Combien de fois faut-il battre un jeu de cartes

Combien de fois faut-il battre un jeu de cartes ?
( D. Bayer, P. Diaconis)
Pour répondre à cette question, définissons d’abord quelques pratiques pour un
paquet de n cartes, numérotées de 1 à n :
La coupe consiste à choisir k cartes parmi les n cartes du paquet. Par équiprobabilité des
parties, la probabilité de tirer une partie à k éléments est
!
.
!!
Le mélange consiste à choisir la carte du dessous de l’un des paquets et recommencer
jusqu’à épuisement des deux paquets. Par convention, si a1 est le nombre de cartes du
premier paquet et a2 le nombre de cartes du second paquet, alors la probabilité de tirer une
carte du ième paquet est
.
Une suite montante du paquet est une sous-suite maximale constituée de nombres
successifs. Ainsi, toute permutation de 1, … , peut être décomposée de façon unique en
juxtaposition de suites montantes.
On démontre ensuite le théorème fondamental de l’article, qui donne la probabilité
d’une configuration du paquet.
Lemme (admis) : Il y a façons de placer q objets dans p cases.
Théorème : La probabilité pour que le paquet se trouve dans l’état après m battages est
égale à
.
Dém : on montre facilement que chaque battage possible a une probabilité de
.
on montre ensuite que le nombre de manières d’obtenir une configuration du paquet à r
suites montantes est après m battages en utilisant le lemme ci-dessus.
En remarquant que battre un jeu de cartes m fois revient à couper d’abord m fois et
mélanger ensuite les parties obtenues, on conclut.
Répondons maintenant à la question posée par l’article.
Pour cela, on introduit la quantité Qm, qui va permettre de mesurer le caractère imprévisible
d’un paquet de cartes. On pose alors
!
&
∑&
#!$ %
!
#.
En posant An,r le nombre de permutations avec r suites montantes, on peut aussi exprimer
Qm sommant sur r ; on a alors
!
∑'
' #!$ %
!
#.
Par approximation, si ! 3 log , -, les auteurs ont montré que
427
8 √:
! . / 0;
&
1
234
4
56
En appliquant cette formule à un jeu de 52 cartes, on trouve
. 1,000
B.
0,924
C
. 1.000
. 0,614
=
E
. 1.000
. 0,324
>
F
. 0,924
. 0,614
Un jeu de 52 cartes devrait être battu 8 fois pour qu’il soit inutilisable par les joueurs.