Un théorème du Jardin d`Éden pour les sous-décalages

Un théorème du Jardin d’Éden pour les sous-décalages linéaires
Michel Coornaert
IRMA, Strasbourg
Séminaire GT3, Strasbourg
Michel Coornaert (IRMA, Strasbourg)
Un théorème du Jardin d’Éden pour les sous-décalages linéaires
22 novembre 2010
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Décalages et sous-décalages
On prend :
• un groupe G ,
• un ensemble A (appelé l’alphabet).
Considérons l’ensemble
AG = {x : G → A}
muni de la topologie prodiscrète et de l’action de G donnée par
G × AG → AG
(g , x) 7→ gx
où
gx(h) = x(g −1 h)
∀h ∈ G .
Cette action s’appelle le G -décalage. Elle est continue pour la topologie prodiscrète sur
AG .
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Décalages et sous-décalages
On prend :
• un groupe G ,
• un ensemble A (appelé l’alphabet).
Considérons l’ensemble
AG = {x : G → A}
muni de la topologie prodiscrète et de l’action de G donnée par
G × AG → AG
(g , x) 7→ gx
où
gx(h) = x(g −1 h)
∀h ∈ G .
Cette action s’appelle le G -décalage. Elle est continue pour la topologie prodiscrète sur
AG .
L’espace AG s’appelle l’espace des configurations ou encore le décalage plein sur le
groupe G et l’alphabet A.
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Décalages et sous-décalages
On prend :
• un groupe G ,
• un ensemble A (appelé l’alphabet).
Considérons l’ensemble
AG = {x : G → A}
muni de la topologie prodiscrète et de l’action de G donnée par
G × AG → AG
(g , x) 7→ gx
où
gx(h) = x(g −1 h)
∀h ∈ G .
Cette action s’appelle le G -décalage. Elle est continue pour la topologie prodiscrète sur
AG .
L’espace AG s’appelle l’espace des configurations ou encore le décalage plein sur le
groupe G et l’alphabet A.
Un fermé G -invariant X ⊂ AG s’appelle un sous-décalage.
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Automates cellulaires
Définition
Soit X ⊂ AG un sous-décalage. Un automate cellulaire sur X est une application
τ: X →X
vérifiant la condition suivante :
Il existe un sous-ensemble fini M ⊂ G et une application µ : AM → A telle que :
(τ (x))(g ) = µ((g −1 x)|M )
où (g
−1
∀x ∈ X , ∀g ∈ G ,
x)|M désigne la restriction de la configuration g −1 x à M.
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Automates cellulaires
Définition
Soit X ⊂ AG un sous-décalage. Un automate cellulaire sur X est une application
τ: X →X
vérifiant la condition suivante :
Il existe un sous-ensemble fini M ⊂ G et une application µ : AM → A telle que :
(τ (x))(g ) = µ((g −1 x)|M )
où (g
−1
∀x ∈ X , ∀g ∈ G ,
x)|M désigne la restriction de la configuration g −1 x à M.
On dit alors que M est une mémoire et que µ est une application de définition locale de τ .
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Exemple : le jeu de la vie de Conway
On prend G = Z2 et A = {0, 1}.
Le jeu de la vie est décrit par l’automate cellulaire :
2
2
τ : {0, 1}Z → {0, 1}Z
2
sur le décalage plein X = {0, 1}Z que l’on obtient en prenant M = {−1, 0, 1}2 ⊂ Z2
comme mémoire et µ : AM → A donnée par
8 X
8
>
>
y (m) = 3
>
>
<
>
>
<
m∈M
X
1 si
µ(y ) =
>
y (m) = 4 and y ((0, 0)) = 1
>
: ou
>
>
>
m∈M
>
:
0 sinon
∀y ∈ AM .
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Exemple : le jeu de la vie de Conway
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Exemple : le jeu de la vie de Conway
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Groupes moyennables
Définition
On dit qu’un groupe G est moyennable si l’ensemble P(G ) des parties de G admet une
mesure de probabilité invariante finiment additive, c’est-à-dire s’il existe une application
m : P(G ) → [0, 1] telle que
(Amen-1) m(G ) = 1
(Amen-2) A ∩ B = ∅ ⇒ m(A ∪ B) = m(A) + m(B)
(Amen-3) m(gA) = m(A)
quels que soient g ∈ G et A, B ∈ P(G ).
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Groupes moyennables
Définition
On dit qu’un groupe G est moyennable si l’ensemble P(G ) des parties de G admet une
mesure de probabilité invariante finiment additive, c’est-à-dire s’il existe une application
m : P(G ) → [0, 1] telle que
(Amen-1) m(G ) = 1
(Amen-2) A ∩ B = ∅ ⇒ m(A ∪ B) = m(A) + m(B)
(Amen-3) m(gA) = m(A)
quels que soient g ∈ G et A, B ∈ P(G ).
• Tout groupe fini (et, plus généralement, tout groupe localement fini) est moyennable.
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Groupes moyennables
Définition
On dit qu’un groupe G est moyennable si l’ensemble P(G ) des parties de G admet une
mesure de probabilité invariante finiment additive, c’est-à-dire s’il existe une application
m : P(G ) → [0, 1] telle que
(Amen-1) m(G ) = 1
(Amen-2) A ∩ B = ∅ ⇒ m(A ∪ B) = m(A) + m(B)
(Amen-3) m(gA) = m(A)
quels que soient g ∈ G et A, B ∈ P(G ).
• Tout groupe fini (et, plus généralement, tout groupe localement fini) est moyennable.
• Tout groupe commutatif (et, plus généralement, tout groupe résoluble) est moyennable.
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Groupes moyennables
Définition
On dit qu’un groupe G est moyennable si l’ensemble P(G ) des parties de G admet une
mesure de probabilité invariante finiment additive, c’est-à-dire s’il existe une application
m : P(G ) → [0, 1] telle que
(Amen-1) m(G ) = 1
(Amen-2) A ∩ B = ∅ ⇒ m(A ∪ B) = m(A) + m(B)
(Amen-3) m(gA) = m(A)
quels que soient g ∈ G et A, B ∈ P(G ).
• Tout groupe fini (et, plus généralement, tout groupe localement fini) est moyennable.
• Tout groupe commutatif (et, plus généralement, tout groupe résoluble) est moyennable.
• Tout groupe de type fini à croissance sous-exponentielle est moyennable.
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Groupes moyennables
Définition
On dit qu’un groupe G est moyennable si l’ensemble P(G ) des parties de G admet une
mesure de probabilité invariante finiment additive, c’est-à-dire s’il existe une application
m : P(G ) → [0, 1] telle que
(Amen-1) m(G ) = 1
(Amen-2) A ∩ B = ∅ ⇒ m(A ∪ B) = m(A) + m(B)
(Amen-3) m(gA) = m(A)
quels que soient g ∈ G et A, B ∈ P(G ).
• Tout groupe fini (et, plus généralement, tout groupe localement fini) est moyennable.
• Tout groupe commutatif (et, plus généralement, tout groupe résoluble) est moyennable.
• Tout groupe de type fini à croissance sous-exponentielle est moyennable.
• Un exemple de groupe non moyennable est fourni par le groupe libre à deux
générateurs. Plus généralement, tout groupe contenant un sous-groupe libre non
commutatif est non-moyennable.
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Automates cellulaires pré-injectifs
Définition
On dit qu’un automate cellulaire τ : X → X , défini sur un sous-décalage X ⊂ AG , est
pré-injectif si :
9
τ (x) = τ (x 0 )
=
et
=⇒ x = x 0 .
;
0
{g ∈ G | x(g ) 6= x (g )} est fini
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Automates cellulaires pré-injectifs
Définition
On dit qu’un automate cellulaire τ : X → X , défini sur un sous-décalage X ⊂ AG , est
pré-injectif si :
9
τ (x) = τ (x 0 )
=
et
=⇒ x = x 0 .
;
0
{g ∈ G | x(g ) 6= x (g )} est fini
Exemple
2
2
L’automate cellulaire τ : {0, 1}Z → {0, 1}Z qui définit le jeu de la vie de Conway n’est
pas pré-injectif.
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Automates cellulaires pré-injectifs
Définition
On dit qu’un automate cellulaire τ : X → X , défini sur un sous-décalage X ⊂ AG , est
pré-injectif si :
9
τ (x) = τ (x 0 )
=
et
=⇒ x = x 0 .
;
0
{g ∈ G | x(g ) 6= x (g )} est fini
Exemple
2
2
L’automate cellulaire τ : {0, 1}Z → {0, 1}Z qui définit le jeu de la vie de Conway n’est
pas pré-injectif.
Exemple
L’automate cellulaire τ : {0, 1}Z → {0, 1}Z défini par
∀x ∈ {0, 1}Z , ∀n ∈ Z,
τ (x)(n) = x(n + 1) + x(n)
mod 2,
est pré-injectif. Mais il n’est pas injectif car les deux configurations constantes ont la
même image.
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Le théorème du Jardin d’Éden
Le théorème suivant est le théorème du Jardin d’Éden dû à Ceccherini-Silberstein, Machı̀
et Scarabotti. Il a d’abord été démontré pour G = Z2 par Moore et Myhill, puis étendu
aux groupes de type fini à croissance sous-exponentielle par Machı̀ et Mignosi.
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Le théorème du Jardin d’Éden
Le théorème suivant est le théorème du Jardin d’Éden dû à Ceccherini-Silberstein, Machı̀
et Scarabotti. Il a d’abord été démontré pour G = Z2 par Moore et Myhill, puis étendu
aux groupes de type fini à croissance sous-exponentielle par Machı̀ et Mignosi.
Théorème (CMS-1999)
Soient G un groupe moyennable et A un ensemble fini. Soit τ : AG → AG un automate
cellulaire défini sur le décalage plein AG . Alors on a
τ surjectif ⇐⇒ τ pré-injectif.
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Le théorème du Jardin d’Éden
Le théorème suivant est le théorème du Jardin d’Éden dû à Ceccherini-Silberstein, Machı̀
et Scarabotti. Il a d’abord été démontré pour G = Z2 par Moore et Myhill, puis étendu
aux groupes de type fini à croissance sous-exponentielle par Machı̀ et Mignosi.
Théorème (CMS-1999)
Soient G un groupe moyennable et A un ensemble fini. Soit τ : AG → AG un automate
cellulaire défini sur le décalage plein AG . Alors on a
τ surjectif ⇐⇒ τ pré-injectif.
Exemple
2
2
L’automate cellulaire τ : {0, 1}Z → {0, 1}Z qui définit le jeu de la vie de Conway n’est
pas pré-injectif. Il n’est donc pas surjectif.
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Le théorème du Jardin d’Éden
Le théorème suivant est le théorème du Jardin d’Éden dû à Ceccherini-Silberstein, Machı̀
et Scarabotti. Il a d’abord été démontré pour G = Z2 par Moore et Myhill, puis étendu
aux groupes de type fini à croissance sous-exponentielle par Machı̀ et Mignosi.
Théorème (CMS-1999)
Soient G un groupe moyennable et A un ensemble fini. Soit τ : AG → AG un automate
cellulaire défini sur le décalage plein AG . Alors on a
τ surjectif ⇐⇒ τ pré-injectif.
Exemple
2
2
L’automate cellulaire τ : {0, 1}Z → {0, 1}Z qui définit le jeu de la vie de Conway n’est
pas pré-injectif. Il n’est donc pas surjectif.
Exemple
L’automate cellulaire τ : {0, 1}Z → {0, 1}Z défini par
∀x ∈ {0, 1}Z , ∀n ∈ Z,
τ (x)(n) = x(n + 1) + x(n)
mod 2,
est pré-injectif. Il est donc surjectif (facile à démontrer directement).
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Un théorème du Jardin d’Éden pour les sous-décalages
Soient G un groupe et A un ensemble.
Définition
On dit qu’un sous-décalage X ⊂ AG est de type fini s’il existe un ensemble fini D ⊂ G et
un sous-ensemble L ⊂ AD tel que
déf
X = X (D, L) = {x ∈ AG : (g −1 x)|D ∈ L pour tout g ∈ G }.
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Soient G un groupe et A un ensemble.
Définition
On dit qu’un sous-décalage X ⊂ AG est de type fini s’il existe un ensemble fini D ⊂ G et
un sous-ensemble L ⊂ AD tel que
déf
X = X (D, L) = {x ∈ AG : (g −1 x)|D ∈ L pour tout g ∈ G }.
Définition
On dit qu’un sous-décalage X ⊂ AG est fortement irréductible s’il existe un
sous-ensemble fini ∆ ⊂ G qui vérifie la propriété suivante :
si Ω1 et Ω2 sont des sous-ensembles finis de G tels que il n’existe pas d’élément g ∈ Ω2
tel que l’ensemble g ∆ rencontre Ω1 alors, étant donnés deux configurations quelconques
x1 , x2 ∈ X , on peut toujours trouver une configuration x ∈ X telle que x|Ω1 = x1 |Ω1 et
x|Ω2 = x2 |Ω2 .
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L’extension suivante du théorème du Jardin d’Éden est due à F. Fiorenzi :
Théorème (F-2003)
Soient G un groupe moyennable et A un ensemble fini. Soit τ : X → X un automate
cellulaire défini sur un sous-décalage fortement irréductible de type fini X ⊂ AG . Alors on
a
τ surjectif ⇐⇒ τ pré-injectif.
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Un théorème du Jardin d’Éden pour les sous-décalages linéaires
Soient G un groupe et A = V un espace vectoriel sur un corps K .
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Un théorème du Jardin d’Éden pour les sous-décalages linéaires
Soient G un groupe et A = V un espace vectoriel sur un corps K .
Un sous-décalage linéaire est un sous-décalage X ⊂ V G qui est aussi un sous-espace
vectoriel de V G .
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Un théorème du Jardin d’Éden pour les sous-décalages linéaires
Soient G un groupe et A = V un espace vectoriel sur un corps K .
Un sous-décalage linéaire est un sous-décalage X ⊂ V G qui est aussi un sous-espace
vectoriel de V G .
Un automate cellulaire linéaire sur un sous-décalage linéaire X ⊂ V G est un automate
cellulaire τ : X → X qui est K -linéaire.
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Un théorème du Jardin d’Éden pour les sous-décalages linéaires
Soient G un groupe et A = V un espace vectoriel sur un corps K .
Un sous-décalage linéaire est un sous-décalage X ⊂ V G qui est aussi un sous-espace
vectoriel de V G .
Un automate cellulaire linéaire sur un sous-décalage linéaire X ⊂ V G est un automate
cellulaire τ : X → X qui est K -linéaire.
Résultat obtenu en collaboration avec Tullio Ceccherini-Silberstein :
Théorème (CC-2010a)
Soient G un groupe moyennable, K un corps, et V un espace vectoriel de dimension finie
sur K . Soit τ : X → X un automate cellulaire linéaire défini sur un sous-décalage linéaire
fortement irréductible de type fini X ⊂ V G . Alors on a
τ surjectif ⇐⇒ τ pré-injectif.
Corollaire
τ injectif ⇒ τ surjectif.
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Esquisse de la démonstration
On utilise le critère de moyennabilité de Følner : pour qu’un groupe G soit moyennable, il
faut et il suffit qu’il admette un filet de Følner, i.e., un filet (Fi )i∈I de sous-ensembles
finis non vides tel que
lim
i
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|Fi \ Fi g |
=0
|Fi |
∀g ∈ G .
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Esquisse de la démonstration
On utilise le critère de moyennabilité de Følner : pour qu’un groupe G soit moyennable, il
faut et il suffit qu’il admette un filet de Følner, i.e., un filet (Fi )i∈I de sous-ensembles
finis non vides tel que
lim
i
|Fi \ Fi g |
=0
|Fi |
∀g ∈ G .
On définit la dimension moyenne mdim(Y ) d’un sous-espace vectoriel Y ⊂ V G par
mdim(Y ) = lim sup
i
dim(πFi (Y ))
,
|Fi |
où πFi : V G → V Fi est la projection canonique et dim(·) désigne la dimension pour les
K -espaces vectoriels de dimension finie.
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Esquisse de la démonstration
On utilise le critère de moyennabilité de Følner : pour qu’un groupe G soit moyennable, il
faut et il suffit qu’il admette un filet de Følner, i.e., un filet (Fi )i∈I de sous-ensembles
finis non vides tel que
lim
i
|Fi \ Fi g |
=0
|Fi |
∀g ∈ G .
On définit la dimension moyenne mdim(Y ) d’un sous-espace vectoriel Y ⊂ V G par
mdim(Y ) = lim sup
i
dim(πFi (Y ))
,
|Fi |
où πFi : V G → V Fi est la projection canonique et dim(·) désigne la dimension pour les
K -espaces vectoriels de dimension finie.
On montre alors
τ surjectif ⇐⇒ mdim(τ (X )) = mdim(X ) ⇐⇒ τ pré-injectif.
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Esquisse de la démonstration
On utilise le critère de moyennabilité de Følner : pour qu’un groupe G soit moyennable, il
faut et il suffit qu’il admette un filet de Følner, i.e., un filet (Fi )i∈I de sous-ensembles
finis non vides tel que
lim
i
|Fi \ Fi g |
=0
|Fi |
∀g ∈ G .
On définit la dimension moyenne mdim(Y ) d’un sous-espace vectoriel Y ⊂ V G par
mdim(Y ) = lim sup
i
dim(πFi (Y ))
,
|Fi |
où πFi : V G → V Fi est la projection canonique et dim(·) désigne la dimension pour les
K -espaces vectoriels de dimension finie.
On montre alors
τ surjectif ⇐⇒ mdim(τ (X )) = mdim(X ) ⇐⇒ τ pré-injectif.
Dans cette démonstration, la dimension moyenne joue le rôle qui est joué par l’entropie
dans le cas d’un alphabet fini.
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Bibliographie
[CC-2006] T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert, The Garden of Eden theorem for
linear cellular automata, Ergod. Th & Dynam. Sys. 26 (2006), 53–68.
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Bibliographie
[CC-2006] T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert, The Garden of Eden theorem for
linear cellular automata, Ergod. Th & Dynam. Sys. 26 (2006), 53–68.
[CC-2010a] T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert, A Garden of Eden theorem for linear
subshifts, preprint, arXiv :1002.3957, à paraı̂tre dans Ergodic Theory & Dynamical
Systems.
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Bibliographie
[CC-2006] T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert, The Garden of Eden theorem for
linear cellular automata, Ergod. Th & Dynam. Sys. 26 (2006), 53–68.
[CC-2010a] T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert, A Garden of Eden theorem for linear
subshifts, preprint, arXiv :1002.3957, à paraı̂tre dans Ergodic Theory & Dynamical
Systems.
[CC-2010b] T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert, Cellular automata and groups,
Springer Monographs in Mahtematics, Springer, Berlin, 2010.
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Bibliographie
[CC-2006] T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert, The Garden of Eden theorem for
linear cellular automata, Ergod. Th & Dynam. Sys. 26 (2006), 53–68.
[CC-2010a] T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert, A Garden of Eden theorem for linear
subshifts, preprint, arXiv :1002.3957, à paraı̂tre dans Ergodic Theory & Dynamical
Systems.
[CC-2010b] T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert, Cellular automata and groups,
Springer Monographs in Mahtematics, Springer, Berlin, 2010.
[CMS-1999] T. Ceccherini-Silberstein, A. Machı̀ and F. Scarabotti, Amenable groups
and cellular automata, Ann. Inst. Fourier 49 (1999), 673–685.
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Bibliographie
[CC-2006] T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert, The Garden of Eden theorem for
linear cellular automata, Ergod. Th & Dynam. Sys. 26 (2006), 53–68.
[CC-2010a] T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert, A Garden of Eden theorem for linear
subshifts, preprint, arXiv :1002.3957, à paraı̂tre dans Ergodic Theory & Dynamical
Systems.
[CC-2010b] T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert, Cellular automata and groups,
Springer Monographs in Mahtematics, Springer, Berlin, 2010.
[CMS-1999] T. Ceccherini-Silberstein, A. Machı̀ and F. Scarabotti, Amenable groups
and cellular automata, Ann. Inst. Fourier 49 (1999), 673–685.
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Un théorème du Jardin d’Éden pour les sous-décalages linéaires
22 novembre 2010
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Bibliographie
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