Comment démontrer qu`un point est le milieu d`un segment?

COMMENT DEMONTRER QU’UN POINT EST LE MILIEU D’UN SEGMENT ?
1) En utilisant la définition :
Le milieu d’un segment est le point de ce segment situé à la même distance de ses extrémités.
A, M et B sont alignés et AM = MB
donc M est le milieu de [AB].
2) En utilisant une symétrie centrale :
Les points A et B sont symétriques par rapport à un point O
donc O est le milieu de [AB].
3) En utilisant un cercle ou une sphère :
Si deux points A et B sont diamétralement opposés sur un cercle
(ou une sphère) de centre O alors O est le milieu de [AB].
4) En utilisant une médiatrice :
La médiatrice d’un segment coupe ce segment en son milieu.
(d) est la médiatrice de [AB] et coupe [AB] en I
donc I est le milieu de [AB].
5) En utilisant un triangle rectangle :
Dans un triangle rectangle, le centre
du cercle circonscrit est le milieu de
l’hypoténuse.
6) En utilisant le fait que les trois médianes ou les trois médiatrices
dans un triangle sont concourantes :
La droite passant par un sommet et le point d’intersection de deux
médianes (ou médiatrices) d’un triangle est une médiane (ou une
médiatrice) et passe par le milieu du côté opposé.
G est le point d’intersection de deux médianes (centre de gravité)
du triangle ABC donc (AG) est la 3ème médiane et passe par le
milieu I de [BC].
7) En utilisant un parallélogramme (ou un parallélogramme particulier) :
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
8) En utilisant l’un des théorèmes des milieux :
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté
alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
A
Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB]
J
I
et (IJ) est parallèle à (BC),
donc d’après l’un des théorèmes des milieux,
B
C
J est le milieu de [AC].
9) En utilisant les propriétés des transformations :
Par symétrie axiale, symétrie centrale, agrandissement ou réduction,
le milieu est conservé.
Exemple :
A’, B’ et I’ sont les symétriques de A, B et I par rapport à O
et I est le milieu de [AB]
donc I’ est le milieu de [A’B’].
10) En utilisant les droites remarquables dans un triangle particulier :
Dans un triangle ABC isocèle en B, la hauteur (ou la bissectrice)
issue de B sera aussi la médiane issue de B (ou médiatrice de [AC])
donc elle coupera [AC] en son milieu.