Thm de Fejer
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Thm de Fejer
1 Théorème de Fejér Théorème 1. Soit f : R −→ C continue 2π-périodique et Sn (f ) la somme partielle d’indice n de la série de Fourier de f . Alors, la suite des sommes de Cesàro de (Sn (f ))n∈N∗ définie par NP −1 Sk (f ) vérifie lim kσN (f ) − f k∞ = 0. σN (f ) = N1 N 7→∞ k=0 Pour démontrer ce théorème, nous aurons besoins des deux lemmes suivants qui exposent les propriétés des noyaux de Dirichlet et de Fejèr nécessaires à la démonstration du théorème. N P Lemme 1. On note DN = en , le noyau de Dirichlet. Alors, on a : n=−N 1. 1 2π R 2π 0 Dn (t)dt = 1 2. ∀x 6∈ 2πZ, Dn (x) = sin((N + 12 )x) sin( x2 ) 3. SN (f ) = f ∗ DN , pour tout f ∈ L1 et N ≥ 0. Démonstration. : Point 1 : Pour n ∈ Z, on a : 1 2π R 2π 0 eint dt = δ0,n =⇒ N P Point 2 : Pour x 6∈ 2πZ, on a : einx = e−iN x 1 2π 2N P R 2π 0 Dn (t)dt = 1 einx = e−iN x n=0 n=−N ei(2N +1)x −1 eix −1 soit avec la formule de l’angle moitié : N X 1 e inx ei(N + 2 )x × 2i sin((N + 12 )x) x ei 2 × 2i sin( x2 ) = e−iN x n=−N ! = sin((N + x2 )) sin( x2 ) Point 3 : Pour n ∈ Z et f ∈ L1 , on a : 1 R 2π 1 R 2π −int cn (f )en (x) = f (t)e dt einx = f (t)ein(x−t) dt = f ∗ en (x). 0 2π 2π 0 N N P P Alors, pour N ≥ 1 et f ∈ L1 , SN (f ) = (f ∗ en ) = f ∗ en = f ∗ DN . n=−N D0 +...+DN −1 N Lemme 2. On note KN = R 2π 1 1. 2π Kn (t)dt = 1 0 2. ∀x 6∈ 2πZ, KN (x) = 1 N sin(N x 2) sin( x 2) 2 n=−N le noyau de Fejèr d’ordre N (N ≥ 1). Alors, on a : ≥0 3. σN (f ) = f ∗ KN , ∀f ∈ L1 , ∀N ≥ 1. Démonstration. : Point 1 : Pour n ≥ 0 on a : 1 2π R 2π 0 1 2π R 2π 0 Dn (t)dt = 1, et par linéarité de l’intégrale : Kn (t)dt = 1 N NP −1 n=0 1 2π R 2π 0 Dn (t)dt = 1 N × N = 1. N −1 P i(n+ 1 )x sin((n + 21 )x) 1 2 Point 2 : Pour x 6∈ 2πZ, N KN (x) = = Im e puis : sin( x2 ) sin( x2 ) n=0 n=0 N −1 i x iN x iN x N −1 P i(n+ 1 )x e 2 e 2 × 2i sin(N x2 ) −1 x P x e i i(nx) i 2 Im e = Im e 2 e = Im e 2 ix = Im x e −1 ei 2 × 2i sin( x2 ) n=0 n=0 NP −1 D’où : sin(N x2 ) x N KN (x) = Im(eiN 2 ) = sin( x2 )2 sin(N x2 ) sin( x2 ) 2 Point : D’après le lemme 1, on a pour f ∈ L1 et N ≥ 1 : N −1 NP −1 NP −1 P N σN (f ) = Sn (f ) = f ∗ Dn = f ∗ Dn =⇒ σN (f ) = f ∗ KN . n=0 n=0 n=0 2 Passons à la preuve du théorème de Fejèr : Démonstration. Pour δ ∈]0, π], introduisons ω(δ) = sup |f (u) − f (v)| qui est bien défini |u−v|≤δ puisque f étant continue et périodique, elle est en particulier bornée. De plus, f est en particulier uniformément continue et donc : ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀u, v ∈ R, |u − v| ≤ α =⇒ |f (u) − f (v)| ≤ ε On en déduit que lim ω(δ) = 0. δ7→0 Méthode 1. Soit x ∈ R et N ≥ 1, majorons |f (x) − σN (f )(x)| de manière indépendante de x. Par le lemme 2, on a : f (x) − σN (f )(x) = f (x) − 1 2π Rπ −π f (x − t)KN (t)dt = 1 2π Rπ −π (f (x) − f (x − t))KN (t)dt D’où, par positivité de KN : ≤ Rπ 1 2π |f (x) − σN (f )(x)| ≤ 1 2π R |f (x) − f (x − t)|Kn (t)dt R 1 |f (x) − f (x − t)| KN (t)dt + 2π |f (x) − f (x − t)| KN (t)dt |t|≤δ | δ<|t|≤π | {z } {z } −π ≤ω(δ) ω(δ) 2π ≤ ω(δ) 2π ≤ ≤2||f ||∞ R |t|≤δ Z |t|≤δ KN (t)dt + kf k∞ π KN (t)dt + kfπk∞ | {z R δ<|t|≤π R δ<|t|≤π KN (t)dt 1 dt N sin( 2t )2 } Rπ ≤ −π Kn (t)dt=2π Alors, pour δ ∈]0, π] et δ ≤ |t| ≤ π, on a t ∈ [−π, −δ[∪]δ, π] et 2t ∈ [− π2 , − 2δ [∪] 2δ , π2 ], ce qui donne : 1 1 |sin( 2t )| ≥ |sin( 2δ )| =⇒ ≤ (Dessiner le cercle trigo pour y voir plus clair) sin( 2t )2 sin( 2δ )2 puis : 1 dt δ<|t|≤π N sin( 2t )2 R ≤ 1 dt δ<|t|≤π N sin( δ2 )2 R ≤ Rπ 1 dt −π N sin( δ2 )2 = 2π N sin( 2δ )2 Conclusion : finalement pour tout x ∈ R, on a : |f (x) − σN (f )(x)| ≤ ω(δ) + 2kf k∞ 2kf k∞ =⇒ kf − σN (f )k∞ ≤ ω(δ) + N sin( 2δ )2 N sin( 2δ )2 En passant à la limite supérieure on a : lim sup kf − σN (f )k∞ ≤ ω(δ) et comme lim ω(δ) = 0, δ7→0 N −→∞ en faisant tendre δ vers 0 on a donc : lim sup kf − σN (f )k∞ ≤ 0 N −→∞ et donc lim kf − σN (f )k∞ = 0. N 7→∞ Remarque 1. Pour f ∈ Lp (1 ≤ p < ∞), on a aussi lim kσN (f ) − f kp = 0. N 7→∞ Application 1. Pour tout N ≥ 1, σN (f ) étant un polynôme trigonométrique, on en déduit que l’ensemble des polynômes trigonométriques est dense dans l’ensemble des fonctions continues 2π-périodiques de R dans C. Application 2. Soit f : R −→ C une fonction continue 2π-périodique. Supposons que pour x0 ∈ R, lim Sn (f )(x0 ) = l, alors l = f (x0 ). n7→∞ Démonstration. Par le théorème de Cesàro, on a : lim σN (f )(x0 ) = lim N 7→∞ N 7→∞ S0 (f )(x0 )+...+SN −1 (f )(x0 ) N =l 3 Or, lim kσN (f ) − f k∞ = 0 et donc en particulier (σN (f )(x0 ))N ≥1 converge vers f (x0 ). Ainsi, N 7→∞ par unicité de la limite l = f (x0 ). Référence : Zuily-Queffélec. Analyse pour l’agrégation, pages 75 à 77 et 84 à 88. Rappel 1. Pour p ≤ 1 ≤ ∞, on note Lp l’espace vectoriel (des classes) de fonctions f : R −→ C, 2π-périodique et Lebesgue-mesurables telles que ||f ||p < ∞ avec : kf kp = 1 2π R 2π 0 1/p |f (t)|p dt si 1 ≤ p < ∞ et kf k∞ = borne supérieure essentielle de |f |. Rappel 2. Si f ∈ L1 , et n ∈ Z, on définit le n-ème coefficient de Fourier de f par la formule : R 2π 1 f (t)e−int dt. cn (f ) = 2π 0 Rappel 3. Pour 1 ≤ p < q ≤ ∞, on a l’emboîtement décroissant Lq ⊂ Lp car la mesure de Lebesgue de [0, 2π] est finie. Rappel 4. Une fonction à variable réelle continue et périodique est uniformément continue. Démonstration. Supposons f continue périodique de période T . Alors [0, T ] étant compact, l’application du théorème de Heine, nous donne : ∀ε > 0, ∃αε (≤ T ), ∀x, y ∈ [0, T ], |x − y| ≤ αε =⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε 2 Notre objectif est de montrer que f est uniformément continuer sur R tout entier. Pour ε > 0 soient x, y ∈ R tels que |x − y| ≤ αε . S’il existe k ∈ Z tel que (x, y) ∈ [kT, (k + 1)T ], alors on a x − kT ∈ [0, T ] et y − kT ∈ [0, T ] puis |(x − kT ) − (y − kT )| = |x − y| ≤ αε ce qui nous donne : |f (x) − f (y)| ≤ ε 2 ≤ ε. Sinon, en supposant x ≤ y avec |x − y| ≤ αε ≤ T , on est nécessairement dans la configuration suivante : ∃k ∈ Z, (k − 1)T ≤ x ≤ kT ≤ y ≤ (k + 1)T Mais alors on voit facilement que |x − kT | ≤ |y − x| ≤ αε et |y − kT |≤ |y − x| ≤ αε ce qui donne par inégalité triangulaire : |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − f (kT )| + |f (kT ) − f (y)| ≤ D’où : ∀ε > 0, ∃αε , ∀x, y ∈ R, |x − y| ≤ αε =⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε 2 ε 2 + ε 2 =ε et f uniformément continue.