Correction DS5
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Correction DS5
Devoir de Mathématiques n°5 : Correction 1S Ex1. ∑ 1) = = ∑ ² = , = 37,625 , − ² = − 37,625² = 2) = √ ≈ 23,4 3) D’après le tableau, 25+20+15 = 60 élèves ont un temps de trajet dans cet intervalle. L’effectif total étant 100, cela représente un pourcentage de 60%. 4) Temps en mn [0 ; 5[ [5 ; 15[ [15 ; 30[ [30 ; 45[ [45 ; 60[ [60 ; 90[ Effectifs 5 15 25 20 15 20 E.C.C. 5 20 45 65 80 100 = 50, la valeur médiane est donc entre le 50ème et 51ème rang, dans la classe [30 ; 45[. Ex2. QCM : 1) La 1ère courbe est la représentation graphique d'une fonction f. Combien vaut ! " #−2$ ? a) −1 b) 0,5 c) 1 d) 2 2) Une fonction f admet en un point a une dérivée f'(a). Laquelle des propositions ci-dessous est juste? !#% + ℎ$ − !#%$ !#ℎ$ − !#%$ %$ !′#%$ = lim /$ ! " #%$ = lim *→, *→ ℎ ℎ !#% + ℎ$ − !#%$ !#ℎ$ − !#%$ 0$ ! " #%$ = lim 1$ ! " #%$ = lim *→ *→, ℎ ℎ 3) La 2ème courbe est la courbe représentative d'une fonction f. Lequel des nombres suivants est le plus grand? a) ! " #%$ b) ! " #/$ c) ! " #0$ d) ! " #1$ Plus grand coefficient directeur des tangentes à la courbe 4) Une fonction f est définie pour tout nombre x par !#$ = . Combien vaut !′$ ? a) !′#$ = 5 b) !′#$ = 6 c) !′#$ = 6 d) !′#$ = 5 Ex3. ROC : 1) Pour tout nombre réel ℎ ≠ 0 3#,4*$53#,$ * = #,4*$6 5,6 * = , 6 4,*4*6 5,6 * = *#,4*$ * = 2% + ℎ !#% + ℎ$ − !#%$ = lim #2% + ℎ$ = 2% *→ *→ ℎ donc la fonction carré est dérivable en % et ! " #%$ = 2%. donc lim 2) Application Le coefficient directeur de la tangente à C au point d’abscisse % est ! " #%$ On cherche % tel que ! " #%$ = −3 ;<=> 2% = −3 ;<=> % = − Au point d’abscisse − , la tangente à C a pour coefficient directeur −3. C est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0; +∞[ par !#$ = T est la droite d’équation B = + . T est-elle tangente à la courbe C ? Ex 4. Dans un repère, 1)La fonction racine carrée est dérivable sur ] 0 ; +∞ [ et pour tout > 0, ! " #$ = 2) Equation de la tangente à √ √ C au point d’abscisse 4 : B = ! #4$# − 4$ + !#4$;<=> B = " # − 4$ + 2 soit B = + 1 3) Le coefficient directeur de T est et doit être égal au nombre dérivé de ! en %. On cherche s’il existe un nombre % > 0 tel que √, = E F GHIJ √K = L GHIJ K = M On vérifie que T passe par le point A ( 9 ; 3 ) En effet × 9 + = 3 donc T est tangente à C en A. Ex5. Soit la fonction P polynôme du 2nd degré du type % + / + 0 . Dans un repère, sa courbe Q a pour sommet le point S ( 2 ; 1 $. S 1) abscisse du sommet d’une parabole = R = − , = 2 1<T0 − / = 4% ;<=> / = −4% 2) On sait de plus que P" #3$ = −1 ; P" #$ = 2% + / <U P" #3$ = 6% + / = −1 ; on remplace b par −4% ; on obtient 6% − 4% = −1 ;<=> % = − / = −4% = 2 De plus on sait que l’ordonnée du sommet est 1 ; V = P#2$ = − × 2 + 2 × 2 + 0 = 1 1<T0 0 = −1 a = −0.5 ; b = 2 ; c = −1 Ex6. 1) Toutes les chansons ont la même probabilité d’être sélectionnées et il y a 11 chansons donc la probabilité que la chanson n°7 soit sélectionnée est p = 1 11 2) A est l’événement « la chanson sélectionnée a une durée de 200 secondes » Il y a 3 chansons parmi les 11 qui ont une durée de 3 200 secondes, donc p ( A ) = 11 b) B est l’événement « la chanson sélectionnée a une durée supérieure à 210 secondes » 5 Il y a 5 chansons parmi les 11 qui ont une durée supérieure à 210 secondes, donc p ( B ) = . 11 c) B est l’événement « la chanson sélectionnée a une durée inférieure à 210 secondes » 5 6 p B = 1− p ( B) = 1− = 11 11 3) X est la variable aléatoire qui à chaque chanson sélectionnée associe sa durée exprimée en secondes a) Les différentes valeurs prises par X sont : 150 ; 185 ; 200 ; 215 ; 230 ; 300 1 b) Il y a une chanson de durée 150 s, donc p ( X = 150 ) = 11 2 Il y a deux chansons de durée 185 s, donc p ( X = 185 ) = , etc. 11 150 185 200 215 230 300 xi ( ) p ( X = xi ) 1 11 1 11 2 11 2 11 3 11 3 11 2 11 2 11 2 11 1 11 2 11 1 2310 = 210 . 11 11 c) E( X ) =150× +185× + 200× + 215× + 230× + 300× = En moyenne la durée d’une chanson est de 210 secondes.