Lycée Henri IV Chap 6 : suites négligeables et équivalentes

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Chap 6 : suites négligeables et équivalentes
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Suites négligeables et équivalentes
I Suite négligeable devant une autre
1.1 Définition
Définition 1.1
Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles.
On dit que la suite (un ) est négligeable devant la suite (vn ) si et seulement si il existe une suite (εn ) et un rang
N tels que :
1. εn −→ 0
n→+∞
2. ∀n ≥ N, un = εn vn
On note alors :
un
◦(vn )
=
+∞
exemples : en cours
Attention : à la notation un = ◦(vn ) ( dite notation de Landau) car ce n’est pas une vraie égalité !
+∞
Elle signifie juste que (un ) appartient à l’ensemble des suites négligeables devant (vn ).
Ainsi si un = ◦(vn ) et wn = ◦(vn ) alors, en général, ∀n ∈ N, un 6= wn ...
+∞
+∞
Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls on dispose d’une propriété plus pratique pour prouver qu’une
suite est négligeable devant une autre :
Propriété 1.2
Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles.
si (vn ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang alors :
un
◦(vn )
=
+∞
⇔
lim
n→+∞
un
=0
vn
preuve : en cours
exemples : en cours
Remarques :
– si une suite (un ) est négligeable devant la suite nulle, alors la suite (un ) est la suite nulle :
un = ◦(0)
⇒
+∞
∀n ∈ N, un = 0
– étant donné trois suites (un ), (vn ) et (wn ), alors on définit la somme vn + ◦(wn ) par :
un = vn + ◦(wn ) ⇔ un − vn = ◦(wn )
+∞
+∞
1.2 lien avec les limites
Théoreme 1.3
Soient (un ) une suite réelle et k un réel. Alors :
lim un = k
n→+∞
⇔
un = k + ◦(1)
+∞
en particulier
lim un = 0
n→+∞
⇔
un = ◦(1)
+∞
exemples : en cours
preuve : en cours
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II opérations sur les petits ”o”
2.1 le petit ”o” d’un petit ”o” est un petit”o”
Propriété 2.1 : La relation ” ◦ ” est transitive, ce qui signifie que, si (un ), (vn ) et (wn ) sont trois suites réelles,
alors :
( un = o(vn )
+∞
et
vn = o(wn ) )
+∞
⇒
un = o(wn )
+∞
exemples : en cours
preuve : en cours
2.2 les petits ”o” absorbent les constantes multiplicatives
Propriété 2.2 : Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles, alors :
∀λ ∈ R,
⇒
un = o(vn )
+∞
λun = o(vn ),
+∞
⇔
∀λ ∈ R,
λ.o(vn ) = o(λvn ) = o(vn ),
+∞
+∞
exemples : en cours
preuve : en cours
2.3 avec l’addition et la multiplication tout va bien
Propriété 2.3 :
Soient (un ), (vn ), (u0n ) et (vn0 ) quatre suites réelles. Alors
1. Avec l’addition tout va bien :
)
un = o(vn ))
+∞
u0n = o(vn )
⇒ un + u0n = o(vn )
+∞
+∞
2. Avec la multiplication tout va bien (1) :
un = o(vn ))
+∞
⇒
un × u0n = o(vn × u0n )
+∞
3. Avec la multiplication tout va bien (2) :
un = o(vn ))
+∞
u0n = o(vn0 )
)
⇒ un × u0n = o(vn × vn0 )
+∞
+∞
exemples : en cours
preuve : en cours
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III petits ”o” usuels
Propriété 3.1 :
Soient α, β et a trois réel strictement positifs. Alors :
1. (ln n)β = o(nα )
2.
a>1
an = o(n!)
4.
n! = o(nn )
+∞
3.
+∞
nα = o(an )
⇒
+∞
+∞
et si α < β alors :
5.
nα = o(nβ )
6. (ln n)α = o (ln n)β
+∞
+∞
preuve : partielle, en cours
IV suites équivalentes
4.1 Définition
Définition 4.1
Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles.
On dit que la suite (un ) est équivalente à la suite (vn ) si et seulement si il existe une suite (ϕn ) et un rang N
tels que :
1. ϕn −→ 1
n→+∞
2. ∀n ≥ N, un = ϕn vn
On note alors :
∼
un
+∞
vn
exemples : en cours
Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls on dispose d’une propriété plus pratique pour prouver que deux
suites sont équivalentes :
Propriété 4.2
Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles.
si (vn ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang alors :
un
∼
+∞
vn
un
=1
n→+∞ vn
⇔
lim
preuve : en cours
exemples : en cours
4.2 signe de deux suites équivalentes
Définition 4.3
Soient (un ) et (vn ) deux suites équivalentes. Alors :
1. (un ) et (vn ) sont de même signe à partir d’un certain rang.
2. si (un ) est non nulle à partir d’un certain rang alors (vn ) est aussi non nulle à partir d’un certain rang.
preuve : en cours
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4.2 limite de deux suites équivalentes
Définition 4.4
Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles. Alors :
1. Si un ∼ vn et si vn −→ l ∈ R alors
+∞
n→+∞
un −→ l
n→+∞
2. si un −→ l ∈ R avec l 6= 0 alors
n→+∞
un ∼ l
+∞
preuve : en cours
Attention :
– dans la deuxième propriété il faut absolument avoir l 6= 0
– si (un ) ∼ (0) alors la suite (un ) est nulle à partir d’un certain rang.
+∞
Définition 4.5
Soient (un ) et (vn ) deux suites équivalentes. Alors :
1. Les deux suites sont de même nature : elles convergent ou divergent toutes les deux
2. si un −→ l ∈ R
n→+∞
alors
vn −→ l ∈ R
n→+∞
preuve : en cours
4.3 lien avec les petits ”o”
Définition 4.6
Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles. Alors :
un ∼ vn
⇔
+∞
un = vn + o(vn )
+∞
preuve : en cours
Proprit́é 4.7
Soient (un ), (vn ) et (wn ) trois suites réelles.
Si
un ∼ vn
et
+∞
vn = o(wn )
+∞
Alors
un = o(wn )
+∞
preuve : en cours
4.4 relation d’équivalence
Définition 4.8
l’équivalence entre les suites est une relation d’équivalence, ce qui signifie qu’elle est :
– réflexive :
un ∼ un
+∞
– symétrique :
u n ∼ vn
+∞
⇒
vn ∼ un
+∞
– transitive :
(un ∼ vn
+∞
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et
vn ∼ wn
+∞
4
)⇒
un ∼ wn
+∞
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preuve : en cours
V opérations sur les équivalents
5.1 avec la multiplication, la division et les puissances tout va bien
Propriété 5.1 :
Soient (un ), (vn ), (u0n ) et (vn0 ) quatre suites réelles. Alors
1. Avec la multiplication tout va bien (1) :
u n ∼ vn
⇒
+∞
( ∀k ∈ R, kun ∼ kvn )
+∞
2. Avec la multiplication tout va bien (2) :
un ∼ vn
+∞
u0n ∼ vn0
)
⇒ un × u0n ∼ vn × vn0
+∞
+∞
3. Avec la division tout va bien :
un ∼ vn
)
+∞
u0n ∼ vn0
+∞
et
vn0 6= 0 à partir d’un certain rang
⇒
vn
un
∼
u0n +∞ vn0
4. Avec les puissances tout va bien :
un ∼ vn
+∞
et un > 0 à partir d’un certain rang ⇒
α
( ∀α ∈ R+ , uα
n ∼ vn )
en particulier
un ∼ vn
+∞
et un > 0 à partir d’un certain rang ⇒
+∞
√
un ∼
+∞
√
vn
exemples : en cours
preuve : en cours
Attention : l’équivalence entre deux suites n’est pas, en général, compatible avec l’addition
5.2 avec la composition à droite tout va bien
Propriété 5.2 :
Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles, et soit ϕ une fonction de N dans N.
Si :
– un ∼ vn
+∞
–
lim ϕ(n) = +∞
n→+∞
Alors
uϕ(n) ∼ vϕ(n)
+∞
exemples : en cours
Attention : l’équivalence entre deux suites n’est pas, en général, compatible avec la composition à gauche :
Si un ∼ vn et si f une fonction de R dans R alors
+∞
f (un ) et f (vn ) ne sont pas équivalentes
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VI équivalents usuels
6.1 polynômes
Propriété 6.1 :
Soit P une fonction polynôme à coefficients réels :
p:
R
x
→
R
7
→
ap xp + ap−1 xp−1 + ... + a1 x + a0
Alors la suite (P (n)) est équivalente à celle du terme de plus haut degré (ap np )
ap np + ap−1 np−1 + ... + a1 n + a0 ∼ ap np
+∞
exemples : en cours
preuve : en cours
6.2 la formule de Stirling
Propriété 6.2 :
n! ∼
+∞
n n √
e
2πn
preuve : admis
6.3 équivalents usuels
Propriété 6.3 :
Soit (un ) une suite telle que lim un = 0, alors :
n→+∞
1.
eun − 1 ∼ un
2.
+∞
ln(1 + un ) − 1 ∼ un
3.∀α ∈ R,
+∞
(1 + un )α − 1 ∼ αun
+∞
preuve : dans le cours sur les développements limités
remarque : on déduit de la formule 3. :
– en prenant α = −1,
1
− 1 ∼ −un
+∞
1 + un
– en prenant α =
1
,
2
√
1 + un − 1 ∼
+∞
1
un
2
exemples : en cours
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