Devoir surveillé n° 13

Sujet A
Exercice 1
4ème ..
Devoir surveillé n° 13
15 février
(5 points)
Sur la figure ci-contre :
- le point F est le milieu de [EG] ;
- le point G est le milieu de [FD].
De plus C est le milieu de [BD].
1) Montrer que (BF) et (CG) sont parallèles (complète).
Dans le triangle BDF, je sais que :
G est le milieu du segment [DF],
C est le milieu du segment [DB].
Or dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au
troisième côté.
Donc les droites (BF) et (CG) sont parallèles.
2) Montrer que B est le milieu du segment [AE] (complète).
Dans le triangle AEG, je sais que :
F est le milieu du segment [EG],
les droites (BF) et (AG) sont parallèles.
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté,
alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Donc le point B est le milieu du segment [AE].
Exercice 2
(5 points)
On considère la figure ci-contre.
(FG) // (CB) ; BC = 8 cm ; FG = 5 cm ; AF = 4 cm ; AB = 7 cm.
Calculer AC et GB (donner la valeur arrondie au mm s’il y a lieu).
Dans le triangle ABC, F est un point du segment [AC] et G un point du segment [AB]. De plus les
droites (FG) et (CB) sont parallèles.
Alors d’après le théorème de Thalès, on a :
AF AG FG
=
=
AC AB CB
4
AG 5
=
=
AC
7
8
4
5
=
AC 8
4×8
AC =
et
5
AC = 6,4
BG = AB – AG
BG = 7 – 4,375
BG = 2,625
BG ≈ 2,6
A
AG 5
=
7
8
7×5
AG =
8
AG = 4,375
Conclusion, AC est égal à 6,4 cm et BG est environ égal à 2,6 cm.
G
F
B
C
Exercice 3
(6 points)
Pour mesurer la hauteur d’un
arbre vertical, on peut schématiser
la situation comme ci-dessus.
L’ombre du sommet H de l’arbre
est en A. On place verticalement
en B un bâton vertical tel que
l’ombre du point C soit aussi en
A.
On donne AB = 2,5 m ; BC = 2 m
et AD = 30 m.
1. Démontre que les droites (HD) et (BC) sont parallèles.
Je sais que : (HD) ⊥ (DA) et (BC) ⊥ (DA).
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles.
Donc (HD) et (BC) sont parallèles.
2. Calcule la hauteur HD de l’arbre.
Dans le triangle ADH, C est un point du segment [AH] et B un point du segment [AD]. De plus les
droites (HD) et (BC) sont parallèles.
AC AB BC
=
=
Alors d’après le théorème de Thalès, on a :
AH AD DH
2
AC 2,5
=
=
AH 30 DH
2 × 30
DH =
2,5
DH = 24
Conclusion, la hauteur HD de l’arbre est 24 m.
Exercice 4
(3 points)
Sur ces figures, le quadrilatère ABCD est un agrandissement du quadrilatère LIJK.
Attention, les dimensions ne sont pas respectées.
1. Calcule le nombre k, coefficient d’agrandissement (en détaillant les calculs).
k=
AB 80
=
= 1,25
IJ 64
2. Calcule les longueurs AD, LK et l’angle LIJ (en détaillant les calculs ou en justifiant).
AD = k × LI = 1,25 × 56 = 70 mm
DC = k × LK donc
LK = DC : k = 50 : 1,25 = 40 mm
DAB = LIJ = 62° car dans un agrandissement les mesures des angles sont conservées.
2010/2011