Les ondes mécaniques - Gymnase français de Bienne

Gymnase français de Bienne, OSPAM
Optique géométrique et ondes
Les ondes mécaniques
Une onde est formée par des vibrations qui se propagent dans les milieux transparents. Nous
discuterons de la nature de ces vibrations par la suite.
Un mouvement vibratoire est un mouvement périodique, le plus simple est le mouvement
sinusoïdal. Il est plus facile, dans un premier temps, de discuter d’une onde se propageant à la
surface de l’eau.
On jette un caillou dans l’eau, la surface s’agite et on observe des vaguelettes, il s’agit d’une onde
progressive :
La fonction mathématique simple qui est susceptible de reproduire ces oscillations est la fonction
SINUS (ou cosinus!).
Voici la représentation d’une onde dite progressive:
+A
-A
Le trait continu est la photographie de la surface de l’eau à un instant donné. Un seconde image
(pointillée) est prise, à un instant t plus tard, la perturbation s’est donc déplacée d’une distance Vt.
Un bouchon posé à la surface de l’eau se déplace verticalement entre +A et -A. La hauteur d’une
crête ou la profondeur d’un creux par rapport au niveau normal s’appelle l’amplitude A. La
distance entre deux maxima (ou minima) consécutifs de l’onde est la longueur d’onde  (mesurée
en mètres). La fréquence  (en Hertz ou s-1) est le nombre de crêtes qui passent par un
1 
point donné par unité de temps. La grandeur V est la vitesse de l’onde. On définit T  
 V
aussi la période T, mesurée en secondes.
Imaginons une onde sinusoïdale de fréquence  et de longueur d’onde . On suppose
aussi qu’à t=0 la forme de l’onde soit donnée par l’équation:
y  A  sin(
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2
 x)

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Supposons maintenant que l’onde se déplace à une vitesse v vers la droite. Après un temps t,
chaque partie de l’onde (toute la « forme » de l’onde) aura parcouru une distance Vt. Une crête
qui se trouve à un point x donné, se retrouvera à une nouvelle position Vt plus grande que sa
position initiale. Pour décrire le même point, il faut donc remplacer x par (x-Vt):
 2

y  A  sin   ( x Vt )
2
k



Que l’on peut écrire:
y  A  sinkx  t 

2
T
Avec k le nombre d’onde et  la fréquence circulaire de l’onde.
La notion d’onde ne se limite pas aux phénomènes mécaniques. Selon la fréquence ou la
longueur de l’onde, on parle d’ondes sonores (10 Hz jusqu’à 20'000 Hz) perçues par l’oreille ou
encore pour des fréquences plus élevées, les ondes électromagnétiques :
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Interférence, principe de superposition.
Quand deux ondes ou plus passent en même temps par une même région de l’espace, on observe
que le déplacement réel est la somme vectorielle (algébrique) des déplacements réels.
Ce principe de superposition s’applique à beaucoup de types d’ondes, en particulier aux ondes
sonores.
x
y
y
x
x
x
Somme des deux ondes
Somme des deux ondes
Somme des deux ondes
y
x
y
y
y
x
Cas intermédiaire
y
Interférence destructive
y
y
Interférence constructive
La superposition d’ondes donne lieu à toute une gamme de phénomènes appelés interférences.
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Interférences constructives
S1
S2
Interférences destructives
Le jet simultané de deux cailloux provoque la formation de deux ensembles d’ondes circulaires
qui interfèrent l’une avec l’autre. Cette expérience peut-être reproduite en continu à l’aide d’une
cuve à ondes remplie d’eau.
Ondes stationnaires
Une onde stationnaire est crée par la superposition de deux ondes sinusoïdales de même
fréquence et de même amplitude se propageant dans un milieu,
dans des direction opposées.
Dans un milieu continu illimité, il n'existe pas de limite de
fréquence ou de longueur d'onde des ondes stationnaires.
Cependant, si les ondes sont confinées dans l'espace, par exemple
si la corde est fixée aux deux extrémités, des ondes stationnaires
ne peuvent être créées que pour certaines valeurs discrètes de la
fréquence ou de la longueur d'onde.
Ces conditions aux limites imposent des contraintes sur les fréquences ou les longueurs d'onde.
Les ondes de ce type sont appelées ondes stationnaires résonantes.
Si la corde est parfaitement flexible et si l'impulsion est de forme sinusoïdale, le premier
phénomène de résonance se produit lorsque la distance entre les extrémités fixes est égale à une
demi-longueur d'onde (figure). En utilisant L   et V   , on en déduit la fréquence
2
fondamentale ou fréquence du premier harmonique,  1  V 2 L . C'est la plus basse fréquence à
laquelle la corde peut vibrer.
Une onde stationnaire résonante ne peut exister que si la longueur est un multiple entier de la
demi-longueur d'onde. La longueur d'onde et la fréquence du nième harmonique sont données par :
n 
Page 21
2L
n
n 
nV
2L
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Ondes sonores
Les sons audibles pour l'oreille humaine ont des fréquences comprises entre 20 Hz et 20'000 Hz.
Les ondes sonores de fréquence inférieure à 20 Hz, que l'on appelle infra soniques, sont produites
notamment par les tremblements de terre, par le tonnerre et par les vibrations de machines
lourdes ou des pneus d'une automobile. Les fréquences
ultrasoniques, supérieures à 20’000 Hz, sont perçues par
les chiens, les chats et les marsouins. Les chauves-souris
et les marsouins, de même que les sonars, dépendent des
ondes ultrasoniques pour situer les objets. En médecine,
on utilise les ultrasons pour surveiller le développement
du fœtus avant la naissance et l'on se sert des ondes de
choc acoustiques pour briser les calculs rénaux.
À l'état d'équilibre, la pression et la densité d'un fluide
sont uniformes. Pourtant, les molécules du fluide ne sont
pas au repos; elles sont animées de mouvements aléatoires et subissent de fréquentes collisions.
En présence d'une onde sonore, chaque petit élément de volume d'un gaz est soumis à des
vibrations longitudinales périodiques. Ce mouvement ordonné des éléments se superpose au
mouvement aléatoire des molécules. Les déplacements des éléments donnent naissance à des
fluctuations périodiques de la densité de l'air et donc de la pression. Les fluctuations de pression
sont de l'ordre de 1 Pa, alors que la pression atmosphérique est voisine de 105 Pa.
Applications des ondes stationnaires, les tuyaux
On peut produire des ondes stationnaires résonnantes dans une colonne d’air, comme un tuyau
d’orgue ou dans une flûte. Les ondes sonores se réfléchissent à l’extrémité fermée et à l’extrémité
ouverte de ces tuyaux.
Sur la figure, le mouvement des molécules est représenté par les flèches continues à t  0 et par
T
les flèches en pointillés à t  , T étant la période.
2
À l'extrémité fermée, le déplacement est toujours nul; il s'agit donc d'un noeud de déplacement
qui correspond à un ventre de pression. (À l'instant représenté, la pression est maximale à
l'extrémité fermée. Une demi- période plus tard, la densité et la pression seront minimales.)
L'extrémité ouverte étant à la pression atmosphérique, c'est donc un noeud de pression et un
ventre de déplacement.

V
Le mode fondamental est obtenu pour L  , ce qui correspond à 1 
.
4
4L
On peut facilement construire les harmoniques supérieurs en se rappelant que l'extrémité fermée
est un noeud de déplacement, alors que l'extrémité ouverte est un ventre de déplacement. (On se
réfère en général au déplacement plutôt qu'à la pression.)
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Dans un tuyau fermé, une extrémité est fermée. Dans un tuyau ouvert, les deux extrémités sont
ouvertes.
1 
V
4L
1 
fondamentale
V
2L
fondamentale
3 
3V
4L
2 
3e harmonique
2e harmonique
5 
5V
4L
2 
5e harmonique
Les trois premiers modes de résonance.
2V
2L
2V
2L
3e harmonique
Les trois premiers modes de résonance.
Les ondes stationnaires dans les tuyaux s’atténuent très rapidement si on supprime la source
d’excitation. En pratique, les équations précédentes sont approximatives. La résonance dépend
également du diamètre du tuyau.
L’effet Doppler
Lorsqu’une automobile passe rapidement devant nous en klaxonnant, la fréquence de
l’avertisseur sonore nous semble plus élevée lorsque la voiture s’approche et plus basse
lorsqu’elle s’éloigne. Cette variation de fréquence observée lorsqu’il y a mouvement relatif entre
la source et l’observateur est appelée effet Doppler (1842).
S
V
Imaginons une source sonore ponctuelle
déplaçant à vitesse constante, en supposant
l’air est au repos.
O V est la vitesse du son dans le milieu, V s
vitesse de la source et Vo est la vitesse
VO
l’observateur.
se
qu
la
de
La source est au repos, l’observateur en
mouvement:
L’observateur se déplace vers la source à la
vitesse Vo.
La vitesse des ondes sonores, par rapport à
V
l’observateur est V '  V  Vo . La longueur d’onde perçue a sa valeur normale;   . La

fréquence entendue est donc:
V ' V  Vo
' 



V

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On compte Vo positif si l’observateur se déplace en direction de la source et négatif s’il s’en
éloigne.
La source est en mouvement, l’observateur est au repos:
Si la source était au repos, la distance entre les crêtes serait
V
de    VT , mais en une période T, la source se

déplace d’une distance Vs T avant d’émettre la crête
suivante. La longeur d’onde est ainsi modifiée:
V  Vs
S
 '  VT  VsT 

Comme la vitesse de l’onde par rapport à l’observateur est
simplement V, la fréquence entendue est:
V
V
' 
 ' V  Vs
' On compte V positif si la source se déplace en direction
s
de l’observateur et négatif dans le cas contraire.
La combinaison des deux formules donne:
 ' 
V0  V
V  Vs
La source se déplace à une vitesse supérieure à la vitesse du son dans le milieu:
L’interférence entre les fronts d’onde crée une
onde de choc qui est perçue comme un “bang”.
sin  
Les battements
Le battement est la vibration résultant de la superposition de deux
vibrations sinusoïdales de fréquences voisines.
La fréquence perçue est la moyenne des fréquences émises, le
récepteur reçoit une onde dont l’amplitude varie avec une fréquence
de battement :
 b   2  1
Avec :
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V
Vs
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 b : la fréquence du battement
 1 : la fréquence de la première onde
 2 : la fréquence de la seconde onde
Indications :
La vitesse du son dans l’air est de 340 m/s
La vitesse du son dans l’eau est de 1485 m/s
La vitesse de la lumière dans le vide est de 300'000'000 m/s
Exercices
1. En tirant un coup de feu, on entend un écho qui nous parvient ½ seconde plus tard. L’écho
provient de la présence du mur en direction duquel on tire. Calculer la distance qui nous
sépare du mur.
2. Dans les communications téléphoniques internationales, on entend parfois un écho. Le
satellite qui renvoie les communications est situé à 36'000 km d’altitude. Calculer le délai
minimal qu’il y a entre le moment où l’on parle et la réponse possible.
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1
-1.5
x (m)
3. Voici le graphique d’une onde progressive. Le trait continu est la « photographie » de l’onde
à un instant donné. Un seconde image (pointillée) est prise, à un instant t=0,1 s plus tard.
Donner la longueur de l’onde, la vitesse de propagation et enfin sa fréquence.
4. Les sons audibles ont des fréquences comprises entre 20 et 20'000 Hz. Calculer les limites
entre lesquelles sont comprises les longueurs d'onde de ces sons.
5. Des ondes sur une surface d'eau ont une fréquence de 15 Hzet une longueur d'onde de 1,6 cm.
Quelle est leur vitesse ?
6. A quelle longueur d’onde peut correspondre une fréquence de a) 1018 Hz , b) 4'500 Hz .
Discuter de l’hypothèse que vous devez faire.
7. Un rayon de lumière verte (   500 nm ) passe du vide dans un bloc de verre dont l'indice de
réfraction vaut 1,5. Sa fréquence n'étant pas modifiée, calculer sa longueur d'onde dans le
verre.
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8. La sirène d'une voiture de police a une fréquence caractéristique de 1200 Hz. Quelle est la
fréquence entendue par un observateur immobile si la voiture roule à 108 km/h (a) vers
l'observateur; (b) en s'éloignant de l'observateur ?
9. Une cloche de gare émet des sons dont la fréquence vaut 1’000 Hz. Un train passe près de
cette cloche à, une vitesse de 120 km/h. Quelles sont les fréquences perçues par les
voyageurs ?
10. Un jouet alimenté par pile émet un signal de 1800 Hz. Il décrit un cercle de rayon 1,2 m à
raison de 2,4 tr/s. Quelles sont les fréquences minimale et maximale entendues par un
observateur immobile situé à une certaine distance dans le plan du cercle ?
11. Une automobile roulant à 40 m/s et un camion roulant à 15 m/s sont sur la même route
rectiligne. Le klaxon de l'automobile a une fréquence propre de 400 Hz. Quelle est la
variation de fréquence observée par le chauffeur du camion une fois que l'automobile l'a
dépassé ? On suppose que l'automobile et le camion roulent (a) dans la même direction; (b)
dans des directions opposées.
12. Un avion file à la vitesse de 2700 km/h. Quel est l'angle du cône de bruit qu'il traîne derrière
lui ? (Angle formé par l'axe et la génératrice.)
13. Un avion vole à 3 fois la vitesse du son dans l’air. Les moteurs émettent un bruit que l’on
peut assimiler à un son de fréquence 5'000 Hz.
a) Donner une explication quant à la propagation du bruit des moteurs.
b) La fréquence du son (bruit) perçue par une personne au sol est-elle identique à celle
émise ? Calculer éventuellement cette (ces) fréquences(s).
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5 0
-1
-1.5
-2
-2.5
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
t (s)
14. Voici le graphique représentant un son capté par un microphone. De quel genre de son s’agitil ? Evaluer la fréquence du son correspondant. Voyez-vous une autre fréquence
remarquable ?
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