Lignes de niveau

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016
Enoncés
1
Lignes de niveau
Exercice 1 [ 01912 ] [Correction]
Soient A, B des points et ~u, ~v des vecteurs distincts.
−−→
−−→
Déterminer les points M tel que AM · ~u = BM · ~v.
Exercice 2 [ 01915 ] [Correction]
Soient A, B deux points et ~u un vecteur non nul. Déterminer les points M tels que :
−−→
−−→
−−→
−−→
(a) ~u · AM + ~u · BM = 0 b) det(~u, AM) + det(~u, BM) = 0.
Exercice 3 [ 01586 ] [Correction]
Soient a, b ∈ C distincts, λ > 0 et n ∈ N∗ .
Montrer que les racines de l’équation
(z − a)n = λ(z − b)n
sont alignés ou cocycliques
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
2
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
AM · ~u = BM · ~v ⇐⇒ AM · (~u − ~v) = BA · ~v. Posons λ = BA · ~v.
Le lieu des points M est une droite orthogonale à ~u − ~v.
Exercice 2 : [énoncé]
Introduisons I = m[A ; B].
−−→
−−→
−−→
(a) ~u · AM + ~u · BM = 2~u · I M = 0 ⇐⇒ M appartient à la droite passant par I dont ~u est
vecteur normal.
−−→
−−→
−−→
(b) det(~u, AM) + det(~u, BM) = 2 det(~u, I M) = 0 ⇐⇒ M appartient à la droite passant
par I et dirigée par ~u.
Exercice 3 : [énoncé]
Une racine z de l’équation étudiée vérifie
|z − a| = µ |z − b|
√n
avec µ = λ.
On reconnaît ici une ligne de niveau du type
MA = µMB
avec µ > 0 et A, B distincts.
Cette ligne de niveau est la médiatrice du segment [A ; B] quand µ = 1 ou un cercle quand
µ , 1.
On en déduit que les racines de l’équation étudiée sont alignées ou cocycliques.
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