suivi des consommations en fonds
propres vis-à-vis des fonds propres éligibles.
La dernière partie de ce mémoire présente ainsi un processus itératif alternant la
mesure, l'octroi et le suivi de consommations en fonds propres, et qui tient compte
des caractéristiques des modèles de crédit lors de la mise en œuvre pratique. Le
processus ainsi décrit apporte des éléments de réponse aux attentes des régulateurs
formulées dans le Pilier 2 de Bâle II : aptitude à faire face à ses consommations
actuelles et futures en fonds propres, prise en compte de risques non couverts par le
Pilier 1 comme le risque de concentration ou le risque de modèle.
Afin d'être pleinement efficace et parce qu'il touche à des notions de risque
comme de revenus ce processus doit être mené conjointement par les départements
Risk Management et Contrôle de Gestion. Si ce mémoire se concentre sur la mesure
de la consommation en fonds propres et les projections, d'autres problématiques
connexes peuvent étudiées, comme la mise en regard de la consommation de fonds
propres et des revenus rapportés, ou bien la mise en place de liens entre des
objectifs macro comme une rentabilité cible des fonds propres et des objectifs micro
comme des niveaux de rentabilité par transaction.
69
Annexes
Annexe 1 : description des portefeuilles en t = 0
70
2 627 000 000
Position
PositionID_A_0001
PositionID_A_0002
PositionID_A_0003
PositionID_A_0004
PositionID_A_0005
PositionID_A_0006
PositionID_A_0007
PositionID_A_0008
PositionID_A_0009
PositionID_A_0010
PositionID_A_0011
PositionID_A_0012
PositionID_A_0013
PositionID_A_0014
PositionID_A_0015
PositionID_A_0016
PositionID_A_0017
PositionID_A_0018
PositionID_A_0019
PositionID_A_0020
PositionID_A_0021
PositionID_A_0022
PositionID_A_0023
PositionID_A_0024
PositionID_A_0025
PositionID_A_0026
PositionID_A_0027
PositionID_A_0028
PositionID_A_0029
PositionID_A_0030
PositionID_A_0031
PositionID_A_0032
PositionID_A_0033
PositionID_A_0034
PositionID_A_0035
PositionID_A_0036
PositionID_A_0037
PositionID_A_0038
PositionID_A_0039
PositionID_A_0040
PositionID_A_0041
PositionID_A_0042
PositionID_A_0043
PositionID_A_0044
PositionID_A_0045
PositionID_A_0046
PositionID_A_0047
PositionID_A_0048
PositionID_A_0049
PositionID_A_0050
PositionID_A_0051
PositionID_A_0052
PositionID_A_0053
PositionID_A_0054
PositionID_A_0055
Activity
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Amount
5 000 000
5 000 000
5 000 000
50 000 000
5 000 000
5 000 000
10 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
15 000 000
5 000 000
10 000 000
5 000 000
10 000 000
20 000 000
15 000 000
10 000 000
5 000 000
5 000 000
15 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
10 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
10 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
20 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
10 000 000
20 000 000
2 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
15 000 000
0.67%
Amount
Type of
Maturity
Issuer
Rating
Country
Contribution
counterparty
0.19%
4.5 FRANCE TELECOM
ACORPORATEFRANCE
0.19%
2 CAJA MADRID
AABANK
SPAIN
0.19%
1.5 BANCO DE SABADELL
A+
BANK
SPAIN
1.90%
3.5 VENETO BANCA SCARL
BBB+ BANK
ITALY
0.19%
3.5 BANCA SELLA
ABANK
ITALY
0.19%
2 PNC BANK CORPORATION
A
BANK
UNITED STATES
0.38%
3.5 NESTLE SA
AAA
CORPORATESWITZERLAND
0.19%
3.5 PORTUGAL TELECOM
BBB
CORPORATEPORTUGAL
0.19%
2.5 SWEDBANK
A+
BANK
SWEDEN
0.19%
2.5 BASF N V
AACORPORATEGERMANY
0.57%
4 DENMARK
AAA
SOVEREIGN DENMARK
0.19%
4.5 EVLI BANK
BBB
BANK
FINLAND
0.38%
3.5 COMMONWEALTH BANKOF AUSTRALIA
AABANK
AUSTRALIA
0.19%
1.5 DENIZBANK
BBBANK
TURKEY
0.38%
3.5 CAISSE DES DEPOTS ET CONSIGNATIONS AAA
BANK
FRANCE
0.76%
7.5 SLOVENIA
AA
SOVEREIGN SLOVENIA
0.57%
3 BNP PARIBAS
AA
BANK
FRANCE
0.38%
5 BANQUE CANTONALE DE GENEVE
BBB+ BANK
SWITZERLAND
0.19%
3.5 DAIMLERCHRYSLER AG
BBB
CORPORATEGERMANY
0.19%
3.5 ALPHA BANK
ABANK
GREECE
0.57%
2.5 DEXIA
AA
BANK
BELGIUM
0.19%
1.5 ENTREPRISE DES POSTES ET TELECOMMUNICATIONS
AACORPORATELUXEMBOURG
( EPT )
0.19%
4.5 INDONESIA
B+
SOVEREIGN INDONESIA
0.19%
7.5 MEXICO
BBB
SOVEREIGN MEXICO
0.38%
3 UNICREDITO ITALIANO
A+
BANK
ITALY
0.19%
6.5 BULGARIA
BBB
SOVEREIGN BULGARIA
0.19%
3.5 HUNGARIAN DEVELOPMENT BANK
ABANK
HUNGARY
0.19%
3.5 CANADIAN IMPERIAL BANK OF COMMERCE A+
BANK
CANADA
0.38%
2.5 UNITED OVERSEAS BANK
A+
BANK
SINGAPORE
0.19%
2.5 PFIZER
AAA
CORPORATEUNITED STATES
0.19%
3.5 ISRAEL
A
SOVEREIGN ISRAEL
0.19%
2.5 BANCA INTESA
AABANK
ITALY
0.19%
3.5 WELLS FARGO
AABANK
UNITED STATES
0.76%
6.5 PORTUGAL
AASOVEREIGN PORTUGAL
0.19%
2.5 DEUTSCHE POST AG
ACORPORATEGERMANY
0.19%
2 BOUYGUES TELECOM
ACORPORATEFRANCE
0.19%
3 CLOSE BROTHERS LIMITED
A
BANK
UNITED KINGDOM
0.19%
3.5 UNION BANCAIRE PRIVEE
A+
BANK
SWITZERLAND
0.19%
1.5 ERIDANIA BEGHIN SAY
ACORPORATEFRANCE
0.38%
4 TELEFONOS DE MEXICO
BBB- CORPORATEMEXICO
0.76%
3.5 CANADA
AAA
SOVEREIGN CANADA
0.08%
2.5 SOUTH AFRICA
BBB
SOVEREIGN SOUTH AFRICA
0.19%
1.5 BANCA BRADESCO S.A.
BBBANK
BRAZIL
0.19%
7.5 HONDA MOTOR COMPANY
BBB+ CORPORATEJAPAN
0.19%
2.5 KEYCORP
A
BANK
UNITED STATES
0.19%
6.5 INDUSTRIAL AND COMMERCIAL BANK OF CHINA
BBB+ BANK
CHINA
0.19%
2.5 LEHMAN BROTHERS
A+
BANK
UNITED STATES
0.19%
2.5 SUMITOMO TRUST AND BANKING
A
BANK
JAPAN
0.19%
3.5 VIVENDI UNIVERSAL
BBB+ CORPORATEFRANCE
0.19%
2.5 TELENET HOLDING NV
BBCORPORATEBELGIUM
0.19%
2.5 COMPASS
BBB+ CORPORATEUNITED KINGDOM
0.19%
3 COCA COLA
ACORPORATEUNITED STATES
0.19%
3 H J HEINZ
A
CORPORATEUNITED STATES
0.19%
1.5 LLOYDS TSB
AA
BANK
UNITED KINGDOM
0.57%
4.5 HUNGARY
ASOVEREIGN HUNGARY
71
3 176 620
EL
1 523
560
700
31 275
1 153
794
364
8 177
642
729
75
6 545
1 027
80 177
273
300
1 231
5 955
7 752
1 235
1 231
779
118 500
5 950
1 367
7 650
1 305
600
1 284
170
450
547
480
800
1 436
1 523
844
642
1 523
43 968
200
2 380
78 390
4 104
794
3 517
600
884
4 329
94 812
4 104
1 348
1 018
385
1 050
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0.38%
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3.5
4.5
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1
1.5
1.5
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1.5
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4.5
2
6
SFR CEGETEL
UNILEVER
SWEDEN
ROMANIA
YVES ROCHER SA
SOCIETE GENERALE
CNCEP
HONG KONG
FORD
BANQUE DEGROOF
TOYOTA MOTOR CORP.
BANCO BILBAO VIZCAYA ARGENTARIA
MORGAN STANLEY
RENAULT
ACCOR
DAIMLERCHRYSLER AG
THOMAS COOKE
BULGARIA
POLAND
KBC
ALLIED IRISH BANKS
BELGIUM
SANOFI SYNTHELABO S.A. GROUP
BARCLAYS
BEAR STEARNS
STATE STREET BANK
FLEXSYS GROUP
DEPFA BANK
FINASUCRE GROUPE
AB VOLVO
MEDIOBANCA
BANK OF CHINA
SOUTH AFRICA
VOLKSWAGEN A.G. CORP
BANK SARASIN
FRANCE
ESPIRITO SANTO
MERRILL LYNCH
LVMH
ABBEY NATIONAL
KREDIETBANK LUXEMBOURG
BAWAG P.S.K.
BANCO SANTANDER CENTRAL HISPANO
DANSKE BANK
HSBC
JP MORGAN CHASE
CITIGROUP
BANQUE NATIONALE DU CANADA
SOUTH KOREA
WACHOVIA
BANCA BRADESCO S.A.
BAYER AG
TELECOM ITALIA SPA
GOLDMAN SACHS
FORTIS
BULGARIA
EFG BANK
AUSTRALIA
BBB+
BBB
AAA
BBBBBB+
AA
AA
AA
BB+
BBB+
AA+
AAAABBB+
BBB
BBB
AA
BBB
BBB+
A+
AAAA+
A+
AA
A+
AA
BBBAABBBAA+
ABBB
AAAAA
A+
AAAAAA+
BBB+
AAAAAA
AAAA
A+
A
AABBBBB+
BBB+
AAAA
BBB
A
AAA
CORPORATEFRANCE
CORPORATENETHERLANDS
SOVEREIGN SWEDEN
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CORPORATEFRANCE
BANK
FRANCE
BANK
FRANCE
SOVEREIGN HONG-KONG
CORPORATEUNITED STATES
BANK
BELGIUM
CORPORATEJAPAN
BANK
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BANK
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CORPORATEFRANCE
CORPORATEFRANCE
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BELGIUM
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IRELAND
SOVEREIGN BELGIUM
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UNITED KINGDOM
BANK
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BANK
UNITED STATES
CORPORATENETHERLANDS
BANK
IRELAND
CORPORATEBELGIUM
CORPORATESWEDEN
BANK
ITALY
BANK
CHINA
SOVEREIGN SOUTH AFRICA
CORPORATEGERMANY
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SWITZERLAND
SOVEREIGN FRANCE
BANK
PORTUGAL
BANK
UNITED STATES
CORPORATEFRANCE
BANK
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BANK
LUXEMBOURG
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AUSTRIA
BANK
SPAIN
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BANK
UNITED KINGDOM
BANK
UNITED STATES
BANK
UNITED STATES
BANK
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SOVEREIGN SOUTH KOREA
BANK
UNITED STATES
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BRAZIL
CORPORATEGERMANY
CORPORATEITALY
BANK
UNITED STATES
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BANK
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SPAIN
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UNITED STATES
ITALY
JAPAN
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ESTONIA
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AUSTRIA
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RABOBANK NEDERLAND
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CAPITALIA
BANK OF TAIWAN
SODEXHO ALLIANCE
CARLSBERG A/S
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A
AABBBBBBBBBB
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BBA
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BBB+
AAAAAA
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AA
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UNITED STATES
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3.5
2.5
2.5
STATE STREET BANK
AA
HBOS
AACITIGROUP
AA
ROCHE GROUPE
AA
ELIOR
BBB
RENAULT
BBB+
INDUSTRIAL AND COMMERCIAL BANK OF CHINA
BBB+
EKSPORTFINANS
AA+
CORPORATIVO ONO
BBCOMMERZBANK AG
A
BOLIVIA
BINDONESIA
B+
NORTHERN TRUST CORP
A+
PSA PEUGEOT CITROEN
BBB+
BASF N V
AANATIONAL BANK OF GREECE
A
CITIGROUP
AA
MEXICO
BBB
PNC BANK CORPORATION
A
VOLKSWAGEN A.G. CORP
AGREECE
A
BANQUE CANTONALE DE GENEVE
BBB+
SFR CEGETEL
BBB+
BANQUES POPULAIRES
AAKREDIETBANK LUXEMBOURG
A+
DEXIA
AA
BANCO BPI
A
KBC
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BRITISH TELECOMMUNICATION PLC
ADEVELOPMENT BANK OF JAPAN
A
PORTUGAL
AABANK OF CHINA
AHSBC
AA
BULGARIA
BBB
FORTIS
AA
BANQUE DEGROOF
BBB+
BANCO DE SABADELL
A+
GENERAL MOTORS CORP.
BBMOBISTAR
BBB+
ALCATEL
BB+
BELGIUM
AA+
DEPFA BANK
AAWACHOVIA
AAROCHE GROUPE
AA
HONDA MOTOR COMPANY
BBB+
BEAR STEARNS
A+
LANDESBANK NRW
AAUNION BANCAIRE PRIVEE
A+
AMERICAN EXPRESS
A+
SWIFT
BBB+
CNCEP
AA
AKBANK T.A.S.
BBCYPRUS
A+
SOUTH KOREA
A
ESPIRITO SANTO
A+
FIAT
BB+
MILLENNIUM BCP
A+
TELENET HOLDING NV
BB-
BANK
UNITED STATES
BANK
UNITED KINGDOM
BANK
UNITED STATES
CORPORATESWITZERLAND
CORPORATEFRANCE
CORPORATEFRANCE
BANK
CHINA
BANK
NORWAY
CORPORATESPAIN
BANK
GERMANY
SOVEREIGN BOLIVIA
SOVEREIGN INDONESIA
BANK
UNITED STATES
CORPORATEFRANCE
CORPORATEGERMANY
BANK
GREECE
BANK
UNITED STATES
SOVEREIGN MEXICO
BANK
UNITED STATES
CORPORATEGERMANY
SOVEREIGN GREECE
BANK
SWITZERLAND
CORPORATEFRANCE
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FRANCE
BANK
LUXEMBOURG
BANK
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BANK
PORTUGAL
BANK
BELGIUM
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BANK
JAPAN
SOVEREIGN PORTUGAL
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CHINA
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UNITED KINGDOM
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BANK
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BANK
BELGIUM
BANK
SPAIN
CORPORATEUNITED STATES
CORPORATEBELGIUM
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BANK
IRELAND
BANK
UNITED STATES
CORPORATESWITZERLAND
CORPORATEJAPAN
BANK
UNITED STATES
BANK
GERMANY
BANK
SWITZERLAND
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UNITED STATES
CORPORATEBELGIUM
BANK
FRANCE
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TURKEY
SOVEREIGN CYPRUS
SOVEREIGN SOUTH KOREA
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PORTUGAL
CORPORATEITALY
BANK
PORTUGAL
CORPORATEBELGIUM
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A
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AAA
A
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AA
AAAAAAAAABBB+
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BBB+
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BBB
BB
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CORPORATEFRANCE
CORPORATEFRANCE
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ITALY
BANK
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CORPORATEFRANCE
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CORPORATEFRANCE
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0.304%
0.015%
0.011%
0.658%
0.210%
0.796%
0.133%
0.030%
3.750%
1.319%
0.039%
0.182%
0.043%
0.041%
0.034%
0.042%
0.028%
0.025%
0.254%
0.199%
0.180%
0.220%
0.528%
0.388%
0.196%
0.075%
0.074%
0.912%
0.450%
0.243%
0.351%
0.577%
0.258%
1.043%
1.239%
0.500%
4.315%
47 991
231 339
8 561
15 826
21 325
16 238
79 065
4 001
2 758
171 173
54 670
207 296
34 716
7 934
976 288
343 451
10 157
47 261
11 317
10 756
8 734
10 803
7 327
6 415
66 108
51 754
46 950
57 254
137 384
101 089
51 101
19 477
19 182
237 471
117 010
63 352
91 348
150 298
67 259
271 618
322 418
130 156
1 123 370
0.48%
1.16%
0.17%
0.32%
0.43%
0.16%
1.58%
0.04%
0.03%
1.71%
0.55%
1.38%
0.23%
0.16%
9.76%
6.87%
0.20%
0.32%
0.23%
0.22%
0.17%
0.11%
0.07%
0.04%
0.66%
0.52%
0.47%
0.57%
0.92%
1.01%
0.34%
0.39%
0.38%
1.58%
2.34%
1.27%
1.83%
1.50%
1.35%
2.72%
2.15%
2.60%
7.49%
Annexe 2 : description des portefeuilles en t = 6m
76
3 427 000 000
Position
PositionID_A_0001
PositionID_A_0002
PositionID_A_0003
PositionID_A_0004
PositionID_A_0005
PositionID_A_0006
PositionID_A_0007
PositionID_A_0008
PositionID_A_0009
PositionID_A_0010
PositionID_A_0011
PositionID_A_0012
PositionID_A_0013
PositionID_A_0014
PositionID_A_0015
PositionID_A_0016
PositionID_A_0017
PositionID_A_0018
PositionID_A_0019
PositionID_A_0020
PositionID_A_0021
PositionID_A_0022
PositionID_A_0023
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PositionID_A_0055
Activity
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
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Activity A
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Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Amount
5 000 000
5 000 000
5 000 000
50 000 000
5 000 000
5 000 000
10 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
15 000 000
5 000 000
10 000 000
5 000 000
10 000 000
20 000 000
15 000 000
10 000 000
5 000 000
5 000 000
15 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
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5 000 000
5 000 000
5 000 000
10 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
20 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
10 000 000
20 000 000
2 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
5 000 000
15 000 000
1.37%
Amount
Type of
Maturity
Issuer
Rating
Country
Contribution
counterparty
0.15%
4 FRANCE TELECOM
ACORPORATEFRANCE
0.15%
1.5 CAJA MADRID
AABANK
SPAIN
0.15%
1 BANCO DE SABADELL
A+
BANK
SPAIN
1.46%
3 VENETO BANCA SCARL
BBB+ BANK
ITALY
0.15%
3 BANCA SELLA
ABANK
ITALY
0.15%
1.5 PNC BANK CORPORATION
A
BANK
UNITED STATES
0.29%
3 NESTLE SA
AAA
CORPORATESWITZERLAND
0.15%
3 PORTUGAL TELECOM
BBB
CORPORATEPORTUGAL
0.15%
2 SWEDBANK
A+
BANK
SWEDEN
0.15%
2 BASF N V
AACORPORATEGERMANY
0.44%
3.5 DENMARK
AAA
SOVEREIGN DENMARK
0.15%
4 EVLI BANK
BBB
BANK
FINLAND
0.29%
3 COMMONWEALTH BANKOF AUSTRALIA
AABANK
AUSTRALIA
0.15%
1 DENIZBANK
BBBANK
TURKEY
0.29%
3 CAISSE DES DEPOTS ET CONSIGNATIONS AAA
BANK
FRANCE
0.58%
7 SLOVENIA
AA
SOVEREIGN SLOVENIA
0.44%
2.5 BNP PARIBAS
AA
BANK
FRANCE
0.29%
4.5 BANQUE CANTONALE DE GENEVE
BBB+ BANK
SWITZERLAND
0.15%
3 DAIMLERCHRYSLER AG
BBB
CORPORATEGERMANY
0.15%
3 ALPHA BANK
ABANK
GREECE
0.44%
2 DEXIA
AA
BANK
BELGIUM
0.15%
1 ENTREPRISE DES POSTES ET TELECOMMUNICATIONS
AACORPORATELUXEMBOURG
( EPT )
0.15%
4 INDONESIA
B+
SOVEREIGN INDONESIA
0.15%
7 MEXICO
BBB
SOVEREIGN MEXICO
0.29%
2.5 UNICREDITO ITALIANO
A+
BANK
ITALY
0.15%
6 BULGARIA
BBB
SOVEREIGN BULGARIA
0.15%
3 HUNGARIAN DEVELOPMENT BANK
ABANK
HUNGARY
0.15%
3 CANADIAN IMPERIAL BANK OF COMMERCE A+
BANK
CANADA
0.29%
2 UNITED OVERSEAS BANK
A+
BANK
SINGAPORE
0.15%
2 PFIZER
AAA
CORPORATEUNITED STATES
0.15%
3 ISRAEL
A
SOVEREIGN ISRAEL
0.15%
2 BANCA INTESA
AABANK
ITALY
0.15%
3 WELLS FARGO
AABANK
UNITED STATES
0.58%
6 PORTUGAL
AASOVEREIGN PORTUGAL
0.15%
2 DEUTSCHE POST AG
ACORPORATEGERMANY
0.15%
1.5 BOUYGUES TELECOM
ACORPORATEFRANCE
0.15%
2.5 CLOSE BROTHERS LIMITED
A
BANK
UNITED KINGDOM
0.15%
3 UNION BANCAIRE PRIVEE
A+
BANK
SWITZERLAND
0.15%
1 ERIDANIA BEGHIN SAY
ACORPORATEFRANCE
0.29%
3.5 TELEFONOS DE MEXICO
BBB- CORPORATEMEXICO
0.58%
3 CANADA
AAA
SOVEREIGN CANADA
0.06%
2 SOUTH AFRICA
BBB
SOVEREIGN SOUTH AFRICA
0.15%
1 BANCA BRADESCO S.A.
BBBANK
BRAZIL
0.15%
7 HONDA MOTOR COMPANY
BBB+ CORPORATEJAPAN
0.15%
2 KEYCORP
A
BANK
UNITED STATES
0.15%
6 INDUSTRIAL AND COMMERCIAL BANK OF CHINA
BBB+ BANK
CHINA
0.15%
2 LEHMAN BROTHERS
A+
BANK
UNITED STATES
0.15%
2 SUMITOMO TRUST AND BANKING
A
BANK
JAPAN
0.15%
3 VIVENDI UNIVERSAL
BBB+ CORPORATEFRANCE
0.15%
2 TELENET HOLDING NV
BBCORPORATEBELGIUM
0.15%
2 COMPASS
BBB+ CORPORATEUNITED KINGDOM
0.15%
2.5 COCA COLA
ACORPORATEUNITED STATES
0.15%
2.5 H J HEINZ
A
CORPORATEUNITED STATES
0.15%
1 LLOYDS TSB
AA
BANK
UNITED KINGDOM
0.44%
4 HUNGARY
ASOVEREIGN HUNGARY
77
3 212 743
EL
1 523
560
700
31 275
1 153
794
364
8 177
642
729
75
6 545
1 027
80 177
273
300
1 231
5 955
7 752
1 235
1 231
779
118 500
5 950
1 367
7 650
1 305
600
1 284
170
450
547
480
800
1 436
1 523
844
642
1 523
43 968
200
2 380
78 390
4 104
794
3 517
600
884
4 329
94 812
4 104
1 348
1 018
385
1 050
24 190 787
0.71%
100.000% 39 890 542
K_BII
K_Eco
Amount
Rate
ES contribution Amount
42 591
0.85%
0.169%
67 558
9 129
0.18%
0.029%
11 659
8 750
0.18%
0.027%
10 863
528 057
1.06%
3.812%
1 520 740
26 101
0.52%
0.138%
54 855
11 981
0.24%
0.045%
17 920
31 856
0.32%
0.018%
7 316
110 681
2.21%
0.296%
117 921
12 042
0.24%
0.059%
23 383
14 413
0.29%
0.058%
23 136
7 451
0.05%
0.036%
14 250
103 583
2.07%
0.353%
140 620
27 462
0.27%
0.108%
43 064
317 608
6.35%
1.693%
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23 903
0.24%
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15 008
13 520
0.07%
0.035%
13 890
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0.21%
0.124%
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129 944
1.30%
0.519%
207 218
104 928
2.10%
0.462%
184 201
27 950
0.56%
0.087%
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26 048
0.17%
0.055%
22 074
9 980
0.20%
0.026%
10 333
498 999
9.98%
1.276%
508 820
107 792
2.16%
0.416%
165 935
29 929
0.30%
0.139%
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138 589
2.77%
0.592%
236 023
29 534
0.59%
0.144%
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15 021
0.30%
0.075%
29 792
24 085
0.24%
0.087%
34 572
10 778
0.22%
0.015%
6 088
10 664
0.21%
0.048%
19 038
10 815
0.22%
0.042%
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12 840
0.26%
0.057%
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0.16%
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0.50%
0.097%
38 518
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0.45%
0.072%
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17 579
0.35%
0.078%
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16 063
0.32%
0.069%
27 522
18 249
0.36%
0.054%
21 719
471 389
4.71%
1.504%
599 916
17 479
0.09%
0.038%
15 290
26 766
1.34%
0.082%
32 520
310 530
6.21%
1.886%
752 285
96 302
1.93%
0.347%
138 382
14 259
0.29%
0.058%
23 009
82 544
1.65%
0.254%
101 431
11 261
0.23%
0.048%
19 028
15 876
0.32%
0.051%
20 387
73 089
1.46%
0.413%
164 836
419 954
8.40%
1.725%
688 017
55 783
1.12%
0.174%
69 438
26 925
0.54%
0.081%
32 438
21 213
0.42%
0.054%
21 403
5 084
0.10%
0.015%
6 150
29 357
0.20%
0.324%
129 426
1.16%
Rate
1.35%
0.23%
0.22%
3.04%
1.10%
0.36%
0.07%
2.36%
0.47%
0.46%
0.10%
2.81%
0.43%
13.50%
0.15%
0.07%
0.33%
2.07%
3.68%
0.69%
0.15%
0.21%
10.18%
3.32%
0.56%
4.72%
1.15%
0.60%
0.35%
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0.38%
0.33%
0.46%
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0.77%
0.58%
0.62%
0.55%
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6.00%
0.08%
1.63%
15.05%
2.77%
0.46%
2.03%
0.38%
0.41%
3.30%
13.76%
1.39%
0.65%
0.43%
0.12%
0.86%
PositionID_A_0056
PositionID_A_0057
PositionID_A_0058
PositionID_A_0059
PositionID_A_0060
PositionID_A_0061
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PositionID_A_0112
PositionID_A_0113
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
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Activity A
Activity A
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Activity A
Activity A
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Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
Activity A
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5 000 000
20 000 000
20 000 000
5 000 000
10 000 000
5 000 000
20 000 000
5 000 000
10 000 000
10 000 000
5 000 000
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5 000 000
5 000 000
5 000 000
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5 000 000
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FIAT
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CREDIT MUTUEL - CIC
CLOSE BROTHERS LIMITED
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BOREALIS A/S
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DRESDNER BANK
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MITSUBISHI UFJ FINANCIAL
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EDMOND DE ROTHSCHILD
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RAIFFEISEN ZENTRALBANK OESTERREICH
GERMANY
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LITHUANIA
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POLAND
RENAULT
NISSAN MOTORS
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TELECOM ITALIA SPA
TELEFONICA SA
VIVENDI UNIVERSAL
SWISS LIFE
DAIMLERCHRYSLER AG
BRAZIL
IRELAND
MORGAN STANLEY
UBS
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BBA
BBBAAAAA
A
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AAA
A
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AABBB+
AAA
AAA
A
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AAAAAAAAABBB+
BBB+
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BBB+
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BB
AAA
AAAA+
CORPORATEITALY
BANK
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SOVEREIGN ISRAEL
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GERMANY
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BANK
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GERMANY
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CORPORATEFRANCE
CORPORATEFRANCE
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ITALY
BANK
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CORPORATEFRANCE
CORPORATEITALY
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CORPORATEFRANCE
INSTITUTIONAL
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CORPORATEGERMANY
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0.11%
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