Position relative de trois plans dans l`espace – Géométrie Exercices

Position relative de trois plans dans l’espace – Géométrie
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour y accéder directement)




Exercice 1 : point d’intersection de trois plans et coordonnées du point d’intersection
Exercice 2 : droite d’intersection de trois plans et représentation paramétrique de la droite d’intersection
Exercice 3 : plan d’intersection de trois plans et représentation paramétrique du plan d’intersection
Exercice 4 : intersection vide de trois plans
Accès direct au site www.sos-devoirs-corriges.com
Position relative de trois plans dans l’espace – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
1
Exercice 1 (1 question)
Niveau : facile
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). On considère les plans ( ), ( ) et ( ) d’équations cartésiennes
et
. Déterminer l’intersection de ces trois
On munit l’espace d’un repère (
respectives
,
plans.
Correction de l’exercice 1
(
)
( )
( )
(
{
(
)
Retour au menu
( )
{
{
{
(
)
{
{
)
{
{
{
Finalement, l’intersection des plans ( ), ( ) et ( ) est le point de coordonnées (
).
Position relative de trois plans dans l’espace – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
2
Exercice 2 (2 questions)
Niveau : moyen
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). On considère les plans ( ), ( ) et ( ) d’équations cartésiennes
et
.
On munit l’espace d’un repère (
respectives
,
1) Montrer que les plans ( ), ( ) et ( ) sont sécants selon une droite.
2) Donner une représentation paramétrique de la droite d’intersection de ces trois plans.
Correction de l’exercice 2
Retour au menu
1) Montrons que les plans ( ), ( ) et ( ) sont sécants selon une droite.
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
( )
(
(
{
( )
( )
{
(
{
)
)
)
( )
( )
( )
{
( )
( )
( )
{
Ainsi, l’intersection des plans ( ), ( ) et ( ) est équivalente à l’intersection des plans ( ) et ( ) d’équations
cartésiennes respectives
et
, c’est-à-dire d’équations cartésiennes
( )
( )
respectives
et
.
Rappel : Vecteur normal à un plan
Dire qu’un vecteur ⃗⃗ non nul est normal à un plan signifie que toute droite de vecteur directeur ⃗⃗ est
orthogonale à ce plan.
L’ensemble des points
, ,
(
) de l’espace qui vérifient l’équation cartésienne
désignent des réels non tous nuls et
(où
un réel) est un plan de vecteur normal ⃗⃗ ( ).
Réciproquement, si un plan a pour vecteur normal ⃗⃗ ( ), alors ce plan a une équation cartésienne de la forme
(où , ,
désignent des réels non tous nuls et
Or, un vecteur normal à ( ) est le vecteur ⃗⃗ (
un réel).
) et un vecteur normal à ( ) est le vecteur ⃗⃗⃗⃗ (
). Les
vecteurs ⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ ne sont pas colinéaires donc les plans ( ) et ( ) sont sécants selon une droite.
Position relative de trois plans dans l’espace – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
3
Rappel : Vecteurs normaux non colinéaires et intersection de plans
Soient les plans ( ) et ( ) de vecteurs normaux respectifs ⃗⃗ ( ) et ⃗⃗⃗⃗ ( ).
 Point de vue géométrique : Les plans ( ) et ( ) sont sécants si et seulement si ⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ ne sont pas
colinéaires. L’intersection des plans ( ) et ( ) est une droite.
 Point de vue analytique : Les plans ( ) et ( ) sont sécants si et seulement si les triplets (
(
) et
) ne sont pas proportionnels. L’intersection des plans ( ) et ( ) est une droite.
2) Donnons une représentation paramétrique de la droite d’intersection des plans ( ), ( ) et ( ).
Rappel : Représentation paramétrique d’une droite
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soit ( ) la droite passant par le point (
On munit l’espace d’un repère (
) et admettant
⃗⃗
le vecteur ⃗⃗ (
⃗⃗ )
pour vecteur directeur.
⃗⃗
Dire qu’un point
(
) appartient à ( ) équivaut à dire qu’il existe un réel tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Autrement dit,
(
)
( )
⃗⃗
{
⃗⃗
(
⃗⃗.
). Ce système est appelé représentation
⃗⃗
paramétrique de la droite ( ).
Remarques :
 On note aussi (
⃗⃗) la droite ( ).
 A chaque valeur du paramètre correspond un point et réciproquement.
 Une droite admet une infinité de représentations paramétriques.
D’après la question précédente,
(
)
( )
( )
( )
{
{
(
{
(
{
(
{
{
)
)
)
(
)
{
Finalement, l’intersection des plans ( ), ( ) et ( ) est la droite passant par le point de coordonnées
(
) et de coefficient directeur
.
(
)
Position relative de trois plans dans l’espace – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
4
Exercice 3 (4 questions)
On munit l’espace d’un repère (
respectives
,
1)
2)
3)
4)
Niveau : moyen
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). On considère les plans ( ), ( ) et ( ) d’équations cartésiennes
et
où désigne un réel.
Donner un vecteur normal à chacun des plans ( ), ( ) et ( ).
En déduire que les plans sont parallèles.
Pour quelle(s) valeur(s) de les plans sont-ils strictement parallèles ?
Donner une représentation paramétrique du plan d’intersection de ces trois plans lorsque
Correction de l’exercice 3
.
Retour au menu
1) Donnons un vecteur normal à chacun des plans ( ), ( ) et ( ).
Tout d’abord, ( ) a pour équation cartésienne
donc ⃗⃗ (
, c’est-à-dire
(
)
) est un vecteur normal au plan ( ).
Enfin, ( ) a pour équation cartésienne
donc ⃗⃗ (
)
) est un vecteur normal au plan ( ).
Ensuite, ( ) a pour équation cartésienne
donc ⃗⃗ (
(
, c’est-à-dire
, c’est-à-dire
(
)
) est un vecteur normal au plan ( ).
2) Montrons que les plans sont parallèles.
Rappel : Vecteurs normaux colinéaires et parallélisme de plans
Soient les plans ( ) et ( ) de vecteurs normaux respectifs ⃗⃗ ( ) et ⃗⃗⃗⃗ ( ).
 Point de vue géométrique : Les plans ( ) et ( ) sont parallèles (c’est-à-dire confondus ou strictement
parallèles) si et seulement si ⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.
 Point de vue analytique : Les plans ( ) et ( ) sont parallèles (c’est-à-dire confondus ou strictement
parallèles) si et seulement si les triplets (
) et (
) ne sont pas proportionnels.
Remarque : Dans le cas où les plans ( ) et ( ) sont parallèles, si le point (
) appartient à ( )
mais n’appartient pas à ( ), alors ils sont strictement parallèles. Dans le cas contraire, ils sont confondus.
Position relative de trois plans dans l’espace – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
5
D’après la question précédente, ⃗ (
), ⃗ (
( ), ( ) et ( ). Or, ⃗
⃗ donc les vecteurs ⃗, ⃗ et ⃗ sont colinéaires.
⃗ et ⃗
) et ⃗ (
) sont des vecteurs normaux respectifs aux plans
Il vient que les plans ( ), ( ) et ( ) sont parallèles, c’est-à-dire confondus ou strictement parallèles.
3) Déterminons, suivant le paramètre réel
, lorsque les plans sont strictement parallèles ou confondus.
Les plans ( ), ( ) et ( ) ont pour équations respectives
.
,
et
Ainsi, ( ), ( ) et ( ) sont confondus si et seulement si les quadruplets (
(
) sont proportionnels.
Or, d’après la question précédente, ⃗
) sont proportionnels.
et (
), (
⃗. Autrement dit, les triplets (
⃗ et ⃗
) et
), (
)
Par conséquent, ( ), ( ) et ( ) sont confondus si et seulement si :
(
(
{
)
)
{
{
(
{
)
En conclusion, ( ), ( ) et ( ) sont confondus si et seulement si
seulement si
.
et sont strictement parallèles si et
4)
Rappel : Représentation paramétrique d’un plan
On munit l’espace d’un repère (
⃗⃗ (
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗ ) et ⃗ (
⃗⃗ ).
⃗⃗
⃗⃗
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soit le point (
) et soient les vecteurs non colinéaires
(
) appartient au plan ( ) passant par
dire qu’il existe un couple de réels et tels que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
Dire qu’un point
Autrement dit,
(
)
( )
{
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
et de vecteurs directeurs ⃗⃗ et ⃗ équivaut à
⃗.
(
). Ce système est appelé
représentation paramétrique du plan ( ).
Remarques :
 On note aussi (
⃗⃗ ⃗ ) le plan ( ).
 A chaque couple de valeurs des paramètres et correspond un point et réciproquement.
 Un plan admet une infinité de représentations paramétriques.
D’après la question qui précède, lorsque
, les plans ( ), ( ) et ( ) sont confondus.
) ( ) ( ) ( )
(
) ( )
Autrement dit, (
Position relative de trois plans dans l’espace – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
6
Donnons une représentation paramétrique de ( ). Pour cela, cherchons deux vecteurs directeurs non colinéaires
de ( ) et un point de ( ).
D’après la première question, ⃗ (
) est un vecteur normal à ( ) donc ⃗⃗ ( ) et ⃗ ( ) sont deux vecteurs
directeurs non colinéaires de ( ). En effet, d’une part ⃗ ⃗⃗
( )
⃗ ⃗
.
En outre, le point (
(
) appartient à ( ). En effet,
)
et d’autre part
.
Par conséquent, pour tous réels et ,
(
)
( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗
{
{
(
)
Une représentation paramétrique de l’intersection des plans ( ), ( ) et ( ) lorsque
{
(
est
).
Position relative de trois plans dans l’espace – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
7
Exercice 4 (1 question)
Niveau : facile
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). On considère les plans ( ), ( ) et ( ) d’équations cartésiennes
et
. Déterminer l’intersection de
On munit l’espace d’un repère (
respectives
,
ces trois plans.
Correction de l’exercice 4
(
)
( )
( )
( )
Retour au menu
( )
( )
( )
{
( )
{
(
(
)
)
{
( )
( )
( )
Les équations ( ) et ( ) sont incompatibles donc le système n’admet aucune solution.
On en déduit que les plans ( ), ( ) et ( ) ont une intersection vide.
Position relative de trois plans dans l’espace – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
8