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1er ES1
DEVOIR A LA MAISON N° 3
A rendre pour ……………………………………………
EXERCICE 1 :
Le gouvernement d’un pays envisage de baisser un impôt de 30 % en 5 ans.
1. La première année, cet impôt baisse de 5 %, la 2ème année, la baisse est de 1% et la 3ème
année, la baisse est de 3 %.
a. Quelle est la baisse, en pourcentage, de cet impôt au terme de ces 3 premières années ?
Arrondir le résultat au dixième.
b. Pour atteindre son objectif, quel pourcentage annuel de baisse doit décider le
gouvernement, en supposant que ce pourcentage est le même sur les 2 dernières années.
Arrondir le résultat au dixième.
2. Si le pourcentage de baisse avait été le même pour les 5 années quel aurait été ce
pourcentage ? Expliquer votre démarche et arrondir le pourcentage au centième.
EXERCICE 2 :
Le graphique ci-dessous, représente les coûts de
production et la recette d’une entreprise, en
fonction de la quantité de produits vendus.
1. A l’aide du graphique, répondre aux questions
suivantes :
a. Si l’entreprise vend 5 tonnes de produit, quels
seront sa recette et ses coûts de production.
Dans ce cas, l’entreprise réalise-t-elle un
bénéfice ou une perte ? De combien ?
b. Si la recette de l’entreprise s’élève à 360
milliers d’euros, quelle quantité de marchandise
a-t-elle vendue ?
Quels sont alors ses coûts de production ?
c. Quelles quantités doit produire l’entreprise pour être rentable ? Justifier votre
réponse.
d. Quelle quantité doit produire l’entreprise pour réaliser un bénéfice maximum. Justifier
la réponse. Quel est alors ce bénéfice maximum ?
2. Les coûts de production et la recette, en milliers d’euros, sont donnés par les fonctions
C et R définies sur [0 ; 12] par : C(q) = q3 – 12q2 + 60q et R(q) = 40 q où q est la quantité
de produits vendus en tonne.
a. Déterminer par le calcul pour quelles quantités de produits vendus l’entreprise est
rentable. Ces résultats sont-ils cohérents avec la première question ?
b. Déterminer l’ expression algébrique de la fonction bénéfice B
c. A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à l’unité près de la quantité
pour laquelle l’entreprise réalise un bénéfice maximal ainsi qu’une valeur approchée aux
milliers d’euros près de ce bénéfice maximal. Vous expliquerez votre démarche.
CORRIGE DU DEVOIR A LA MAISON 3
EXERCICE 1 :


1. a. CMglobal = 1 
5  
1  
3 
  1 
  1 
 =0,95 x 0,99 x 0,97 = 0,912285
100   100   100 
0,912
Donc t (0,912– 1)x 100 8,8 L’impôt a baissé d’environ 8,8 % sur les 3 premières années.
b. Soit t le pourcentage de baisse annuel que doit décider le gouvernement pour atteindre son
objectif :
t
t 
30

= 0,7 donc 1 –
=
1 
  0,912285  1 
100
100
 100 
2
0,7
0,912285
0,876 Donc t
12,4
Le gouvernement doit donc baissé l’impôt d’environ 12,4 % chacune des 2 dernières années.
t 5
t
2. Soit t le pourcentage de baisse cherché :(1 –
) = 0,7 donc 1 –
= 5 0,7 0,9311
100
100
Donc t (1 – 0,9311)x 100 = 6,89
Si le pourcentage de baisse avait été le même sur les 5 ans, il aurait été d’environ 6,89 %
par an.
On peut aussi approcher ce taux à la calculatrice, avec différents tableaux de valeurs de la
x 5
fonction f définie par f(x) = (1 –
)
100
EXERCICE 2 :
1. R(5) = 200 C(5) 125 B(5) = 200 – 125 = 75
Si l’entreprise vend 5 tonnes de produits, la recette est de 200 000 € et les coûts de
production d’environ 125 000 € donc l’entreprise réalise un bénéfice d’environ 75 000 €.
b. 360 a pour antécédent 9 par la fonction R et C(9) = 300
Si la recette de l’entreprise s’élève à 360 milliers d’euros l’entreprise vend environ 9 tonnes
de produits et les coûts de production s’élèvent à 300 000 €.
c. L’entreprise est rentable lorsque la recette est supérieure au coût. La droite représentant R est
au dessus de la courbe représentant C sur l’intervalle [ 2 ; 10 ]
Donc l’entreprise est rentable pour une production comprise entre 2 tonnes et 10 tonnes de
produits.
d. On regarde sur [2 ; 10] l’abscisse pour laquelle l’écart entre les 2 courbes est le plus grand : le
bénéfice est maximum à peu près pour une production de 7 tonnes de produits ce qui
correspond à un bénéfice d’environ 100 000 € .
2. a. R(q) > C(q)
40 q > q3 – 12q2 + 60q
–q3 + 12q2 – 20q > 0
q (- q2 + 12q – 20) > 0
- q2 + 12q – 20 > 0 car q ≥ 0
On étudie le signe du trinôme - q2 + 12q – 20
= 64 donc le trinôme a deux racines x1 = 2 et x2 = 10
Comme a = - 1 < 0 , - q2 + 12q – 20 est positif sur ] 2 ; 10 [
Donc on peut donc conclure que l’entreprise est rentable pour une production strictement
comprise entre 2 et 10 tonnes.
b. B (q) = R(q) – C(q) = – q3 + 12q2 – 20q
c. En réalisant un tableau de valeurs de B sur [0 ; 12] avec un pas de 1 , on trouve que B admet un
maximum en environ 7 et que B(7) = 105 : le bénéfice est donc maximum pour une production de
7 tonnes et il est égal à 105 000 €.
On peut aussi tracer la courbe représentative de B et lire graphiquement le maximum avec TRACE
ou G-solv