1S Devoir n° 17 maison mardi 10 mai 2016 Exercice 1 : Un produit

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Devoir n° 17 maison
mardi 10 mai 2016
Exercice 1 :
Un produit de lavage pour lave-vaisselle est commercialisé en boîtes de 900 cm 3 contenant 200 doses.
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Les doses ont la forme d’un parallélépipède de dimensions x, y et x et sont emballées individuellement.
3
Pour économiser cet emballage, on cherche à minimiser la surface totale du parallélépipède.
1.
a. Faire un schéma du parallélépipède et exprimer y en fonction de x.
b. En déduire la surface S(x) du parallélépipède en fonction de x.
2.
a. Démontrer que S 0 (x) a le même signe que f (x) = x3 − 27.
b. Déterminer les réels b et c tels que f (x) = (x − 3)(x2 + bx + c).
3.
a. Déduire de la question précédente le signe de S 0 (x) sur R.
b. Dresser le tableau de variation de la fonction S sur R.
4. Le fabricant désire que les dimensions x et y de chaque dose soient des nombres compris entre 1 cm et 4 cm (
1 ≤ x ≤ 4 et 1 ≤ y ≤ 4
a. Existe t-il une valeur de x vérifiant ces conditions pour laquelle on obtient une surface minimale ? Justifier
b. Donner alors les dimensions de la dose et la surface correspondante.
Exercice 2 : [43 page 153]
(un ) est une suite arithmétique de premier terme u0 = 1 et de raison 3.
a. Donner le terme général de (un ).
b. Exprimer la somme Sn = u0 + u1 + u2 + . . . + un des termes consécutifs de (un ) en fonction de n.
c. Déterminer n tel que Sn = 145.
d. Déterminer n tel que Sn = 8400.
Exercice 3 : [TP 2 page 150-151]
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré
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mardi 10 mai 2016
Pour la question 2., écrire l’algorithme modifié ainsi que le programme que vous entrerez dans votre calculatrice.
Présentation en deux colonnes : Colonne de gauche, algorithme. Colonne de droite, programme.
Pour la question 3., il sera plus judicieux de modifier le programme et remplaçant la ligne
B prend la valeur 18500 par la ligne Lire (ou saisir) B
Exercice 4 : [TP 2 page 153]
Remplacer la phrase : " Combien doit-il mettre de tuyaux au minimum sur la première ligne pour empiler 160
tuyaux ? "
par " Combien doit-il mettre de tuyaux au minimum sur la première ligne pour empiler 630 tuyaux ? "
Bien sûr votre réponse devra être justifiée de façon précise.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré
2
Corrigé
Exercice 1 :
x/3
• deux rectangles de x par y, d’aire 2xy,
xy
x
• deux rectangles de y par d’aire 2 ,
3
3
x
x2
• deux rectangles de x par d’aire 2 .
3
3
y
900
x
= 4, 5 cm 3 .
1. a. Le volume du parallélépipède est égal à x × y × et vaut
3
200
x
13, 5
donc x × y × = 4, 5 ⇔ y = 2
3
x
1. b. La surface se compose de :
x
2
2
8
2
8 13, 5 2
36 2 2
donc S(x) = 2xy + xy + x2 = xy + x2 = x 2 + x2 =
+ x
3
3
3
3
3 x
3
x
3
2. a. S(x) =
4
36 4
−36 × 3 + 4x3 4x3 − 108
36 2 2
=
= 2 (x3 − 27)
+ x donc S 0 (x) = − 2 + x =
x
3
3
x
x2
x2
x
2. b. (x − 3)(x2 + bx + c) = x3 + bx2 + cx − 3x2 − 3bx − 3c = x3 + (b − 3)x2 + (c − 3b)x − 3c.
Pour avoir x3 − 27 = (x − 3)(x2 + bx + c), il faut donc que
• 3c = 27 donc c = 9 (termes constants).
• b − 3 = 0 donc b = 3 (coefficients de x2 ).
Nous obtenons donc bien x3 − 27 = (x − 3)(x2 + 3x + 9)
4
(x − 3)(x2 + 3x + 9)
x2
Cherchons le signe de x2 + 3x + 9 : ∆ = −27 donc x2 + 3x + 9 est toujours strictement positif.
Conclusion : S 0 (x) à le même signe que x − 3 mais n’est pas défini en 0.
3. a. Nous obtenons alors que S 0 (x) =
3. b. Nous en déduisons les variations de S sur R :
x −∞
f (x)
f
0
3
0
−
−
@
@
@
@
R
@
@
R
18
+∞
+
4. a. Si les dimensions x et y de chaque dose sont des nombres compris entre 1 cm et 4 cm ( 1 ≤ x ≤ 4 et 1 ≤ y ≤ 4. la
valeur de xpour laquelle on obtient une surface minimale est égale à 18 cm2 pour x = 3.
13, 5
Dans ce cas y = 2 = 1, 5 et les conditions voulues sont bien remplies.
x
4. b. Dans ce cas une dose à les dimensions suivantes : 3 cm × 1,5 cm × 1 cm.
Exercice 2 : [43 page 153]
a. (un ) est une suite arithmétique de premier terme u0 = 1 et de raison 3 donc un = u0 + n.r = 1 + 3n.
b. La somme des termes Sn = U0 + U1 + Un comporte n + 1 termes donc Sn =
3n2 + 5n + 2
.
2
n+1
n+1
(U0 + Un ) =
(1 + 1 + 3n =
2
2
32
et x2 = 9. Conclusion : Sn = 145 pour
c. Sn = 145 ⇔ 3n2 + 5n + 2 = 290 ⇔ 3n2 + 5n − 288 = 0 : ∆ = 3481 , x1 = −
3
n = 9.
227
d. Sn = 8400 ⇔ 3n2 + 5n + 2 = 16800 ⇔ 3n2 + 5n − 16798 = 0 : ∆ = 201601 , x1 = −
et x2 = 74. Conclusion :
3
Sn = 8400 pour n = 74.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré
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Corrigé
Exercice 3 : [TP 2 page 150-151]
1. a. L’algorithme calcule et affiche les valeurs des salaires annuels proposés
tant que le salaire chez alphamat etst supérieur au salaire chez betamat.
1. b. En éxécutant le programme, le dernier nombre affiché est 7.
Cela signifie qu’au bout de 7 années, le salaire chez betamat dépasse le salaire
chez alphamat.
Au total, 15 nombres auront été affichés.
2. Algorithme modifié et programme.
Solution :
3.
Part tâtonnement, nous trouvons que, pour que le salaire
cumulé soit meilleur dès la sixième année, il faut un salaire
initial de 19 259 euros.
Exercice 4 : [TP 2 page 153]
" Combien doit-il mettre de tuyaux au minimum sur la première ligne pour empiler 630 tuyaux ? "
n(n + 1)
Le nombre total de tuyaux est S = 1 + 2 + 3 + ... + n =
.
2
n(n + 1)
630 ⇔ n2 + n = 1260 ⇔ n2 + n − 1260 = 0
Pour empiler 630 tuyaux il faut donc
2
∆ = 5041 et x1 = −36 , x2 = 35. Il doit donc mettre 35 tuyaux sur la première ligne.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré
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