Exercices sur la tracking error

Exercices sur la tracking error
Philippe Bernard
EURIsCO
Paris IX
Juin 2005
Le cadre utilisée pour tous les exercices qui suivent est celui d’une économie comprenant trois actifs dont les rendements espérés, les volatilités et les
covariances sont les suivants :
corrélations
rend. (%) volatilité titre 1 titre 2 titre 3
titre 1 2
1
1
0.1
0.05
titre 2 5
7,5
1
-0.2
titre 3 10
20
1
Les exercices ne sont pas indépendants les uns des autres.
Les thèmes des différents exercices sont les suivants :
— dans le premier exercice on caractérise la frontière des portefeuilles
efficients ;
— dans l’exercice suivant, on suppose que le fund étudié se donne un
benchmark et on s’intéresse à l’efficience des portefeuilles induits par
les différentes tracking errors possibles ; l’exercice a pour but d’illustrer
les résultats d’inefficience de la tracking d’error de Roll [1992] et
Jorion [2003].
— l’exercice 3 reprend l’exercice précédent mais pour un benchmark précédent ; il illustre le caractère crucial de l’efficience ;
— l’exercice 4 considère l’utilisation des tracking errors à l’intérieur d’un
fund pour contrôler ses différents gérants ; dans une optique normative,
on cherche à déterminer comment doivent évoluer les benchmarks et
les tracking errors pour que le portefeuille global du fund soit efficient.
— le dernier exercice rejette la possibilité d’ajuster les benchmarks des
gérants ; la direction du fund a comme stratégie d’ajuster à la marge
le portefeuille du fund pour corriger les effets du système des tracking
errors. On cherche à déterminer les conditions que cette stratégie de
corriger doit vérifier pour que les tracking errors sélectionnées induisent
des portefeuilles efficients.
Connaissant la matrice des corrélations :


1
0.1 0.05
1
−0.2 
ρ =  0.1
0.05 −0.2
1
et la matrice diagonale des écart-types :


0.01
0
0
SD =  0 0.075 0 
0
0
0.2
1
on obtient la matrice de covariance par le double produit :
σ = SD · ρ · SD
(1)
Numériquement, on obtient donc successivement :




0.01
0
0
1
0.1 0.05
0.01
0
0
1
−0.2   0 0.075 0 
σ =  0 0.075 0   0.1
0
0
0.2
0.05 −0.2
1
0
0
0.2



0.01
0
0
0.01
0.007 5 0.01
0.075 −0.04 
=  0 0.075 0   0.001
0
0
0.2
0.000 5 −0.015
0.2


−5
0.000 1
0.000 1
7. 5 × 10
−5
−3

7. 5 × 10
5. 625 × 10
−0.003 
=
0.000 1
−0.003
0.04
La matrice de covariance est donc :


1.0 0.75
1.0
σ =  0.75 56. 25 −30.0  (10−4 )
1.0 −30.0 400.0
On note :
— x le vecteur colonne des parts des différents actifs


x1
x =  x2 
x3
— r le vecteur ligne des rendements espérés nets des titres
£
¤
r = 0.02 0.05 0.10
— 1 le vecteur ligne dont toutes les composantes sont égales à 1
£
¤
1= 1 1 1
1
1.1
Intitulés
Frontière des portefeuilles efficients
(1) Construire le programme définissant les portefeuilles efficients et donner les conditions de premier ordre. En tirer une expression du portefeuille
efficient en fonction des multiplicateurs de Lagrange.
2
(2) A partir de cette expression, montrer que tous les portefeuilles efficients sont obtenus par une combinaison linéaire de deux portefeuilles.
(3) A partir des résultats de (1), donner la valeur de la variance en fonction
du rendement espéré exigé, i.e. l’équation de la frontière des portefeuilles
efficients.
1.2
Efficience de la tracking error, I
On suppose que l’on prend comme benchmark le portefeuille equi-pondéré :


1/3
xb =  1/3 
1/3
(1) Déterminer l’arbitrage entre la tracking error (ou sa variance) et le rendement excédentaire (défini par rapport au rendement espéré du benchmark).
(Programme de minimisation de la variance sous contraintes, conditions de
premier ordre, distorsions optimales)
(2) Déterminer à partir des résultats précédents la relation tracking error
/ rendement excédentaire.
(3) On suppose que l’on maximise la fonction :
γ
U = e − T E2
2
où e est le rendement espéré excédentaire (= rp − rb ), γ est l’aversion relative
par rapport au risque, T E est la tracking error. Déterminer la tracking error
optimale (ainsi que le portefeuille à détenir) si γ = 5.
(4) A partir des résultats des questions (1) et (2) et de la frontière des portefeuilles efficients (déterminée dans le premier exercice), évaluer l’efficience
des portefeuilles obtenus en minimisant la tracking error sous contrainte de
rendement excédentaire, i.e. les portefeuilles de (2).
1.3
Efficience de la tracking error, II
On considère un nouveau benchmark :


0.080 76
xb,2 =  0.670 34 
0.248 65
(1) Déterminer l’arbitrage entre la tracking error (ou sa variance) et le rendement excédentaire (défini par rapport au rendement espéré du benchmark).
3
(Programme de minimisation de la variance sous contraintes, conditions de
premier ordre, distorsions optimales).
(2) Déterminer à partir des résultats précédents la relation tracking error
/ rendement excédentaire.
(3) A partir des résultats des questions (1) et (2) et de la frontière des portefeuilles efficients (déterminée dans le premier exercice), évaluer l’efficience
des portefeuilles obtenus en minimisant la tracking error sous contrainte de
rendement excédentaire, i.e. les portefeuilles de (2).
(4) Proposer une explication de la différence d’efficience de la stratégie
de la tracking error observée dans cet exercice et l’exercice précédent.
1.4
Décentralisation de la gestion
On considère un fund qui décentralise sa gestion au profit de deux gérants.
Le gérant a a comme “univers de titres” les titres 1 et 2, le gérant b les titres
1 et 3. Le fund détermine initalement la part α de sa richesse qu’il alloue
au gérant a (et donc la part 1 − α qu’il alloue au gérant b). Pour contrôler
ces deux gérants, le fund se propose de mettre en place pour chaque gérant
un benchmark et une tracking error. On suppose que chaque gérant, une fois
son benchmark assigné, est incité à dégager les rendements excédentaires les
plus élevés compatibles avec sa tracking error. (Une raison pouvant être que
que sa rémunération est une fonction croissante de ce rendement excédentaire
tant que la tracking error demeure inférieure à sa valeur limite.)
Le problème est de concevoir pour les deux gérants des benchmarks et
des tracking errors qui pour chaque α donnera un portefeuille efficient.
(1) Déterminer pour le gérant a les distorsions optimales de son benchmark et la relation tracking error / rendement excédentaire.
(2) Déterminer pour le gérant b les distorsions optimales de son benchmark et la relation tracking error / rendement excédentaire.
(3) Analyser les conditions que doivent vérifier les benchmarks et les tracking errors pour que le portefeuille du fund qu’ils détermineront soit efficient.
(On utilisera les résultats sur l’efficience du premier exercice). Déterminer le
système que pour chaque α et pour rendement objectif rb du fund, les benchmarks et les tracking errors doivent vérifier.
(4) Numériquement, on se donne α = 0.5. Déterminer en fonction de rb,
les benchmarks et les tracking errors optimaux.
4
1.5
Ajustement du portefeuille pour contrôler les tracking errors
Le cadre est celui de l’exercice précédent mais ajuster de manière continue les benchmarks des deux gérants en fonction des objectifs est désormais
supposé impossible. Le benchmark est considéré comme une variable que l’on
n’ajuste qu’à moyen terme (par exemple 5 ans). Aussi dans le cadre de cet
exercice, on les considérera comme des paramètres. Le benchmark du gérant
a est supposé être :


0.2
xa =  0.8 
0
et celui du gérant b est :


0.2
xb =  0 
0.8
Comme la mise en place d’un système de tracking errors pour les deux gérants
a et b a de fortes chances de conduire à un portefeuille inefficient, la direction
du fund cherche à contrôler les effets néfastes de la décentralisation de la
gestion.
Le système envisagé par la direction du fund est de se réserver la possibilité de prendre des positions sur les marchés qui viendront corriger celles
des gérants. Le portefeuille du fund résultera donc de la combinaison du portefeuille du gérant a (xap ), du gérant b (xbp ) et du portefeuille de la direction
(le “centre” du fund) (xcp ), et sera fonction de la distribution des ressources
entre les deux gérants d’une part (αa et αb ) et entre ces gérants et le centre
(part α). Le portefeuille xp du fund est donné par l’écriture :
xp = α(αa xap + αb xbp ) + (1 − α)xcp
(2)
(1) Donner pour chaque gérant le portefeuille qu’il sélectionnera en fonction de sa tracking error.
(2) Si l’on prend comme paramètres αa , αb ainsi que les deux tracking
errors des gérants (notées T Ea et T Eb ), déterminer les conditions que devront
vérifier α et xcp pour que le portefeuille du fund soit efficient.
(3) On prend comme valeur numérique αa = 0.5 = αb , T Ea = T Eb =
5%. Déterminer avec ces restrictions le système que doit vérifier α et xcp .
Donner les solutions numériques du système ainsi que le rendement espéré
du portefeuille efficient défini par les paramètres αa , αb , T Ea et T Eb .
5
2
2.1
Frontière des portefeuilles efficients
Programme, lagrangien et cpo
Si l’on cherche le portefeuille efficient minimisant le risque en permettant
d’atteindre le rendement rb, le programme de minimisation correspond est
donc :

minx σ 2p = xT σx



sous les contraintes :
P (b
r) :
(3)
1.x =1



r.x ≥ rb
Le lagrangien associé à ce programme s’écrit :
1
L = xT σx + µ.(1.x − 1) + λ(b
r − r.x)
2
(4)
Le vecteur colonne x étant l’instrument que l’on fixe, le gradient s’écrit :
dL = xT σ+µ.1 − λr
(5)
Les conditions de premier ordre classiques d’annulation des dérivées du lagrangien reviennent alors à annuler ce vecteur ligne et donc nous donne :
xT σ+µ.1 − λr = 0
En réarrangeant successivement cette expression :
xT σ =λr−µ.1
¡ T ¢T
x σ = (λr−µ.1)T
¡ ¢T
(σ)T xT =λrT −µ.1T
σx =λrT −µ.1T puisque (σ)T = σ
La matrice de covariance est de plein rang :
det σ =2. 127 4 × 10−8
et est donc inversible. Par conséquent, on obtient l’expression du portefeuille
solution en fonction des autres variables en multipliant la dernière relation
par σ −1 :
x =λσ −1 rT −µ.σ −1 1T
(6)
6
Numériquement :
σ −1
et donc :
σ −1 rT
σ −1 1T
Par conséquent :


10153. −155. 12 −37. 017
14. 454 
=  −155. 12 187. 56
−37. 017 14. 454
26. 177



10153. −155. 12 −37. 017
0.02
14. 454   0.05 
=  −155. 12 187. 56
−37. 017 14. 454
26. 177
0.1


191. 6

7. 721 
=
2. 600 1

 
10153. −155. 12 −37. 017
1



−155. 12 187. 56
14. 454
1 
=
−37. 017 14. 454
26. 177
1


9960. 9

46. 894 
=
3. 614




191. 6
9960. 9
x =λ  7. 721  −µ  46. 894 
2. 600 1
3. 614
(7)
Pour déterminer les valeurs des deux multiplicateurs, on peut utiliser les deux
contraintes que l’on est supposé vérifier. Si on suppose que la contrainte de
rendement est vérifiée avec égalité alors :
½
1.x = 1
(8)
r.x = rb
En substituant l’expression de x, on obtient donc :

 



191. 6
9960. 9


£
¤


1 1 1 λ.  7. 721  −µ.  46. 894  = 1



600 1
 2. 
 3.614

191. 6
9960. 9


£
¤


0.02 0.05 0.10 λ.  7. 721  −µ.  46. 894  = rb



2. 600 1
3. 614
7










191. 6
£
¤
λ. 1 1 1  7. 721  −µ. 1 1 1 
 2. 600 1 
191. 6


£
¤
£



 −µ. 0.02 0.05
0.02
0.05
0.10
7.
721
λ.



2. 600 1
½
201. 92λ−10011.µ = 1
4. 478 1λ−201. 92µ = rb
£
¤


9960. 9
46. 894  = 1
3. 614 

¤ 9960. 9
0.10  46. 894  = rb
3. 614
Après calculs, on trouve :
λ = 2. 466 6b
r − 4. 975 1 × 10−2
µ = 4. 975 1 × 10−2 rb − 1. 103 4 × 10−3
f
Aussi, lorsque λ > 0, le portefeuille efficient xef
est :
p




191. 6
9960. 9
x =λ  7. 721  −µ  46. 894 
2. 600 1
3. 614
f
xef
p
2.2


−22. 964r + 1. 458 6
=  16. 712r − 0.332 38 
6. 233 6r − 0.125 37

 

−22. 964
1. 458 6
= r  16. 712  +  −0.332 38 
6. 233 6
−0.125 37
(9)
(10)
(11)
Base des portefeuilles efficients
Si l’on calcule les produits des deux vecteurs colonnes donnant x avec le
vecteur ligne 1, on a :




191. 6
191.
6
£
¤
1 1 1  7. 721 
1.  7. 721  =
2. 600 1
2. 600 1
= 201. 92




9960. 9
£
¤ 9960. 9
1 1 1  46. 894 
1.  46. 894  =
3. 614
3. 614
= 10011.
8
Par conséquent, si l’on définit les deux vecteurs colonnes xr et x1 en divisant
les vecteurs colonnes précédents par la valeur du produit vectoriel, on a :


9960. 9
 46. 894 


 
9960. 9
0.948 89
3. 614
1 
=
46. 894  =  3. 823 8 × 10−2 
xr = 
10011.
9960. 9
1. 287 7 × 10−2
3. 614
1.  46. 894 
3. 614


191. 6
 7. 721 


 
191.
6
0.995
00
2. 600 1
1 
=
7. 721  =  4. 684 2 × 10−3 
x1 = 
201. 92
191. 6
3. 61 × 10−4
2. 600 1


7. 721
1.
2. 600 1
Par construction xr et x1 sont deux vecteurs colonnes dont les sommes
des composantes sont égales à 1 :
1.xr = 1, 1.x1 = 1
Aussi financièrement constituent-ils des portefeuilles d’actifs risqués dont on
peut calculer les rendements espérés et les volatilités.


0.948
89
£
¤
rr = r.xr = 0.02 0.05 0.10  3. 823 8 × 10−2  = 2. 217 7%
1. 287 7 × 10−2
T 

0.948 89
0.948 89
σ r =  3. 823 8 × 10−2  σ  3. 823 8 × 10−2 
1. 287 7 × 10−2
1. 287 7 × 10−2
√
1. 098 3 × 10−4
=
= 1. 048 0%


0.995
00
£
¤
r1 = r.x1 = 0.02 0.05 0.10  4. 684 2 × 10−3  = 2.0 17%
3. 61 × 10−4
T 


0.995 00
0.995 00
σ 1 =  4. 684 2 × 10−3  σ  4. 684 2 × 10−3 
3. 61 × 10−4
3. 61 × 10−4
√
=
9. 989 2 × 10−5
= .9994 6%

9
2.3
Equation de la frontière
L’équation de l’enveloppe des portefeuilles efficients est obtenu en calculant la variance induite par les x optimaux :
σ 2p
T 
0.000 1
7. 5 × 10−5 0.000 1
−22. 964r + 1. 458 6
−5
5. 625 × 10−3 −0.003
=  16. 712r − 0.332 38   7. 5 × 10
0.000 1
−0.003
0.04
6. 233 6r − 0.125 37


−22. 964r + 1. 458 6
 16. 712r − 0.332 38 
6. 233 6r − 0.125 37

T 
−22. 964r + 1. 458 6
−4. 196 4 × 10−4 r + 1. 083 9 × 10−4
=  16. 712r − 0.332 38   7. 358 2 × 10−2 r − 1. 384 1 × 10−3
6. 233 6r − 0.125 37
0.196 91r − 3. 871 8 × 10−3
¡
¢
= (6. 233 6r − 0.125 37) 0.196 91r − 3. 871 8 × 10−3 +
¢
¡
(−22. 964r + 1. 458 6) −4. 196 4 × 10−4 r + 1. 083 9 × 10−4 +
¢
¡
(16. 712r − 0.332 38) 7. 358 2 × 10−2 r − 1. 384 1 × 10−3

σ 2p = 2. 466 8r2 − 9. 951 1 × 10−2 r + 1. 103 6 × 10−3
0.1
0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
x
-0.05
-0.1
L’enveloppe des portefeuilles efficients.
10



(12)
y 0.15
0

3
Efficience de la tracking error, I
On prend comme benchmark le portefeuille equipondéré :


1/3
xb =  1/3 
1/3
dont le rendement espéré et la volatilité sont :


£
¤ 1/3
rb = r.xr = 0.02 0.05 0.10  1/3  = 5. 666 7%
1/3
σb
3.1
v


 
u
u 1/3 T
1/3
0.000 1
7. 5 × 10−5 0.000 1
u
= t 1/3   7. 5 × 10−5 5. 625 × 10−3 −0.003   1/3 
0.000 1
−0.003
0.04
1/3
1/3
√
4. 452 8 × 10−3
=
= 6. 672 9%
Distorsions optimales
L’objectif étant de déterminer la relation entre la tracking error et le
rendement excédentaire, on introduit le vecteur de distorsion suivant :
u = xp − xb
(13)
où xp est le portefeuille géré. Le programme donnant la variance résiduelle
minimale pour le rendement excédentaire b
e:

minx uT σu



sous les contraintes :
(14)
P (b
r) :
1.u =0



r.u ≥ eb
Le lagrangien associé à ce programme s’écrit :
1
L = uT σu + µ.(1.u − 0) + λ(b
e − r.ux)
2
(15)
Le vecteur colonne u étant l’instrument que l’on fixe, le gradient s’écrit :
dL = uT σ+µ.1 − λr
11
(16)
Les conditions de premier ordre classiques d’annulation des dérivées du lagrangien reviennent alors à annuler ce vecteur ligne et donc nous donne :
uT σ+µ.1 − λr = 0
En réarrangeant cette expression, on obtient finalement l’expression de la
distorsion optimale :
(17)
u =λσ −1 rT −µ.σ −1 1T
Si on suppose que la contrainte de rendement est vérifiée avec égalité alors :
½
1.u = 0
(18)
r.u = b
e
En substituant l’expression de u, on obtient donc :
½
201. 92λ−10011.µ = 0
4. 478 1λ−201. 92µ = eb
½
201. 92λ−10011.µ = 0
4. 478 1λ−201. 92µ = y
Après calculs, on trouve :
Aussi :
3.2
λ = 2. 466 6b
e
µ = 4. 975 1 × 10−2 eb



9960. 9
191. 6
e  46. 894 
u =2. 466 6b
e  7. 721  − 4. 975 1 × 10−2 b
3. 614
2. 600 1


−22. 96
u =b
e  16. 712 
6. 233 6

(19)
Frontière
L’équation de l’enveloppe des portefeuilles minimisant la tracking error
(à rendement excédentaire donné) est :



T 
−22. 96
−22. 96
0.000 1
7. 5 × 10−5 0.000 1
σ 2p = eb2  16. 712   7. 5 × 10−5 5. 625 × 10−3 −0.003   16. 712 
0.000 1
−0.003
0.04
6. 233 6
6. 233 6
= 2. 466 8b
e2
12
et donc la relation entre le rendement excédentaire eb et la tracking error (T E)
est :
TE
eb = √
2. 466 8
ou encore :
eb = 0.636 70T E
(20)
3.3
Tracking error optimale
Si l’on optimise la tracking error en maximisant la fonction :
γ
U = r − (T E)2
2
on a donc que la tracking error optimale est donnée par la condition de
premier ordre :
∂U
γ
0.636 70
= 0.636 70 − 2T E = 0 ⇒ T E =
∂T E
2
γ
Pour γ = 5 on a donc :
TE =
0.636 70
= 12.7 34%
5
0.636 70
5
= 8. 107 7%
eb = 0.636 70
3.4
Inefficience de la tracking error
Pour évaluer l’efficience de la tracking error, avec le portefeuille équipondéré comme benchmark, on utilise l’expression de u et les propriétés du
benchmark. La distorsion optimale étant :


−22. 96
u =b
e  16. 712 
(21)
6. 233 6
le portefeuille sélectionné lorsque l’on suit la stratégie de la tracking error est
donc :
xTp E = xb + u




0.333
−22. 96
=  0.333  + eb  16. 712 
0.333
6. 233 6
13
Comme :
e = rb − rb
b
= rb − 5. 666 7%
la substitution à eb de cette expression dans xp :




0.333
−22. 96
r − 5. 666 7%)  16. 712 
xTp E =  0.333  + (b
0.333
6. 233 6






0.333
−22. 96
−22. 96
=  0.333  − 0.056667  16. 712  + rb  16. 712 
0.333
6. 233 6
6. 233 6




−22. 96
1. 634 1
 + rb  16. 712 
−0.614 02
= 
6. 233 6
−2. 023 9 × 10−2
et donc les portefeuilles induits par la stratégie de la tracking error est :


1. 634 1 − 22.96b
r

−0.614 02 + 16.712b
r
(22)
xTp E = 
−2
r
−2. 023 9 × 10 + 6.23336b
La comparaison de ce portefeuille induit par la tracking error avec les
portefeuilles efficients :


−22. 964r + 1. 458 6
f
 16. 712r − 0.332 38 
xef
(23)
p =
6. 233 6r − 0.125 37
La comparaison montre que l’écart entre ces deux portefeuilles est à la fois
constant et non nul puisque :
 


1. 634 1 − 22.96r
−22. 964r + 1. 458 6
f
 −  16. 712r − 0.332 38 
−0.614 02 + 16.712r
= 
xTp E − xef
p
−2
−2. 023 9 × 10 + 6.23336r
6. 233 6r − 0.125 37


0.175 5
'  −0.281 64 
0.105 13
Cette constante se traduit par des différences constantes dans les deux fontières définies par les deux portefeuilles. La variance du portefeuille xTp E est
donc :
¡
¢T
σ Tp E,2 = xTp E σxTp E
= 2. 466 7r2 − 9. 970 3 × 10−2 r + 2. 172 5 × 10−3
14
La relation pour les portefeuilles efficients est :
f,2
σ ef
= 2. 466 8r2 − 9. 951 1 × 10−2 r + 1. 103 6 × 10−3
p
(24)
et donc on constate que la première frontière est obtenue de la première par
une translation puisque :
f,2
= 1. 068 9 × 10−3 − 0.000 1r2 − 1. 92 × 10−4 r
σTp E,2 − σ ef
p
' 1. 068 9 × 10−3
puisque r est de l’ordre de 102 . Graphiquement, l’enveloppe défini par la
tracking error est donc en conséquence incluse dans celle des portefeuilles efficients comme l’illustre la figure ??. Asymptotiquement, les volatilités de ces
deux types de portefeuilles convergent l’une vers l’autre. Cependant, ceci est
une consolation de peu d’intérêt car en général l’utilité dépend de l’espérance
des rendements et de leur variance. Et non de l’écart-type (= volatilité). Par
conséquent, le fait que dans l’espace (variance, rendement espéré), les deux
frontières s’obtiennent l’une de l’autre par transalation implique qu’uniformément l’utilité induite par la stratégie de la tracking error est inférieur à la
valeur optimale, et même lui est inférieure par la même grandeur.
Si l’on ne s’intéresse qu’à la partie supérieure de l’enveloppe on a alors
comme relation
y 0.15
0.1
0.05
0
0
0.0125
0.025
0.0375
0.05
x
-0.05
-0.1
L’enveloppe des portefeuilles induits par la stratégie de la tracking error (en
gras et en pointillés) et celle des portefeuilles efficients dans l’espace
(variance, rendement espéré).
15
y 0.15
0.1
0.05
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
x
-0.05
-0.1
L’enveloppe des portefeuilles induits par la stratégie de la tracking error (en
gras et en pointillés) et celle des portefeuilles efficients dans l’espace
(volatilité, rendement espéré).
4
Efficience de la tracking error, II
On considère un second benchmark :


0.080 76
xb,2 =  0.670 34 
0.248 65
dont le rendement espéré est :
rb,2


0.080
76
£
¤
0.02 0.05 0.10  0.670 34 
=
0.248 65
= 6%
16
4.1
Distorsions optimales
On peut facilement vérifier en reprenant les différentes étapes des questions précédentes qu’une fois l’écart u redéfini par :
u = xp − xb,2
(25)
que le programme et ses solutions seront identiques. En effet, une fois u redéfini, le programme ne dépend que des mêmes paramètres (rendements espérés,
covariance) et du rendement excédentaire à atteindre eb. Par conséquent, la
distorsion optimale en fonction est donnée par la même relation :


−22. 96
u =b
e  16. 712 
(26)
6. 233 6
tandis que la relation entre le rendement excédentaire et la tracking error est
toujours :
eb = 0.636 70T E
(27)
Le bnechmark n’étant plus le même, la variance globale du portefeuille
n’est cependant plus identique.
4.2
Efficience
Le portefeuille sélectionné lorsque l’on suit la stratégie de la tracking error
est donc :
Comme :
xTp E = xb,2 + u




0.080 76
−22. 96
=  0.670 34  + b
e  16. 712 
0.248 65
6. 233 6
eb = rb − rb
= rb − 6%
17
la substitution à eb de cette expression dans xp :




0.080 76
−22. 96
xTp E =  0.670 34  + (b
r − 6%)  16. 712 
0.248 65
6. 233 6






0.080 76
−22. 96
−22. 96
=  0.670 34  − 0.06  16. 712  + rb  16. 712 
0.248 65
6. 233 6
6. 233 6




1. 458 4
−22. 96



−0.332 38 + rb 16. 712 
=
−0.125 37
6. 233 6
et donc les portefeuilles induits par la stratégie de la tracking error est :


1. 458 4 − 22.96b
r
r 
(28)
xTp E,2 =  −0.332 38 + 16.712b
−0.125 37 + 6.23336b
r
La comparaison de ce portefeuille induit par la tracking error avec les
portefeuilles efficients :


−22. 964r + 1. 458 6
f
 16. 712r − 0.332 38 
(29)
xef
p =
6. 233 6r − 0.125 37
montre que l’écart entre ces deux portefeuilles est cette fois nulle :

 

1. 458 4 − 22.96b
r
−22. 964r + 1. 458 6
f
r  −  16. 712r − 0.332 38 
=  −0.332 38 + 16.712b
xTp E,2 − xef
p
−0.125 37 + 6.23336b
r
6. 233 6r − 0.125 37
 
0

0 
'
0
Avec ce second portefeuille, la stratégie de la tracking error aboutit à sélectionner un portefeuille efficient.
4.3
Comparaison
La différence essentielle entre les deux benchmarks est que le premier
benchmark est inefficient à la différence du second. En effet, pour le rendement espéré donné par le premier benchmark, 5. 666 7%, le portefeuille
18
efficient est :


−22. 964 (0.05666 7) + 1. 458 6
rb = 5. 666 7% ⇒ x =  16. 712 (0.05666 7) − 0.332 38 
6. 233 6 (0.05666 7) − 0.125 37


0.157 30

⇒ x = 0.614 64 
0.227 87
Le premier benchmark, le portefeuille équipondéré, n’est donc pas un des
éléments de la frontière des portefeuilles efficients. On vérifie par contre que
le second benchmark est lui un des portefeuilles efficients puisque :


−22. 964 (0.06) + 1. 458 6
rb = 6% ⇒ x =  16. 712 (0.06) − 0.332 38 
6. 233 6 (0.06) − 0.125 37


0.080 76
⇒ x =  0.670 34  = xb,2
0.248 65
5
Décentralisation optimale
On considère une organisation où l’activité du fund est réalisée par deux
gérants :
— le gérant a a pour univers le titre 1 et le titre 2 ;
— le gérant b a pour univers le titre 1 et le titre 3.
On suppose que chaque gérant, une fois que son benchmark lui est assigné, est incité à dégager les rendements excéndentaires les plus élevés compatibles avec sa tracking error. Par exemple, parce que sa rémunération est
une fonction croissante de ce rendement excédentaire tant que la tracking
error demeure inférieure à sa valeur limite.
Le problème du fund est donc de déterminer les benchmarks que l’on doit
assigner aux deux gérants et permettant d’obtenir un portefeuille efficient.
5.1
La tracking error du gérant a
Pour le gérant a, on suppose que son univers étant celui des actifs 1 et
2 alors nécessairement la part de l’actif 3 dans le portefeuille (xa3 ) et dans le
benchmark (xab,3 ) doit être nulle :
xa3 = 0, xab,3 = 0
19
On peut réduire la matrice de covariance et le vecteur des rendements espérés
aux deux premiers actifs :
£
¤
ra = 0.02 0.05
¸
·
0.000 1
7. 5 × 10−5
σa =
7. 5 × 10−5 5. 625 × 10−3
Le programme des tracking error efficiente pour chaque benchmark sélectionné est donc ces variables :

minx uTa σ a ua



sous les contraintes :
r) :
(30)
Pa (b
1.ua =0



ra .ua ≥ eba
Le lagrangien associé à ce programme s’écrit :
1
ea − ra .ua xa )
La = uTa σ a ua + µa .(1.ua − 0) + λa (b
2
(31)
Le vecteur colonne ua étant l’instrument que l’on fixe, le gradient s’écrit :
dLa = uTa σ a +µa .1 − λa ra
(32)
Les conditions de premier ordre classiques d’annulation des dérivées du lagrangien reviennent alors à annuler ce vecteur ligne et donc nous donne :
uTa σ a +µa .1 − λa ra = 0
En réarrangeant cette expression, on obtient finalement l’expression de la
distorsion optimale :
T
−1 T
(33)
ua =λa σ −1
a ra −µa .σ a 1
Numériquement :
σ −1
a
=
et donc :
T
σ −1
a ra
·
10101. −134. 68
−134. 68 179. 57
·
10101. −134. 68
=
−134. 68 179. 57
¸
·
195. 29
=
6. 284 9
20
¸
¸·
0.02
0.05
¸
T
σ −1
a 1
·
10101. −134. 68
=
−134. 68 179. 57
·
¸
9966. 3
=
44. 89
¸·
1
1
¸
Si on suppose que la contrainte de rendement est vérifiée avec égalité alors :
½
1.ua = 0
(34)
ra .ua = eba
En substituant l’expression de u, on obtient donc :

·
¸
·
¸
£
¤
195.
29
9966.
3


1 1 (λ
−µ
)=0

6.
¸
·44. 89
· 284 9 ¸
£
¤
9966.
3
195.
29


)=b
ea
−µ
 0.02 0.05 (λ
44. 89
6. 284 9

¸
¸
·
·
£
¤ 195. 29
£
¤ 9966. 3


λ 1 1
−µ 1 1
=0

44.·89
¸
· 6. 284 9 ¸
£
¤ 9966. 3
£
¤ 195. 29


= eba
− µ 0.02 0.05
 λ 0.02 0.05
44. 89
6. 284 9
½
201. 57λ − 10011.µ = 0
4. 22λ − 201. 57µ = b
ea
Après calculs, on trouve :
λa = 6. 195 1b
ea
µa = 0.124 74b
ea
et donc :
·
¸
·
¸
195. 29
9966. 3
−0.124 74b
e
ua =6. 195 1 eb
6. 284 9
44. 89
Aussi on trouve (avec les approximations numériques) :
·
¸
−33. 355
ua =b
ea
33. 336
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
La relation entre la tracking error et le rendement excédentaire est obtenue
en calculant la variance résiduelle induite par cette distorsion ua :
·
¸T ·
¸·
¸
−33. 355
0.000 1
7. 5 × 10−5
−33. 355
2
2
σ a = eb
33. 336
33. 336
7. 5 × 10−5 5. 625 × 10−3
= 6. 195 5b
e2a
et donc la relation entre la tracking error et le rendement excédentaire est :
1
eba = √
T Ea
6. 195 5
= 0.401 76T Ea
21
5.2
La tracking error pour le gérant b
Similairement pour le gérant b, son univers étant celui des actifs 1 et 3
alors nécessairement la part de l’actif 2 dans le portefeuille (xb2 ) et dans le
benchmark (xbb,2 ) doit être nulle :
xb2 = 0, xbb,2 = 0
On peut réduire la matrice de covariance et le vecteur des rendements espérés
aux deux premiers actifs :
£
¤
rb = 0.02 0.10
·
¸
0.000 1 0.000 1
σb =
0.000 1 0.04
Le programme des tracking error efficiente pour chaque benchmark sélectionné est donc ces variables :

minx uTb σ b ub



sous les contraintes :
r) :
(40)
Pb (b
1.ub =0



rb .ub ≥ ebb
Le lagrangien associé à ce programme s’écrit :
1
eb − rb .ub xb )
Lb = uTb σ b ub + µb .(1.ub − 0) + λb (b
2
(41)
Le vecteur colonne ub étant l’instrument que l’on fixe, le gradient s’écrit :
dLb = uTb σ b +µb .1 − λb rb
(42)
Les conditions de premier ordre classiques d’annulation des dérivées du lagrangien reviennent alors à annuler ce vecteur ligne et donc nous donne :
uTb σ b +µb .1 − λb rb = 0
En réarrangeant cette expression, on obtient finalement l’expression de la
distorsion optimale :
T
−1 T
(43)
ub =λb σ −1
b rb −µb .σ b 1
Numériquement :
σ −1
b
=
·
10025. −25. 063
−25. 063 25. 063
22
¸
et donc :
T
σ −1
b rb
T
σ −1
b 1
·
10025. −25. 063
=
−25. 063 25. 063
¸
·
197. 99
=
2. 005
·
¸·
10025. −25. 063
=
−25. 063 25. 063
¸
·
9999. 9
=
0.0
0.02
0.10
¸·
1
1
¸
¸
Si on suppose que la contrainte de rendement est vérifiée avec égalité alors :
½
1.ub = 0
(44)
rb .ub = ebb

·
¸
·
¸
£
¤
197. 99
9999. 9


1 1 (λ
−µ
)=0

¸
¸
· 0.0
·2. 005
(45)
£
¤
9999. 9
197. 99


) = eba
−µ
 0.02 0.05 (λ
0.0
2. 005

¸
¸
·
·
£
¤ 9999. 9
£
¤ 197. 99


=0
−µ 1 1
λ 1 1

0.0
· 2. 005 ¸
·
¸
(46)
£
¤ 197. 99
£
¤ 9999. 9


0.02
0.05
0.02
0.05
λ
−
µ
=
e
b

a
2. 005
0.0
½
200. 00λb − 9999. 9µb = 0
(47)
4. 060 1λb − 200. 00µb = ebb
Après calculs, on trouve :
λb = 16. 65b
eb
et donc :
Aussi :
·
µb = 0.333 ebb
¸
·
¸
197. 99
9999. 9
−0.333b
eb
ub =16. 65 ebb
2. 005
0.0
·
¸
·
¸
197. 99
9999. 9
16. 65
−0.333
2. 005
0.0
eb
ub =b
·
−33. 433
33. 383
23
¸
(48)
(49)
La relation entre la tracking error et le rendement excédentaire est obtenue
en calculant la variance résiduelle induite par cette distorsion ub :
·
¸T ·
¸·
¸
−33. 433
0.000 1 0.000 1
−33. 433
2
2
σ b = ebb
33. 383
0.000 1 0.04
33. 383
= 44. 466b
e2b
et donc la relation entre la tracking error et le rendement excédentaire est :
1
ebb = √
T Eb
44. 466
= 0.149 96T Eb
5.3
Le portefeuille global induit
A partir de ces résultats sur les gérants a et b, on peut déterminer les caractéristiques des portefeuilles qui résulteront de ces activités subordonnées.
Pour cela, on détermine tout d’abord les portefeuilles gérés par a et b, avant
de déterminer le portefeuille du fund en fonction de la part que représente
chaque activité. Comme :
ea = 0.147 82T Ea
b
la distorsion optimale peut s’écrire en fonction de la tracking error de a :
¸
·
−33. 355
(50)
ua = b
ea
33. 336
¸
·
−33. 355
(51)
= 0.147 82T Ea
33. 336
Par conséquent le portefeuille détenu par le gérant s’il sature sa contrainte
sera :
xap = xab + ua



 a
−33. 355
xb (1)
=  xab (2)  + 0.147 82T Ea  33. 336 
0
0
Le vecteur xab devant vérifier 1.xab = 1, si l’on note xa = xab (1) alors xab (1) =
1 − xa . Aussi :




−33. 355
xa
xap =  1 − xa  + 0.147 82T Ea  33. 336 
0
0
24
De même pour le gérant b, on a :
Par conséquent :
ebb = 0.149 96T Eb
¸
·
−33. 433
ub =b
eb
33. 383
(52)
xbp = xbb + ub




xb
−33. 433

0
=  0  + 0.149 96T Eb 
1 − xb
33. 383
Si la part du portefeuille du gérant a dans le portefeuille du fund est α
alors :
xp = αxap + (1 − α)xbp
et donc après calculs on obtient :


α(xa + 0.147 82 (−33. 355) T Ea ) + (1 − α)(xb + 0.149 96T Eb (−33. 433))

α((1 − xa ) + 0.147 82(33. 336)T Ea )
xp = 
(1 − α)((1 − xb ) + 0.149 96 (33. 383) T Eb )


α (xa − 4. 930 5T Ea ) + (−α + 1) (xb − 5. 013 6T Eb )

α (−xa + 4. 927 7T Ea + 1)
= 
(−α + 1) (−xb + 5. 006 1T Eb + 1)
 


−4. 930 5αT Ea − 5. 013 6 (−α + 1) T Eb
αxa + (−α + 1) xb
+

α (4. 927 7T Ea )
α (−xa + 1)
= 
(−α + 1) (5. 006 1T Eb )
(−α + 1) (−xb + 1)
5.4
Benchmarks et tracking errors optimaux
Pour que le portefeuille soit efficient il est nécessaire que sa composition
vérifie :

 

−22. 964
1. 458 6
xp = rp  16. 712  +  −0.332 38 
6. 233 6
−0.125 37
où rp est le rendement espéré du portefeuille.
25
Par conséquent, pour que le portefeuille soit efficient il est nécessaire que :

 

−4. 930 5αT Ea − 5. 013 6 (−α + 1) T Eb
αxa + (−α + 1) xb

+

α (4. 927 7T Ea )
α (−xa + 1) (53)
(−α + 1) (5. 006 1T Eb )
(−α + 1) (−xb + 1)

 

−22. 964
1. 458 6



16.
712
−0.332
38 
r
+
= p
6. 233 6
−0.125 37
Dans le système précédent, le rendement espéré apparaît exogène. Evidemment cette valeur rp doit être égal au rendement espéré engendré par
le portefeuille sélectionné. Aussi le rendement espéré rp du portefeuille peut
s’exprimer en fonction de la part de chaque gérant et des tracking errors :
rp = α(rb,a + b
ea ) + (1 − α)(rb,b + ebb )
ea + (1 − α)b
eb
= αrb,a + (1 − α)rb,b + αb


a
αx
+
(−α
+
1)
x
b
£
¤

0.02 0.05 0.10 
α (−xa + 1)
=
(−α + 1) (−xb + 1)
+0.147 82αT Ea + 0.149 96(1 − α)T Eb
et donc :
rp = 0.08(α − 1)xb − 0.05α − 0.03αxa + 0.1
+0.147 82αT Ea + 0.149 96(1 − α)T Eb
(54)
Par conséquent, outre les 3 équations de (53), on doit ajouter l’équation (54).
Le système peut donc être écrit :


αxa + (−α + 1) xb


α (−xa + 1)




(−α + 1) (−xb + 1)
a
0.08(α − 1)xb − 0.05α − 0.03αx
 
 

−4. 930 5αT Ea − 5. 013 6 (−α + 1) T Eb
1. 458 6
−22. 964
 16. 712   −0.332 38  
α (4. 927 7T Ea )
 
 
= rp 
 6. 233 6  +  −0.125 37  − 
(−α + 1) (5. 006 1T Eb )
−0.1
1
0.147 82αT Ea + 0.149 96(1 − α)T Eb
On doit déterminer les tracking errors et les benchmarks en fonction (4 variables) en fonction des autres variables (α et rp ). Le système précédent peut
26




être réécrit pour avoir les variables endogènes (xa , xb , T Ea , T Eb ) en fonction
des paramètres α et rp . On obtient alors :
 a 

x
α
(1 − α)
−4. 930 5α −5. 013 6 (−α + 1)
b 


 −α
0
α (4. 927 7)
0
 x 


0
−(1 − α)
0
(−α + 1) (5. 006 1)   T Ea 
−0.03α 0.08(α − 1) 0.147 82α
0.149 96(1 − α)
T Eb


−22. 964rp + 1. 458 6


−α + 16. 712rp − 0.332 38

= 
 −(1 − α) + 6. 233 6rp − 0.125 37 
0.05α + rp − 0.1
5.5
Applications numériques
Si l’on suppose que les ressources sont également affectées entre les deux
gérants alors le système s’écrit :

 a
0.5
0.5
−4. 930 5(0.5) −5. 013 6 (−0.5 + 1)
x

  xb
−0.5
0
0.5
(4.
927
7)
0



0
−(1 − 0.5)
0
(−0.5 + 1) (5. 006 1)   T Ea
T Eb
−0.03(0.5) 0.08(0.5 − 1) 0.147 82(0.5)
0.149 96(1 − 0.5)


−22. 964rp + 1. 458 6


−0.5 + 16. 712rp − 0.332 38

= 
 −(1 − 0.5) + 6. 233 6rp − 0.125 37 
0.05(−0.5) + rp − 0.1
 
−3520. 2
−3525. 4 −3528. 6 105. 38
xa
 xb  
0.157 02
1. 356 1 1. 354 5 −39. 969

 
 T Ea  = 
−714. 37
−715. 01 −716. 08 21. 386
3. 136 6 × 10−2 0.270 89 0.670 09 −7. 984 1
T Eb
 a  

30. 887r − 6. 583 2
x
 xb  

−12. 468r + 3. 249 3

 

 T Ea  = 

13. 175r − 1. 678 4
−4
−2. 021 2 × 10 r + 0.399 23
T Eb






−22. 964rp + 1. 458 6
  16. 712rp − 0.832 38 


  6. 233 6rp − 0.625 37 
rp − 0.125
(55)
Comme on le voit, il est possible de combiner efficience des portefeuilles et
décentralisation de la gestion. Cependant, dans le cadre de la stratégie de
la tracking error, il ne suffit pas d’ajuster les tracking errors, il faut aussi
ajuster de manière continue les benchmarkṡ.
27

6
Ajustement du portefeuille pour corriger
les effets des tracking errors
Les distorsions optimales sont indépendantes des benchmarks choisis et
donc sont celles des exercices précédents. Aussi, les portefeuilles qui résulteront de la mise en place des tracking errors (en supposant que les contraintes
définies par celles-ci soient saturées) sont :




−33. 355
xa
xap =  1 − xa  + 0.147 82T Ea  33. 336 
0
0




−33. 433
xb

0
xbp =  0  + 0.149 96T Eb 
b
1−x
33. 383
Le problème du fund est de déterminer à la fois la part α qui doit être déléguée aux gérants et un portefeuille xcp que la direction doit mettre en oeuvre
elle-même pour rééquilibrer son portefeuille global et assurer l’efficience de
celui-ci.
On peut écrire le portefeuille du fund de la manière suivante :
¡
¢
xp = α αa xap + αb xbp + (1 − α)xcp
où xcp est le portefeuille administré directement par le centre. Pour que le
portefeuille soit efficient il est nécessaire que sa composition vérifie de surcroît :

 

−22. 964
1. 458 6
xp = rp  16. 712  +  −0.332 38 
6. 233 6
−0.125 37
où rp est le rendement espéré du portefeuille.
Le rendement espéré rp du portefeuille peut s’exprimer en fonction de la
part de chaque gérant et des tracking errors puisque :
Or :
rp = α (αa (rb,a + eba ) + αb (rb,b + b
eb )) + (1 − α)rc


0.2
£
¤
rb,a = 0.02 0.05 0.10  0.8  = 0.044
0


0.2
£
¤
rb,b = 0.02 0.05 0.10  0  = 0.084
0.8
28
rc =
et donc :
£


x1
0.02 0.05 0.10  x2 
x3
¤
rp = 0.044ααa + 0.084ααb + ααa b
ea + ααb ebb + (1 − α)rc
rp = 0.044ααa + 0.084ααb + 0.401 76ααa T Ea + 0.149 96ααb T Eb + (1 − α)rc
Enfin, le portefeuille xcp doit évidemment être un portefeuille (1.xcp = 1) et
donner le rendement rc (r.xcp = rc ). Par conséquent le système que l’on doit
résoudre est :
¡
¢

a
b
c
x
=
α
α
x
+
α
x

p
a
b
p


 p + (1 − α)xp 


−22. 964
1. 458 6




xp = rp  16. 712  +  −0.332 38 

6. 233 6
−0.125 37


r
=
0.044αα
+
0.084αα
+
0.401
76αα
T
E
 p
a
b
a
a + 0.149 96ααb T Eb + (1 − α)r c


c

1.xp = 1 ¤


£

0.02 0.05 0.10 .xcp = rc
ou en combinant les deux premières relations :


 

−22.
964
1.
458
6


¡
¢


α αa xap + αb xbp + (1 − α)xcp = rp  16. 712  +  −0.332 38 



6. 233 6
−0.125 37
r
=
0.044αα
+
0.084αα
+
0.401
76αα
T
E
+
0.149
96αα

p
a
b
a
a
b T Eb + (1 − α)r c


c

1.xp = 1 ¤


£

0.02 0.05 0.10 .xcp = rc
En explicitant la première relation vectorielle :

ααa xap1 + ααb xbp1 + (1 − α)xcp1 = −22. 964rp + 1. 458 6




ααa xap2 + ααb xbp2 + (1 − α)xcp2 = 16. 712rp − 0.332 38



ααa xap3 + ααb xbp3 + (1 − α)xcp3 = 6. 233 6rp − 0.125 37
rp = 0.044ααa + 0.084ααb + 0.401 76ααa T Ea + 0.149 96ααb T Eb + (1 − α)rc




xcp1 + xcp2 + x3pc = 1



c
0.02xp1 + 0.05xcp2 + 0.10x2pc = rc
avec :



−33. 355
xa
xap =  1 − xa  + 0.147 82T Ea  33. 336 
0
0

29



−33. 433
xb

0
xbp =  0  + 0.149 96T Eb 
b
1−x
33. 383
¡
¢
xp = α αa xap + αb xbp + (1 − α)xcp

Si l’on fixe initialement les benchmarks (et donc xa et xb ), les deux tracking
errors (T Ea et T Eb ), la répartition entre les deux gérants (αa et αb ), les
paramètres qui restent à déterminer sont α, les deux vecteurs xp et xcp (au
total 6 composantes) et les deux rendements espérés rp et rc . Au total, on a
donc 9 variables endogènes dans le système pour 9 équations (puisque chaque
ligne comprenant le vecteur colonne xp comprend trois lignes).
Si l’on se donne comme valeurs numériques :
αa = αb = 0.5
xa = 0.2 = xb
T Ea = 0.05 = T Eb
les portefeuilles gérées sont :




0.2
−33. 355
xap =  1 − 0.2  + 0.147 82(0.05)  33. 336 
0
0


−4. 652 7 × 10−2

1. 046 4
= 
0.0
xbp




0.2
−33. 433
 + 0.149 96(0.05) 

0
0
= 
1 − 0.2
33. 383


−5. 068 1 × 10−2

0.0
= 
1. 050 3
le système se réécrit :
 α
(−4. 652 7 × 10−2 ) + α2 − 5. 068 1 × 10−2 + 12 xcp1 = −22. 964rp + 1. 458 6

2


α

1. 046 4 + α2 0.0 + 12 xcp2 = 16. 712rp − 0.332 38

2


α
0.0 + α2 1. 050 3 + 12 xcp3 = 6. 233 6rp − 0.125 37
2
rp = 0.044 α2 + 0.084 α2 + 0.401 76 α2 (0.05) + 0.149 96 α2 (0.05) + (1 − 12 )rc




xcp1 + xcp2 + xcp3 = 1



c
0.02xp1 + 0.05xcp2 + 0.10xcp3 = rc
30

0.476 74α + 12 xcp − 5. 068 1 × 10−2 = −22. 964rp + 1. 458 6




0.523 2α + 12 xc2p = 16. 712rp − 0.332 38



0.525 15α + 12 xc3p = 6. 233 6rp − 0.125 37
rp = 7. 779 3 × 10−2 α + 12 rc




xcp + xc2p + x3cp = 1



c
0.02xp1 + 0.1xcp2 + 0.05xcp3 = rc
C’est ce système que l’on doit résoudre pour déterminer le portefeuille xcp et
la part α (si elles existent). Numériquement, on trouve :
α = 0.361 34


1. 529 4
xcp =  −0.209 84 
−0.319 53
rc = −6. 373 3 × 10−3
rp = 2. 492 3 × 10−2
On pourrait aussi changer la liste des exogènes, en se donnant par exemple
notamment le rendement espéré comme variable exogène, la part α.
31