Universite Ferhat Abbas -Setif - Faculte des Sciences " Department

Universite Ferhat Abbas -Setif
Faculte des Sciences
Department de Mathematiques
"
E X A M E N D'ANALYSE FONCTIONNELLE
CONCOURS D'ACCES A L A FORMATION
DOCTORALE LMD
Exercice 1 .
Soit K une partie de R , compacte, convexe, symetrique par rapport
a 0 et telle que 0 est un point interieur. Soit p : R " —> R la fonction
definie par
n
p(x) = mi{t > 0 / | G
1) Montrer que p(x) = 0 ssi x = 0.
2) Pour x non nul montrer que
6K .
3)
Vx
4)
5)
Pour x n o n nul et t > 0 montrer que p ( t . x ) = t p ( x ) . E n deduire que
e R , Vt € R , p(tx) =
Montrer que si x et y sont non nuls ^ ) + p ( )
Conclure.
n
p
y
€
6) Montrer que K est l a boule unite fermee de R " pour l a norme p .
Exercice 2.
Soit K E L ( R ) . Montrer que l'operateur T
par
2
2
K
2*(/)(*) =
/
: L ( R ) - » L ( R ) defini
2
2
K(x,y)f(y)dy
est bien defini et borne.
Determiner T £ l'adjoint de T .
Exercice 3.
Soit E une partie compacte d'un espace vectoriel norme, et / : E —> E
une fonction verifiant
K
Vx,yeE,(x*y)
=•
- /(y)|| < ||x-y||.
Montrer que / admet un unique point fixe.
Date:
05/10/2013.
Universite Ferhat Abbas -Setif
Faculte des Sciences
Department de Mathematiques
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CJI
Universite de Setif 1
Faculte des Sciences
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. Annee scolaire 2013-2014
Departement de Mathematiques
Octobre 2013 - Duree lh30mri
C o n c o u r s d ' A c c e s en D o c t o r a t L M D 2013-2014
Epreuve E D P
Exerxixe l:(2pts)
Trouver la solution u ( x , y ) de l'equation aux derivees partielles.
d?u
dxdy
du
~~z — 0
dx
~
Exerxixe 2:(6pts)
Determiner la solution generate de l'equation aux derivees partielles du
premier ordre
ldz
x dx
l d z
y dy
et la surface integrate qui contient la courbe (C) d'equations
2
y = *
x =0
Probleme:(12pts)
D'apres la methode de separation des variables combinee avec les series
de Fourier. Trouver la solution u ( x , t ) de l'equation
avec les conditions aux limites
§ > )
0=gM),
=
V»>T>
(2)
et avec la condition initiate
u(x,Q) = f(x)
x
7T
— x
0 < X < T T
si
si
0< x < |
| < x < ir
(3)
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