Modélisation dynamique des structures de conversion DC/DC pour

Modélisation dynamique des structures de conversion DC/DC pour
la régulation
Julien Flamant – [email protected]
Motivation : Jusqu’à présent, nous avons analysé les structures de conversion DC/DC dans un cadre
purement statique. En pratique, une étude dynamique de ces structures s’impose en vue de prédéterminer
les asservissements et les correcteurs dont ils sont couramment munis. La difficulté principale de cette étude
réside dans le principe même de ces convertisseurs : le phénomène de découpage impose des topologies de
circuit différentes au cours d’une même période de découpage. Cette non-linéarité induite peut néanmoins
être contournée en transformant le système en un système moyen invariant, puis en linéarisant autour d’une
position d’équilibre. Cette approche est d’autant plus valide que la période de découpage est très souvent
inférieure aux constantes de temps des différentes grandeurs filtrées.
Pour l’étude des convertisseurs DC/DC, nous supposerons que l’on se trouve dans le cas d’une conduction
continue.
Table des matières
1 Valeur moyenne d’une variable d’état et période de découpage
1.1 Variables d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Conservation du système différentiel par passage à la valeur moyenne.
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1
1
1
3
3
2 Modélisation par la méthode des générateurs moyens
4
3 Modélisation par modèle d’état moyen
3.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Démarche générique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
8
1
Valeur moyenne d’une variable d’état et période de découpage
Dans toute la suite, on note T la valeur de la période de découpage du convertisseur considéré. Celle-ci sera
supposée constante au cours de l’étude. Les interrupteurs sont supposés idéaux, ainsi que les composants
passifs.
1.1
Variables d’état
Le choix des variables d’état d’un système se porte principalement vers les deux grandeurs physiques toujours
continues : le flux dans les circuits magnétiques ϕ et la charge dans les composants diélectriques Q. On rappelle
les relations fondamentales :
ϕ = Lil
Q = Cvc
Si le système peut être supposé invariant (pas de vieillissement des composants par exemple), alors les variables
d’état deviennent le courant dans une inductance il et la tension aux bornes d’un condensateur vc .
1.2
Exemple introductif
Considérons le montage suivant :
1
Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC
L
E(t)
il
vs
R
Figure 1 – Exemple introductif : un circuit L-R alimenté par une source de tension découpée.
La tension E(t) est telle que :
(
∀k ∈ Z E(t) =
1 V si t ∈ [kT, (k + α)T [
0 V si t ∈ [(k + α)T, (k + 1)T ]
Par exemple choisissons le rapport cyclique α = 0.8. On simule ce circuit électrique des plus simple à l’aide
de Simulink. On s’intéresse particulièrement à l’évolution du courant il (t) au cours du temps, en imposant
il (0) = 0. Cette évolution est représentée sur la figure 2.
8 · 10−2
il (t)
6 · 10−2
4 · 10−2
2 · 10−2
0
0
5 · 10−3
1 · 10−2
1.5 · 10−2
2 · 10−2
Temps (s)
Figure 2 – Simulation du circuit présenté. Les valeurs des composants sont L = 10 mH et R = 10 Ω
pour une fréquence de découpage F = 1 kHz. La courbe en vert correspond à la réponse du
système à un échelon d’amplitude αE = 0.8 V
On constate que la réponse du système à une excitation découpée de rapport cyclique α correspond à la somme
de deux signaux, la réponse à un échelon de tension d’amplitude αE et un réponse haute fréquence due au
découpage. Cela nous mène à écrire l’égalité suivante, qui décompose le courant il (t) en deux composantes,
basse fréquence d’une part et haute fréquence d’autre part.
il (t) = hil iT (t) + ilHF (t)
L’intérêt de cette décomposition est quelle sépare les effets du découpage de la dynamique basse fréquence sousjacente. C’est pour cela que l’on note la composante basse fréquence sous la forme d’une moyenne temporelle
glissante sur une période de découpage. En effet, on peut écrire :
1
hil iT (t) =
T
Z
t+T
il (τ )dτ
t
Cette approximation est bien entendue valide dans le cas où la période de découpage est très faible vis à vis
des constantes caractéristiques du système, comme c’est le cas ici.
2
Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC
1.3
Propriétés
Dans ce qui suit, nous allons établir plusieurs propriétés utiles lors de la modélisation des convertisseurs
DC-DC.
Evolution de la composante basse fréquence. Précédemment, nous avons introduit la notation hxiT (t)
qui dénote la composante basse fréquence de la grandeur x. Cette composante basse fréquence évolue bien
entendu dans le temps, et l’on notera à présent :
hxiT (t) = Xe + x̃(t)
où Xe désigne la valeur à l’équilibre de la grandeur x, et x̃ désigne une variation basse fréquence (par rapport
à la fréquence de découpage) de cette grandeur. On verra dans les parties suivantes toute l’importance de cette
grandeur x̃, puisque c’est elle qui interviendra lorsque l’on cherchera à exprimer des fonctions de transfert.
Lien entre dérivée et valeur moyenne sur une période de découpage.
la quantité h dx
dt iT . Soit x(t) une grandeur d’état. On a :
h
dx
1
iT =
dt
T
Z
t+T
dx =
t
On s’intéresse maintenant à
x(t + T ) − x(t)
T
Or on se rappelle que l’on peut décomposer x(t) sous la forme x(t) = hxiT + xHF (t). Il convient alors de
remarquer que la composante xHF (t) est périodique de période T (voir exemple introductif). Il vient alors :
hxiT (t + T ) − hxiT (t)
dx
iT =
dt
T
Cette grandeur peut alors être approximée en général par la dérivée de hxiT (t), la période de découpage T
étant très faible :
h
h
dx
dhxiT
iT '
dt
dt
Valeur moyenne sur une période de découpage d’un produit de deux grandeurs. Considérons
deux grandeurs, x(t) une grandeur d’état et u(t) la commande. On cherche à exprimer la moyenne sur une
période de découpage du produit x(t)u(t) :
hxuiT = h(hxiT + xHF )(huiT + uHF )iT
= hxiT huiT + hxiT huHF iT + huiT hxHF iT + hxHF uHF iT
' hxiT huiT
Ce résultat fondamental est obtenu ici en se rappelant que hxHF iT = huHF iT = 0 et en considérant que le
terme hxHF uHF iT est négligeable, étant donné que le terme xHF est d’amplitude très faible car x est une
grandeur filtrée (par les éléments passifs L, R et C) : on peut alors considérer que hxHF uHF iT ' 0.
1.4
Conservation du système différentiel par passage à la valeur moyenne.
Revenons à présent sur l’exemple introductif. La variable d’état est ici le courant il dans l’inductance. On peut
écrire le système différentiel suivant, en fonction de la valeur de la tension E(t). On note E = 1 V.
(
l
E(t) = 1
E = L di
dt + Ril (t)
l
E(t) = 0
0 = L di
dt + Ril (t)
Ce système peut se mettre sous la forme condensée suivante :
L
dil
+ Ril (t) = E(t)
dt
3
Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC
Passons à présent à la valeur moyenne sur une période de découpage. A l’aide des résultats précédents, on
obtient donc :
dhil iT
+ Rhil iT (t) = hEiT (t)
dt
On vient donc de montrer que l’évolution basse fréquence de il (autrement dit la moyenne sur une période de
découpage) et de E(t) obéit à la même équation différentielle que le système découpé. Ceci justifie
donc l’utilisation de hil i(t) pour étudier la dynamique du système : on s’affranchit donc du phénomène de
découpage.
L
Remarque Bien qu’ici on se soit placé dans le cas d’un circuit L − R, on aurait exactement le même résultat
c
dans le cas d’un circuit R − C, à savoir qu’il y aurait conservation de l’équation d’Ohm ic = dv
dt par passage
à la valeur moyenne.
2
Modélisation par la méthode des générateurs moyens
Dans toute la suite, on supposera que l’on est en conduction continue. Nous illustrerons cette méthode au
travers d’un exemple, le hacheur "buck".
u(t)
L
il
E
C
R
vs
Figure 3 – Schéma du hacheur série, dit "buck"
La méthode des générateurs moyens, aussi appelée modèle de Vorperian, consiste à remplacer les interrupteurs
de puissance par des générateurs de tension (resp. courant) de valeur égale à la valeur moyenne de la tension
(resp. courant) sur une période de découpage. Les valeurs de ces tensions et courants moyens seront exprimées
préférentiellement en fonction des grandeurs d’état il (t) et vs (t).
Dans le cas présent du hacheur série, nous allons chercher le générateur de courant moyen correspondant à
l’interrupteur, et le générateur de tension moyen correspondant à la diode.
Etude en fonction de u(t) Pour u(t) = 1, l’interrupteur est fermé et donc le courant dans l’interrupteur
est égal à iK = il . De même, la tension aux bornes de la diode est vd = E. Pour u(t) = 0, on a immédiatement
iK = 0 et vd = 0. On peut alors écrire l’expression de ik et vd à tout instant t :
ik (t) = u(t)il (t)
et
vd (t) = u(t)E
Passage à la moyenne sur un période de découpage En utilisant la propriété sur le produit à la section
1.3, on obtient :
hik iT (t) = huiT hil iT
et
Cela donne le schéma équivalent suivant :
4
hvd iT (t) = huiT E
Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC
huiT hil iT
L hi i
l T
huiT E
E
C
R
hvs iT
Figure 4 – Schéma équivalent moyen du hacheur série.
On constate tout d’abord que toutes les grandeurs électriques instantanées sont transformées en leur
valeurs moyenne sur une période de découpage. De plus, on peut tout de suite simplifier ce schéma en
"oubliant" la partie la plus à gauche, celle-ci étant court-circuitée par une source de tension. Ce schéma va à
présent nous permettre d’obtenir à la fois les valeurs d’équilibre et la dynamique des grandeurs d’état il et vs .
Dans toute la suite, on pose :
huiT = αe + α̃
hil iT = Ile + i˜l
hvs iT = Vse + v˜s
Etude en régime statique. L’étude en régime statique se fait en remplaçant les grandeurs moyennées par
leur valeurs d’équilibre. On trouve immédiatement :
αe E
R
= αe E
Ile =
Vse
˜
Etude en régime dynamique On s’intéresse maintenant aux fonctions de transfert vα̃˜s et iα̃l . Pour cela,
on cherche le schéma petits signaux du dispositif : une manière simple de l’obtenir est d’éteindre les sources
continues, à l’instar de l’étude du régime dynamique des montage amplificateurs à transistors.
L
i˜l
α̃E
C
R
v˜s
Figure 5 – Schéma équivalent petits signaux du hacheur série.
A partir de ce schéma, on peut obtenir facilement les fonctions de transfert recherchées. On a les relations :
1
v˜s =
1
R +Cp
Lp +
i˜l =
1
α̃E
1
R +Cp
α̃E
1
Lp + 1 +Cp
R
On obtient alors les fonctions de transfert recherchées :
v˜s
=
α̃
1+
i˜l
E
1 + RCp
=
L
α̃
R1+ R
p + LCp2
E
+ LCp2
L
Rp
5
Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC
Remarque. Cette méthode, bien que très simple à mettre en oeuvre, comporte un inconvénient majeur. En
effet, l’étude de structures plus complexes se transforme vite en "bouillabaisse équationnelle" de par la multiplication des générateurs moyens associés aux interrupteurs. Dans la suite, on présentera une autre méthode
basée sur l’étude d’un système d’état, et qui à l’avantage de résoudre en partie ce problème d’accumulation
des équations.
3
3.1
Modélisation par modèle d’état moyen
Exemple
Le principe de la modélisation par modèle d’état, ou state-space averaging repose sur l’expression du modèle
d’état pour chaque état de la commande u(t). Voyons comment cette méthode s’articule au travers d’un
exemple, le hacheur "boost".
L
il
u(t)
E
C
R
vs
Figure 6 – Schéma du hacheur parallèle, dit "boost"
Les grandeurs d’état sont ici le courant dans l’inductance il et la tension aux bornes du condensateur vs . On
T
pose le vecteur d’état x = il vs .
Etat 1 : u(t) = 1 L’interrupteur est fermé, on obtient alors les relations suivantes faisant intervenir les
différentes grandeurs d’état :
dil
dt
vs
dvs
+
=0
C
dt
R
On peut réécrire ce système d’équations sous la forme d’une équation d’état :
E 0
0
ẋ =
x + L = A1 x + B 1
1
0 − RC
0
{z
}
|
| {z }
E=L
A1
(1)
B1
Etat 2 : u(t) = 0 L’interrupteur est ouvert, on a alors les relations suivantes :
dil
+ vs
dt
dvs
vs
il = C
+
dt
R
E=L
On obtient l’équation d’état suivante :
ẋ =
0
1
C
|
E − L1
L
x
+
= A2 x + B2
1
− RC
0
{z
}
| {z }
A2
B2
6
(2)
Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC
Obtention du modèle d’état instantané Pour obtenir le modèle d’état instantané, il suffit de combiner
les équations (1) et (2).
(1) × u(t) + (2) × (1 − u(t)) =⇒ ẋ = (A1 u(t) + A2 (1 − u(t))) x + B1
(3)
où l’on a remarqué que B1 = B2 . Ce système d’état est donc valable à tout instant t, et quelque soit u(t).
Passage au modèle moyen Pour passer au modèle moyen – c’est à dire s’affranchir du découpage –
nous allons utiliser un certain nombre de propriétés démontrées au 1.3. Tout d’abord, on pose les grandeurs
moyennes :
huiT (t) = αe + α̃
hxiT (t) = Xe + x̃
On applique l’opération de moyennage au système d’état instantané (3). On obtient alors :
dhxiT
= (A1 huiT + A2 (1 − huiT )) hxiT + B1
dt
où l’on a utilisé les propriétés hẋiT =
dhxiT
dt
(4)
et hxuiT = hxiT huiT .
Etude de l’état d’équilibre On va tout d’abord étudier l’état d’équilibre du système. On a donc :
huiT (t) = αe
hxiT (t) = Xe
En remplaçant dans l’équation du modèle moyen, on obtient :
−1
Xe = − [A1 αe + A2 (1 − αe )]
B1
Ce qui donne le résultat suivant, bien connu puisque correspondant à l’approche statique des convertisseurs :
!
E
Ile
R(1−αe )2
(5)
=
E
Vse
1−α
e
Linéarisation autour de l’état d’équilibre (Xe , αe ) Pour obtenir le modèle d’état petit signaux du
hacheur, nous allons linéariser le modèle d’état moyen autour de l’état d’équilibre (Xe , αe ). Remarquons tout
d’abord que le modèle d’état moyen peut s’écrire sous la forme :
ẋ = f (hxiT , huiT )
On utilise alors un développement limité de Taylor à l’ordre 1 :
x̃˙ =
∂f
∂f
|(Xe ,αe ) x̃ +
|(Xe ,αe ) α̃
∂hxiT
∂huiT
(6)
Après un calcul immédiat, le système d’état linéarisé s’écrit :
x̃˙ = (A1 αe + A2 (1 − αe ))x̃ + (A1 − A2 )Xe α̃
7
(7)
Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC
˜
Obtention des fonctions de transfert Pour obtenir les fonctions
de transfert vα̃˜s et iα̃l , il faut à présent
définir une équation d’observation du type y = C x̃, où C = 0 1 pour obtenir y = v˜s et C = 1 0 pour
obtenir y = i˜l . On a alors le modèle d’état suivant :
(
x̃˙ = (A1 αe + A2 (1 − αe ))x̃ + (A1 − A2 )Xe α̃
y = C x̃
Un calcul classique donne la fonction de transfert
y
α̃
:
y
−1
= [pI − (A1 αe + A2 (1 − αe ))] (A1 − A2 )Xe
α̃
(8)
soit :
v˜s
E
=
α̃
(1 − αe )2 1 +
L
R(1−αe )2 p
L
LC
2
R(1−αe )2 p + (1−αe )2 p
1−
et
i˜l
2E
=
α̃
R(1 − αe )3 1 +
1+
RC
2 p
L
R(1−αe )2 p
+
LC
2
(1−αe )2 p
(9)
Remarque. Dans le cas du hacheur boost en conduction continue, on remarque que les différentes fonctions
de transfert dépendent de l’état d’équilibre αe . Ceci sera bien entendu à prendre en compte dans le calcul d’un
correcteur pour la régulation (compensation de pôle non possible par exemple).
30
vs (t)
20
10
0
0
5 · 10−4
1 · 10−3
1.5 · 10−3
Temps (s)
Figure 7 – Simulation du démarrage du hacheur boost pour α = 0.5 et E = 10 V. En bleu la tension
vs (t) et en vert la tension vs (t) obtenue par la méthode du modèle d’état moyen. Les valeurs
des composants utilisés sont L = 100 µH, C = 10 µF, R = 10 Ω. La fréquence de découpage
utilisée est F = 100 kHz.
3.2
Démarche générique
Ce que nous venons de voir au travers de cet exemple illustre la démarche générale pour l’étude dynamique
de structures de conversion DC/DC en conduction continue. En résumé, voici la démarche à suivre :
(a) Etablir le modèle d’état pour chacun des états des de la commande.
(b) En déduire le modèle d’état instantané.
(c) A partir du modèle d’état instantané, en déduire le modèle d’état moyen.
(d) Déterminer l’état d’équilibre du système.
(e) Linéariser le modèle d’état du système.
(f) Finalement, en déduire les différentes fonctions de transfert associées.
8
Modélisation dynamique des convertisseurs DC/DC
Références
[1] Ferrieux, J.-P., and Forest, F. Alimentations à decoupage et Convertisseurs à résonance. Dunod,
1999.
[2] Van Dijk, E., Spruijt, J., O’Sullivan, D. M., and Klaassens, J. B. Pwm-switch modeling of dc-dc
converters. Power Electronics, IEEE Transactions on 10, 6 (1995), 659–665.
[3] Vorpérian, V. Simplified analysis of pwm converters using model of pwm switch. ii. discontinuous
conduction mode. Aerospace and Electronic Systems, IEEE Transactions on 26, 3 (1990), 497–505.
9