22 Cours - Espaces vectoriels. Définition et exemple.nb

22 Cours - Espaces vectoriels. Définition et exemple.nb
1/1
I)1) Définition d’un espace vectoriel
D Un ensemble E est un K-espace vectoriel (K -ev) pour les deux lois notées + et . lorsque:
(1) La loi + a les propriétés suivantes:
(1a): " x, y œ E, x + y existe et x + y œ E
(+ est une loi de composition interne sur E )
(1b): " x, y œ E, x + y = y + x
(+ est une loi commutative)
(1c): " x, y, z œ E, Hx + yL + z = x + Hy + zL
( + est une loi associative)
(1d): $ e œ E ê " x œ E, x + e = x
(1e): " x œ E, $ x ' œ E ê x + x ' = e
(il y a un élément neutre (ici e) pour + dans E )
(tout élément x de E a un symétrique x ' pour + dans E )
(2) La loi . a les propriétés suivantes:
(2a) " l œ K, " x œ E, l.x existe et l.x œ E
( . est une loi externe sur E )
(2b) " l œ K, " x, y œ E, l.Hx + yL = l.x + l.y
(2c) " l, m œ K, " x œ E, Hl + mL.x = l.x + m.x
(2d) " x œ E, 1. x = x
(2e) " l, m œ K, " x œ E, l.Hm.xL = Hl mL.x
D • Les vecteurs sont souvent notés x, y, z ... et les éléments de K , (qu’on appelle scalaires) sont souvent notés l, m, a, b ...
• L'élément neutre de E pour la loi + est appelé vecteur nul de E et est noté 0E . Le symétrique x ' de x pour + est noté -x .
On a donc:
" x œ E, x + 0E = 0E + x = x
et
" x, y œ E, x + y = 0E ñ y = -x .
I)2) Exemple
Ha, bL + Hc, dL = Ha + c, b + dL
l.Ha, bL = Hl a , l bL
2
Le vecteur nul de est 0 2 = H0, 0L, le symétrique de u = Hx, yL est -u = H-x, - yL.
2 est un -ev pour les lois + et . définies par: " Ha, bL, Hc, dL œ 2 , " l œ , ;
Vérifions le. Ici E = 2 et K = et les éléments x, y, z sont des couples de réels, qu’on écrit Ha, bL, Hc, dL, He, f L.
(1a): " x, y œ E, x + y existe et x + y œ E
" Ha, bL, Hc, dL œ 2 , Ha, bL + Hc, dL = Ha + c, b + dL existe car on peut calculer a + c et b + d et Ha, bL + Hc, dL œ 2 car Ha + c, b + dL œ 2 .
Par exemple, H2, 3L + H4, 7L = H6, 10L existe et est bien dans 2 .
(1b): " x, y œ E, x + y = y + x
: " Ha, bL, Hc, dL œ 2 , Ha, bL + Hc, dL = Ha + c, b + dL = Hc + a, d + bL = Hc, dL + Ha, bL
(1c): " x, y, z œ E, Hx + yL + z = x + Hy + zL
" Ha, bL, Hc, dL, He, f L œ 2 , HHa, bL + Hc, dLL + He, f L = Ha + c, b + dL + He, f L = Ha + c + e, b + d + f L = Ha, bL + Hc + e, d + f L = HHa, bL + HHc, dL + He, f LL
(1d): $ e œ E ê " x œ E, x + e = x
: En posant e = H0, 0L, on a: " Ha, bL œ 2, Ha, bL + H0, 0L = Ha + 0, b + 0L = Ha, bL. On a bien 0 2 = H0, 0L.
(1e): " x œ E, $ x ' œ E ê x + x ' = e
" x = Ha, bL œ 2 , Ha, bL + H-a, -bL = Ha - a, b - bL = H0, 0L, donc en posant x ' = H-a, -bL on a bien la relation souhaitée et -Ha, bL = H-a, -bL.
(2a) " l œ K, " x œ E, l.x existe et l.x œ E
" l œ , " Ha, bL œ 2 , Ha, bL, l.Ha, bL = Hl a, l bL existe et l.Ha, bL = Hl a, l bL œ 2 . Par exemple, 3. H2, 5L = H6, 15L existe et est bien dans 2 .
(2b) " l œ K, " x, y œ E, l.Hx + yL = l.x + l.y
" l œ , " Ha, bL, Hc, dL œ 2 , l.HHa, bL + Hc, dLL = l.Ha + c, b + dL = HlH a + cL, l Hb + dLL = Hl a + l c, l b + l dL = Hl a, l bL + Hl c, l dL = l.Ha, bL + l.Hc, dL
(2c) " l, m œ K, " x œ E, Hl + mL.x = l.x + m.x
" l, m œ , " Ha, bL œ 2 , Hl + mL.Ha, bL = HHl + mL a, Hl + mL bL = Hl a + m a, l b + m bL = Hl a, l bL + Hm a, m bL = l.Ha, bL + m.Ha, bL
(2d) " x œ E, 1. x = x : " Ha, bL œ 2 , 1. Ha, bL = H1 a, 1 bL = Ha, bL
(2e) " l, m œ K, " x œ E, l.Hm.xL = Hl mL.x
: " l, m œ , " Ha, bL œ 2 , l.Hm.Ha, bLL = l.Hm a, m bL = Hl m a, l m bL = Hl mL.Ha, bL