Densité des temps d`atteinte pour des processus de Lévy stables

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Quelques définitions
Problème du temps d’atteinte
Unimodalité
Densité des temps d’atteinte pour des
processus de Lévy stables
Julien Letemplier
En collaboration avec T. Simon
Université Lille 1
Colloque jeunes probabilistes et statisticiens
8 avril 2014
Julien LetemplierEn collaboration avec T. Simon Université Lille 1 Densité
Colloquedes
jeunes
temps
probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
des processus de Lévy stables
Unimodalité
Lois stables
Processus de Lévy
Plan
1
Lois stables
Processus de Lévy
2
3
Unimodalité
Définition, exemples
Application au temps d’atteinte
Multiplicative forte unimodalité
Retour au temps d’atteinte
Colloquedes
jeunes
temps
probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Lois stables
Processus de Lévy
Définition
La loi d’une variable aléatoire X est dite stable si ∀n ≥ 1 il
existe an > 0 et bn réels, X1 , ..., Xn copies i.i.d de X telles que :
d
Sn = an X + bn
avec Sn = ni=1 Xi .
Si bn = 0 ∀n, la loi est dite strictement stable.
P
Théorème
1
Seule la constante an = n α est possible, 0 < α ≤ 2. α est
appelé l’exposant caractéristique de la loi.
Colloquedes
jeunes
temps
probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Lois stables
Processus de Lévy
Définition
La loi d’une variable aléatoire X est dite stable si ∀n ≥ 1 il
existe an > 0 et bn réels, X1 , ..., Xn copies i.i.d de X telles que :
d
Sn = an X + bn
avec Sn = ni=1 Xi .
Si bn = 0 ∀n, la loi est dite strictement stable.
P
Théorème
1
Seule la constante an = n α est possible, 0 < α ≤ 2. α est
appelé l’exposant caractéristique de la loi.
Les lois stables sont infiniment divisibles.
Colloquedes
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probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Lois stables
Processus de Lévy
Rappel :
D’après le théorème de Lévy-Khintchine, si X v.a infiniment
divisible il existe une mesure Λ sur R\{0} telle que :
Z +∞
(1 ∧ |x |2 )dΛ(x ) < ∞,
−∞
et des constantes réelles a ≥ 0 et b telles que :
E e
iλX
1 2 Z
= exp(ibλ− aλ +
(e iλx − 1 − iλx 1[0,1] (x ))dΛ(x )).
2
R\{0}
Une telle mesure est appelée mesure de Lévy.
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probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Lois stables
Processus de Lévy
Théorème
-Une loi est 2-stable ssi c’est une loi normale N(µ, σ 2 ).
-Soit 0 < α ≤ 2. Une loi est α-stable ssi elle a pour mesure de
Lévy :
(
)
dΛ(x )
c+ x −1−α , x > 0,
=
.
c− |x |−1−α , x < 0
dx
et a=0.
-Soit 0 < α ≤ 2.
Une loi est α-stable ssi sa fonction caractéristique est de la
forme
(
φ(t) =
)sgn(t))), α 6= 1
exp(iµt − γ α |t|α (1 − iβ tan( πα
2
2
exp(iµt − γ |t| (1 + iβ π )sgn(t)log(|t|)), α = 1
)
.
avec −1 ≤ β ≤ 1 et −∞ < µ < +∞.
Colloquedes
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temps
probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Lois stables
Processus de Lévy
Cas particuliers :
1)-Cas spectralement positif : Sa mesure de Lévy est
concentrée sur (0, ∞) :
dΛ(x ) = cx −α−1 dx x > 0,
avec c > 0 et α ∈ (1, 2).
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probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Lois stables
Processus de Lévy
Cas particuliers :
1)-Cas spectralement positif : Sa mesure de Lévy est
concentrée sur (0, ∞) :
dΛ(x ) = cx −α−1 dx x > 0,
avec c > 0 et α ∈ (1, 2).
2)-Cas positif :
X > 0 p.s ssi 0 < α < 1, β = 1 et µ ≥ 0
.
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Unimodalité
Lois stables
Processus de Lévy
Pour une loi α-stable X , on définit le paramètre de positivité :
ρ = P(X ≥ 0).
Remarque
On peut d’ores et déjà faire les remarques suivantes :
1)-Cas spectralement positif : ρ = 1 − α1 . Cas spectralement
négatif, ρ = α1 .
2)-Cas positif : ρ = 1. Cas négatif ρ = 0 .
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d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Lois stables
Processus de Lévy
Définition
On dit que (Xt )t≥0 est un processus de Lévy issu de 0 si :
1
X0 = 0 p.s,
2
X est à accroissement indépendants et stationnaires,
3
X est stochastiquement continu.
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d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Lois stables
Processus de Lévy
Définition
On dit que (Xt )t≥0 est un processus de Lévy issu de 0 si :
1
X0 = 0 p.s,
2
X est à accroissement indépendants et stationnaires,
3
X est stochastiquement continu.
On a équivalence entre la notion de processus de Lévy et celle
d’infini divisibilité.
Conséquences : La fonction caractéristique de X1 peut s’écrire :
E e
iλX1
1 2 Z
= exp(ibλ − aλ +
(e iλx − 1 − iλ1[0,1] (x ))dΛ(x ))
2
R\{0}
= e −Ψ(λ)
E e iλXt = e −tΨ(λ)
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d’atteinte pour
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Unimodalité
Lois stables
Processus de Lévy
Cas des processus stables :
Définition
Un processus stochastique Y = (Yt )t≥0 , à valeurs dans R, a la
propriété d’autosimilarité d’indice α1 > 0 si ∀k > 0 (Ykt )t≥0 a
1
même loi que (k α Yt )t≥0 .
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probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Lois stables
Processus de Lévy
Définition
1
,→ Un processus de Lévy a cette propriété ssi pour tout t > 0,
1
d
Xt = t α X1 . On dit alors que X est un processus strictement
stable d’indice α.
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probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Lois stables
Processus de Lévy
Définition
1
,→ Un processus de Lévy a cette propriété ssi pour tout t > 0,
1
d
Xt = t α X1 . On dit alors que X est un processus strictement
stable d’indice α.
,→ Par cette propriété, le paramètre ρ = P(Xt > 0) est
indépendant de t.
Colloquedes
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temps
probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Plan
1
Lois stables
Processus de Lévy
2
3
Unimodalité
Colloquedes
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d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
On s’intéresse au temps d’atteinte :
τx = inf{t > 0, Xt = x }, x ∈ R
Colloquedes
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d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Cadre d’étude :
Soit X un processus de Lévy strictement α-stable,
1<
α ≤2.
E e iλX1 = exp[−(iλ)α e −iπαρsgn(λ) ].
ρ ∈ [1 − α1 , α1 ]
Colloquedes
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d’atteinte pour
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Unimodalité
Propriétés de τx :
τx est une variable aléatoire absolument continue.
τx est α auto-similaire :
∀x ≥ 0,
d
τx = x α τ1 ,
d
τ−x = x α τ−1
Les points d’un processus α-stable, α ≤ 1 sont polaires.
⇒ τx = +∞ p.s
Colloquedes
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temps
probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Plan
1
Lois stables
Processus de Lévy
2
3
Unimodalité
Colloquedes
jeunes
temps
probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Définition
Une variable aléatoire X est dite unimodale de mode a si
P[X ≤ x ] est convexe sur (−∞, a] et concave sur [a, +∞).
Colloquedes
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temps
probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Définition
Remarques
* En particulier, si X est à densité, X est unimodale de mode
a si sa densité f est croissante sur (−∞, a] et décroissante sur
[a, +∞).
Colloquedes
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temps
probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Définition
Remarques
* En particulier, si X est à densité, X est unimodale de mode
a si sa densité f est croissante sur (−∞, a] et décroissante sur
[a, +∞).
* Le mode n’est pas nécessairement unique.
Colloquedes
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probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Quelques exemples
Théorème (Yamazato (78))
Toutes les lois stables sont unimodales.
Lois de Student, lois du χ2 , sont également unimodales.
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probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Théorème (T.S, J.L (2013))
La variable aléatoire τ est unimodale.
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probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Théorème (T.S, J.L (2013))
La variable aléatoire τ est unimodale.
Remarque
Cas spectralement négatif (ρ = α1 ) : τ = T1 p.s, avec
T1 = inf{t > 0, Xt > 1} variable aléatoire α1 -stable, donc
unimodale.
Colloquedes
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temps
probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Théorème
d
τ =
Zρα
ρα
Zρα
ρα
!( 1 )
α
× Z1·
α
où Zα variable aléatoire α-stable positive (0 < α < 1) telle
que :
α
E (Zα ) = e −λ
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probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Idées de la démonstration :
E (τ −s ) =
1 R +∞
Γ(s) 0
E (e −qτ ) = k q
⇒ E τ
−s
α−1
α
E (e −qτ ) q s−1 dq, ∀s ∈ (0, 1).
E Z1 e −qZ1 où Z1 = (max(X1 , 0))α .
sin( απ ) sin(πρα(−s + α1 )) Γ(1 + αs)
.
=
sin(πρ) sin(π(−s + α1 )) Γ(1 + s)
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d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Définition (I.Cuculescu ; R.Theodorescu)
Une variable aléatoire X est multiplicativement fortement
unimodale (MFU) si ∀Y unimodale indépendante de X , XY
est unimodale.
Remarque
X MFU ⇒ X Unimodale.
Colloquedes
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d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
Exemple
Soit X v.a de densité
∀x ∈ R,
f (x ) = C 1(0,1] (x )
1
.
1 + (log(x ))2
X est unimodale de mode 1.
Soit Y v.a de densité :
∀x ∈ R,
g(x ) = α1[0,a] (x ) + β1[1,b] (x ),
avec αa + β(b − 1) = 1 et 1 < a < b. Y est unimodale mais le
produit XY ne l’est pas pour certains choix de constantes.
(α = 1/21, a = e 1/2 , b = 34 − (11/77)e 1/2 ).
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Unimodalité
Exemples
Lois exponentielles, Lois Gamma .
Mélange de lois Gamma.
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Unimodalité
Factorisation de Kanter (’75) :
Pour α < 1, on a :
d
1−α
× b α2 (U),
Z−α
α = L
avec :
L suit une exponentielle de paramètre 1.
U loi uniforme sur (0, 1).
∀u, c ∈ (0, 1),
bc (u) =
sin(πu)
sin (πcu) sin1−c (π(1 − c)u)
c
On pose Kc = κ−1
c bc (U). est [0, 1].
Colloquedes
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temps
probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
d
L1−ρα
L1−ρα
−α
τ = κ1
α
⇒
L1−ρα
L1−ρα
( 1 )
α
!( 1 )
α
(1)
1
(α)
× L1−α × Kραα × (K−1
× K−α
1
ρα )
α
× L1−α est MFU.
Proposition
(1)
1
(α)
Kραα × (K−1
× K−α
1
ρα )
α
est unimodale
Colloquedes
jeunes
temps
probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
I. Cuculescu and R. Theodorescu. Multiplicative strong
unimodality. Austral. & New Zealand J. Statist. 40 (2),
205-214, 1998.
M. Kanter. Stable densities under change of scale and
total variation inequalities. Ann. Probab. 3, 697-707, 1975.
A. Kuznetsov, A. E. Kyprianou, J. C. Millan and
A. R. Watson. The hitting time of zero for a stable
process. Preprint, 2012.
K. Sato. Lévy processes and infinitely divisible
distributions. Cambridge University Press, Cambridge,
1999.
Colloquedes
jeunes
temps
probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
T. Simon. Hitting densities for spectrally positive stable
processes. Stochastics 83 (2), 203-214, 2011.
T. Simon. A multiplicative short proof for the unimodality
of stable densities. Elec. Comm. Probab. 16, 623-629,
2011.
T. Simon. On the unimodality of power transformations of
positive stable densities. Math. Nachr. 285 (4), 497-506,
2012.
M. Yamazato. Hitting time distributions of single points
for 1-dimensional generalized diffusion processes. Nagoya
Math. J. 119, 143-172, 1990.
Colloquedes
jeunes
temps
probabilistes
d’atteinte pour
et statisticiens
Unimodalité
K. Yano, Y. Yano and M. Yor. On the laws of first hitting
times of points for one-dimensional symmetric stable Lévy
processes. Sémin. Probab. XLII, 187-227, 2009.
V. M. Zolotarev. One-dimensional stable distributions.
AMS, Providence, 1986.
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d’atteinte pour
et statisticiens

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