Universe Ratio By Jean-François BOULIER Head of Euro Fixed

Universe Ratio
By
Jean-François BOULIER
Head of Euro Fixed Income and Credits
Crédit Agricole Asset Management
90 boulevard Pasteur
75730 Paris cedex 15
[email protected]
Romain VERDIER
Engineer - EDF
1, place Pleyel
93200 Saint-Denis
[email protected]
Abstract
Performance measurement in the very competitive asset management industry makes use of
selected indices taken as benchmark for the evaluation of the value added by the portfolio
manager. For example, the Information Ratio (Sharpe, 1992) divides the excess performance
of a fund relative to the selected index by the corresponding tracking error. But the selection
of such an index brings some risk of its kind, that one can measure by the tracking errors of
one index vis à vis the other possible indices. This article suggest to use instead a measure of
the value added by the fund by comparing its performance to all possible portfolios invested
in the same universe. This leads to a measure of excess return and risk that lead to a ratio,
which we call Universe Ratio.
Ratio d’univers
By
Jean-François BOULIER
Responsable de la Gestion de Taux Euro et Crédit, CAAM
Romain VERDIER
Ingénieur, EDF
Introduction
La performance d’un fonds dépend en premier lieu de l’allocation d’actifs. L’allocation
stratégique consiste en tout premier lieu à choisir l’univers d’investissement puis à retenir une
allocation moyenne entre les classes d’actifs pour une période de 3 à 5 ans et qui reflète les
besoins de placement de l’institution ou de l’épargnant. Cette allocation se traduit par un
portefeuille de référence choisi par le client de l’Asset Manager. La valeur ajoutée du gérant
consiste à gérer le portefeuille en apportant si possible une valeur supplémentaire par des
choix tactiques et des choix d’instruments financiers. Tout écart de composition entre le
portefeuille de référence et le portefeuille réel se traduit par un risque de performance ex ante
et un écart de performance ex post.
Quand, pour simplifier l’exposé, le benchmark se résume à un indice, la valeur ajoutée de
l’Asset Manager actif se mesure classiquement par le ratio d’information (Sharpe, 1994).
Pourtant, cette mesure n’est pas sans défaut. En premier lieu, elle confère à l’indice retenu un
rôle de référent, or il n’est pas certain que les conséquences du choix de l’indice ait été
complètement analysées. En second lieu, tout écart à l’indice se traduit par un risque (tracking
error).
Changer d’indice amènerait une autre mesure de risque. Le choix d’un indice particulier n’est
donc pas exempt de risque.
L’objectif de cet article consiste précisément à élargir la notion de ratio d’information, en
ayant le moins possible de parti pris à l’égard de tel ou tel indice. Afin de s’affranchir de ce
choix, nous nous référons à l’univers plutôt qu’à un portefeuille représentant de cet univers.
Nous présentons un nouveau concept appelé ratio d’univers qui vise à mesurer la valeur
ajoutée du gérant sans faire le choix d’un indice particulier.
2
Le choix d’un benchmark n’est pas neutre
Plusieurs éléments entrent dans le choix d’un benchmark d’un portefeuille :
1. L’Asset Manager souhaite proposer à son client des fonds dont les styles de gestion
correspondent à ses souhaits d'investissement (différentes typologies existent: « gestion
prudente, équilibrée, dynamique »; gestion géographique « actions françaises, européennes,
japonaises », ou bien par type de produits « Actions, obligations »): le choix du benchmark
dépendra donc primordialement du style d'investissement envisagé par l'asset manager et de
l'allocation stratégique choisie.
2. La notoriété de l’indice.
3. La facilité à le répliquer.
La première façon de comparer les performances d’un fonds ou d’un titre par rapport à un
benchmark est de considérer les différences de rendements sur une période donnée ; le ratio
d’information de Sharpe [Sharpe, 1994] prend en compte les risques encourus, en rapportant
ce différentiel de rendement à l’écart-type de la différence de rendement :
r=
RP R B
RP RB
La tracking-error, qui, sous sa forme annualisée, s’exprime par
TE ( P, B) = M
1 n
RP (t ) RB (t ) μ RP RB
T 1 t =1
(
)
2
(où μ RP RB est la moyenne des rendements), peut aussi être utilisée comme mesure de risque
relative.
Toutefois cette mesure reste tributaire du choix d’un benchmark, et ce choix n’est pas neutre.
3
Montrons-le sur deux exemples simples :
1er exemple : un portefeuille Buy & Hold
Un portefeuille « Buy & hold » constitué de 9 actions françaises initialement équipondérées
(Vivendi, Carrefour, Lafarge, Air Liquide, Danone, LVMH, Bouygues, Michelin, Total) voit
naturellement les pondérations de ces différents titres fluctuer dans le temps (figure 1)1.
100%
TOTAL
90%
MICHELIN
80%
BOUYGUES
70%
LVMH
60%
DANONE
50%
40%
AIR LIQUIDE
30%
LAFARGE
CARREFOUR
20%
10%
VIVENDI
jan
v73
jan
v74
jan
v75
jan
v76
jan
v77
jan
v78
jan
v79
jan
v80
jan
v81
jan
v82
jan
v83
jan
v84
jan
v85
jan
v86
jan
v87
jan
v88
jan
v89
jan
v90
jan
v91
jan
v92
jan
v93
jan
v94
jan
v95
jan
v96
jan
v97
jan
v98
jan
v99
jan
v00
jan
v01
jan
v02
jan
v03
jan
v04
0%
Figure 1 - Pondération des 9 titres dans un portefeuille Buy & Hold. Pondérations initiales de 11% au
01/01/1973
La comparaison de ce portefeuille avec différents benchmarks en terme de tracking-error
montre déjà des différences significatives :
BUY& HOLD PORTFOLIO
CAC 40
SBF 250
EuroNext 100
MSCI France
Tracking-error annualisée
9.38%
9.29%
11.78%
9.29%
La gestion de ce portefeuille apparaît ainsi nettement plus risquée face à l’Euronext 100 que
face au CAC 40. Choisir un indice européen plutôt qu’un indice purement français n’est donc
pas sans conséquences.
1
Sources: Datastream
4
2e exemple : un portefeuille à poids constant (CRP)
Sur la base des mêmes 9 titres, nous construisons un portefeuille constamment équipondéré
(CRP, Constant Rebalanced Portfolio), les rebalancements étant effectués à un rythme annuel
et nous faisons la même analyse que précédemment
C.R.P.
CAC 40
SBF 250
EuroNext 100
MSCI France
Tracking-error annualisée
7.50%
7.33%
7.96%
7.74%
Il apparaît là encore des différences notables entre les différents indices. Ce faisant, nous
capturons là le risque spécifique lié au fait que le portefeuille de 9 titres n’est pas diversifié. Il
est ainsi intéressant de comparer entre eux différents indices, qui peuvent être considérés
comme des portefeuilles diversifiés.
3e exemple : Cartographie des indices
En calculant les tracking-errors des différents indices entre eux, on peut dresser une
cartographie de ces indices à l’aide d’une analyse factorielle2, où les 2 premiers axes portent
2 = 94% des poids :
0.25
DJ EURO STOXX AUTO
0.2
0.15
0.1
DJ EURO STOXX INDEX
SBF120
DJ EURO 50
0.05
Nouveau Marché
CAC 40
SBF250
IT CAC
0
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
-0.05
SBF80
-0.1
EURONEXT 100
MSCI FRANCE
-0.15
-0.2
Second Marché
-0.25
Figure 2 – Représentation sur les 2 premiers axes de l’analyse factorielle sur les distances entre indices.
2
Cf Annexe 1 pour les résultats chiffrés et la méthode employée.
5
La figure 2 montre clairement que la dispersion entre indices peut être importante. La
proximité spatiale de certains indices provient du fait que des mêmes titres entrent dans la
composition de plusieurs de ces indices, les rendant ainsi très corrélés. Le cas du Nouveau
Marché ou de l’indice sectoriel DJ EURO STOXX AUTO montre a contrario que le marché
ne peut pas être résumé par un seul groupe d’indices.
Dès lors, comment définir une mesure de risque qui prenne en compte non pas un seul indice,
mais plusieurs (comme par exemple tous les indices existants sur un univers de titres donné),
de manière à donner un meilleur aperçu des risques véritablement encourus par l’asset
manager.
Nous sommes ainsi amenés à définir une mesure de risque multi-benchmarks au sein d’un
même univers d’investissement. Le paragraphe qui suit formalise et modélise une telle mesure
de risque.
Mesure de risque d’univers
On considère un univers d’investissement constitués de n actifs de prix Ai (t ) et de
rentabilités : Ri (t ) =
Ai (t )
1 , ayant une espérance μ i et une matrice de corrélation .
Ai 1 (t )
Parmi l’ensemble des portefeuilles que l’on peut construire sur cet univers d’actifs, nous nous
restreignons ici à des portefeuilles où le poids wi (1 i n ) des différents actifs reste constant
dans le temps (CRP), ce qui revient à dire que l’asset manager ne change pas son optique de
gestion et reste fidèle à son allocation stratégique [Séquier, 2000]. On interdit par ailleurs les
ventes à découvert ( wi 0 ). Dès lors, l’ensemble des portefeuilles possible est :
n
n = w = ( w1 , K , wn ) [0,1] n tel que wi = 1 i =1
n
Un portefeuille w = ( w1 , K , wn ) de n aura donc pour rentabilité R P (t ) = i =1 wi Ri (t ) , c’est2
à-dire sous forme vectorielle R P (t ) = wR(t ) , et aura pour variance P = ww . En supposant
6
par ailleurs que les rendements suivent une loi normale3, les rendements d’un portefeuille de
n suivront une loi normale N ( wμ , ww) .
Dès lors, la tracking-error entre un portefeuille P et un benchmark B, tous deux construits sur
n , sera :
2
2
TE ( P, B) = P + B 2 wP wB
= ( wP wB )( wP wB )
Ainsi, si l’univers est réduit à 2 actifs notés x et y , 2 = {( w,1 w) [0,1]1 tels que w 0}et la
tracking-error de P par rapport à B s’écrit :
2
2
TE ( P, B) = x + B + 2 xy wP wB
Et on vérifie que, P étant donné, le portefeuille de 2 qui minimise la tracking-error est bien
entendu P lui-même.
Cet exemple introductif nous permet d’appréhender une nouvelle fois le problème du choix
du benchmark : pour un portefeuille donné, tous les benchmarks ne se valent pas, ce qui
revient à dire qu’ils ne contribuent pas tous à parts égales à la tracking-error totale de
l’univers par rapport à ce portefeuille ; en pourcentage, un benchmark donné n’y contribue
que pour
TE ( P, B)
n
TE ( P, B)dwB
Dès lors, pour mesurer le caractère plus ou moins risqué d’un benchmark, nous introduisons
une tracking-error moyenne sur l’univers des benchmarks possible, à comparer avec la
tracking-error d’un benchmark particulier.
En choisissant de pondérer les benchmarks par une fonction de poids p : n R
ce que l’intégrale sur l’hypersurface n soit définie, c’est-à-dire
n
de façon à
p ( w)dw < , nous
définissons la tracking-error d’univers d’un portefeuille P par :
3
L’hypothèse de normalité des rendements a été étudiée depuis longtemps : [Mandelbrot, 1963], [Fama, 1965] et
plus récemment [Aparicio et Estrada, 2001] sur les actions européennes. Ces derniers montrent que
l’approximation normale ne peut être retenue s’agissant des rendements journaliers, mais que son utilisation est
possible s’agissant de rendements mensuels.
7
M ( P) :=
n
TE ( P, w) p ( w)dw
n
p ( w)dw
En supposant les benchmarks équipondérés ( p ( w) = k ), le calcul4 montre que le poids total
porté par l’univers est
p ( w)dw = k n dx =
n
n 1
k n
.
(n 1)!
n
où n 1 = w = ( w1 , K , wn ) [0,1] n 1 tel que wi 1 est la sphère unité en dimension n-1.
i =1
Explicitons cette tracking-error d’univers sur quelques cas particuliers.
Cas d’un univers de 2 actifs corrélés avec benchmarks équipondérés
En posant n=2 et p ( w) = k , le risque d’univers d’un portefeuille Py = ( y,1 y ) 2 est :
M ( Py ) =
2
TE ( P, w) p ( w)dw
2
p ( w)dw
2
=
2
k 2 x + y 2 xy y w1 dw1
1
k 2
2
1
1
2
2
= x + y 2 xy y + 2
4 Et le portefeuille ayant le risque d’univers le plus faible est donc le portefeuille P1 / 2 pour
lequel
M ( P1 / 2 ) =
1
2
2
x + y 2 xy
4
Cas d’un univers de 2 actifs corrélés avec restrictions sur les portefeuilles possibles
Si des contraintes sur l’allocation d’actifs sont imposés, comme par exemple une contrainte
visant à interdire les portefeuilles trop déséquilibrés (c’est-à-dire investis à plus de % sur un
actif, la fonction de poids s’écrit, avec >50% :
4
Nous renvoyons en annexe les détails mathématiques
8
k si 1 w p ( w,1 w) = sinon
0
Et la mesure de risque est :
2
M ( Py ) =
2
k 2 x + y 2 xy 1
y w1 dw1
k 2
2
1
1 1 2
2
=
x + y 2 xy y + 2 1
2 2 2
1
1
2
2
x + y 2 xy . Ce
qui est toujours minimale pour y=1/2 avec M ( P1 / 2 ) =
2 1
2
minimum est une fonction croissante de , ce qui traduit que, si est grand et qu’ainsi des
portefeuilles très déséquilibrés sont autorisés, cela vient « peser » sur la tracking-error
d’univers.
Figure 3 - Tracking error d'univers en 2 dimensions avec contraintes sur l'allocation d'actifs.
Cas d’un univers de n actifs décorrélés avec benchmarks équipondérés
En supposant à nouveau que tous les portefeuilles sont possibles et équipondérés, et que les
rendements des actifs sont décorrélés = diag( 12 , K , n2 ) , on peut calculer aisément la
mesure de risque d’univers d’un portefeuille wP = ( wP1 ,K, wPn ) de n , en faisant
l’approximation (faible volatilité des rendements) :
9
n
TE ( P, w) i2 (wPi wi )
i =1
On montre alors que5 :
n
wPi2
w
4(n 1) M ( P) = (n 1)! k2 2 Pi +
n! n(n + 1)! i =1
(n 1)!
Ainsi, la tracking-error moyenne d’un portefeuille par rapport à l’ensemble des portefeuilles
possibles est fonction
•
De la fraction de richesse wPi placée sur chaque titre,
•
De la volatilité des actifs
Par dérivation de la formule précédente, on en déduit que le portefeuille ayant la trackingerror d’univers la plus faible est le portefeuille équipondéré wPi =
1
pour tout i, pour lequel
n
3n 5 n 2
Mmin ( P) = 2
k
n (n + 1) i =1
En particulier, le portefeuille de variance minimale défini comme w pvm =
11
, n’est pas le
11
portefeuille de tracking-error d’univers la plus faible.
Cas d’un univers de n actifs corrélés avec benchmarks équipondérés
En levant la contrainte sur les corrélations, mais en gardant l’approximation sur la trackingerror, la mesure de risque d’univers d’un portefeuille donné wP = ( wP1 ,K, wPn ) donne :
n
M ( P) = k ,l wPk wPl k ,l
n2
2
(n 1) n 2 2(n 1)!
n3
k +
k ,l w
4
+
+2
k , l Pl
2
n k ,l
n (n + 1) k =1
n 1 l < k n
(n 1)(n + 1)! (n 1)!n!
Qui est minimale pour les ( wP1 , K , wPn ) vérifiant le système :
A wP = B
5
Voir le mémoire universitaire de R. Verdier, Mesure de risque et Risque de benchmark, Paris IX Dauphine,
2004
10
b1 si i j
où B = M et bi = l il , et par ailleurs A = (ai , j ) avec ai , j = i2, j
i sinon
b n
Ratio d’univers
Par analogie avec le ratio d’information de Sharpe mentionné ci-dessus, il est maintenant
possible de définir un ratio d’information qui ne soit plus tributaire d’un benchmark
particulier. Pour un portefeuille et un univers d’actifs donnés, on note ru le ratio d’univers :
ru =
R P Ru
M (P)
où Ru est la rentabilité de l’univers, que l’on calcule comme suit (avec p ( w) = k ) :
Ru =
n
RB ( w) p ( w)dw
n
p ( w)dw
n
k n Ri xi dx n 1
i =1 =
n
k
(n 1)!
n
= (n 1)!
i =1
Ri R1 + K + Rn
=
n!
n
La rentabilité d’univers se ramène donc à la moyenne arithmétique des rentabilités des actifs.
Applications possibles
L’introduction d’un ratio d’univers permet de pouvoir comparer des portefeuilles entre eux.
Pour effectuer cette comparaison, il est nécessaire de connaître la rentabilité des portefeuilles
en question, ainsi que leur risque par rapport à cet univers. En connaissant leur position sur
chacun des actifs de l’univers, cette méthode permet donc d’établir un palmarès de fonds
d’investissement qui reflètera leur rentabilité corrigée du risque.
Palmarès de fonds Actions françaises
Afin d’illustrer cette idée, nous étudions un panel de 29 fonds Actions Françaises :
11
Nous choisissons comme univers d’investissement un ensemble de 37 titres6, principalement
pris sur le premier marché d’Euronext afin de disposer des données sur une période
suffisamment longue.
La rentabilité Ru de cet univers est calculée à partir des rentabilités de chacun des titres. Nous
obtenons :
Ru=13.28 %
Pour calculer le ratio d’univers d’un fonds comme indiqué ci-dessus, il faudrait connaître la
position du fonds sur chaque actif de l’univers (à supposer que le fonds investisse uniquement
dans cet univers). Or nous ne disposons que de la valorisation totale du fonds.
Une alternative pour refléter le risque d’univers est alors de calculer la tracking-error du fonds
par rapport à des CRP générés aléatoirement (de manière uniforme) et d’en faire la moyenne,
ce qui est l’idée sous-jacente aux développements mathématiques ci-dessus.
6
Voir en annexe 2 la liste des valeurs
12
Nous obtenons alors le classement suivant, en fonction du ratio d’univers ru de chacun des
fonds :
Il apparaît que la tracking-error d’univers se situe globalement entre la tracking-error des
fonds face au CAC 40 et au second marché (voir annexe 3).
13
Conclusion
Le choix de l’univers d’investissement est une décision capitale sous jacente à l’allocation
stratégique. Mesurer la valeur ajoutée de la gestion relativement à l’univers est le but du ratio
d’univers. Comme nous l’avons montré, le choix d’un indice particulier dans l’univers a
l’inconvénient de spécifier un portefeuille parmi d’autres possibles. Si un tel choix s’avère
intéressant quand on compare les performances entre les classes d’actifs, ce choix est
beaucoup plus discutable intra classe. Le ratio d’univers conserve les caractéristiques (rapport
rentabilité/risque) des ratios de Sharpe et ratio d’information, mais limite le risque de
privilégier un indice parmi d’autres, qui est, comme nous l’avons montré par le calcul des
tracking errors entre indices, tout à fait substantiel.
D’ailleurs, les classements sur cinq ans de fonds actions françaises ont illustré le biais induit
par le choix d’un indice particulier, qui peut être dans certains cas de pure convenance et non
fondé sur un choix de l’investisseur.
Comme nous l’avons indiqué, le ratio d’univers permet également d’incorporer des
contraintes de placement (pourcentage maximum de détention de titres par exemple) ou de
liquidité/capitalisation. Une telle idée avait d’ailleurs été retenue dans les années 90 pour la
création d’un indice de comparaison des Caisses de Pensions Suisses. L’idée peut être raffinée
dans plusieurs dimensions, la mesure de risque notamment pouvant être plus sophistiquée
(VaR, CvaR,…)
Le numérateur fait apparaître non pas la performance d’un indice, mais une performance
moyenne des portefeuilles admissibles dans l’univers, conformément aux contraintes. Le
temps de calcul de tel ratio eut été rédhibitoire il y a une dizaine d’années. Tel n’est
évidemment plus le cas. C’est pourquoi nous recommandons cette mesure plus juste et moins
sujette au risque du choix d’un indice particulier.
14
Bibliographie
- Aparicio F, Estrada J., Empirical distribution of stock returns : European securities markets,
1990-95, European Journal of Finance, 7, p.1-21, 2001.
- Boulier J.F., Lardic, Taillard, Investir longtemps, Quants n° 36, 1999
- Mandelbrot B., The variation of certain speculative Prices, Journal of Business, Vol. 36, n°4,
p.394-419, 1963
- Séquier P., Le point sur l’allocation d’actifs, Banques & Marchés n° 49, p.54-57, nov-dec
2000
- Sharpe W, The Sharpe Ratio, Journal of Portfolio Management, 1994.
15
Annexe 1 : analyse factorielle sur tableau de distance
Précisons la méthode employée dans notre étude. On note i,j les distances entre indices en terme de trackingerror. Le problème est alors de représenter chaque indice i par un vecteur x de Rq tel que pour tout i, j, d(xi,xj)
i,j où d est la distance euclidienne sur Rq.
On adopte les notations suivantes :
•
•
d i , j = d ( xi , x j ) avec xi, xj dans Rq
d i2,• =
g=
1
1
1
d i2, j , d •2, j = d i2, j , et d •2,• = 2
n i
n j
n
d
2
i, j
. Le barycentre des xi est alors
i, j
1 n
xk .
n k =1
•
~
xi = xi g
•
<.,.> le produit scalaire usuel
•
Et pour une matrice A, on note sa norme
On remarque déjà que
A =
i, j
ai2, j .
1
<~
xi , ~
x j >= d i2, j d i2,• d •2, j + d •2,• si bien que l’approximation d(xi,xj) i,j
2
(
)
implique que
1
<~
xi , ~
x j > d i2, j d i2,• d •2, j + d •2,•
124444244443
(
)
= ( i , j )
Le problème posé revient alors à trouver :
min
x1 ,..., xn R n
[< ~x , ~x
i
]
2
j
> (i, j ) , c’est-à-dire
i, j
min
X matrice centrée n q centrée
XX Où est la matrice symétrique de terme général (i,j).
On montre alors que, lorsque les q plus grandes valeurs propres de la matrice : 1,…,q sont simples et
positives, les seules solutions du problème sont définies par
X = ( x1 ,..., xq ) où xk = k u k et les u k sont
les vecteurs propres orthonormés de la matrice associés aux valeurs propres 1,…,q.
Le ratio
q =
12 + ... + 2q
i, j
(i, j ) 2
s’interprète comme une mesure de la qualité relative de l’approximation : si
q 1 , l’approximation est alors bonne.
16
Figure 4 - Distances des indices entre eux en terme de tracking-error annualisée
17
Annexe 2 : Liste des valeurs Actions Françaises
18
Annexe 3 : rentabilités annuelles moyennes et tracking-error annualisée des fonds par
rapport à l’univers et 3 indices de marché
19