1 Principe d`incertitude sur l`angle de di usion (ex. de cours) 2

Université Joseph Fourier. Master 1 Physique
TD de mécanique quantique, Frédéric Faure.
TD
Diusion 1. Sections ecaces, approximation de Born
Références : [1] chap.13, [2] chap.8.
1 Principe d'incertitude sur l'angle de diusion (ex. de cours)
Cet exercice est qualitatif. On cherche à évaluer la petite taille angulaire ∆θ à laquelle une
onde diusée peut varier. On considère un faisceau de particules qui diuse sur un potentiel dont
l'extension spatiale est a. En écrivant le principe d'incertitude pour la composante transverse de
l'impulsion diusée, déduire que l'incertitude ∆θ de l'angle de diusion est donné par
∆θ '
1
,
ka
|~
p| = ~k
Calculer ∆θ lorsque les particules sont :
1. des protons d'énergie E = 10MeV et a = 2.10−15 m. (aide : ~c ' 2.10−7 eV.m mp c2 ' 1GeV).
2. des protons d'énergie E = 10keV et a = 10−10 m.
3. des électrons d'énergie E = 5eV et a = 10−10 m (aide : me c2 ' 0.5MeV).
2 Approximation de Born pour des potentiels centraux
p̂
2
3
On considère le Hamiltonien
Ĥ = 2m +V (~x) dans L R . On suppose que le potentiel décroit
vite à l'inni (V (~x) = o |~x1| ). On rappelle que si une onde plane incidente selon l'axe z de vecteur
d'onde k, notée eikz , diuse sur le potentiel V (~x), alors l'onde stationnaire résultante ψ (~x) dans
tout l'espace a la forme suivante loin de l'origine :
2
eikr
,
pour r = |~x| → ∞
r
où ~x ≡ (r, θ, ϕ) sont les coordonnées sphériques, et f (k, θ, ϕ) est appelée amplitude de diusion.
Dans l'approximation de Born, en notant U (~x) = 2m
x), on a vu en cours que
~2 V (~
Z
1
~ 0
ei∆.~x U (~x0 ) d3 ~x0
f (k, θ, ϕ) ' f Born (k, θ, ϕ) = −
4π
ψ (~x) → eikz + f (k, θ, ϕ)
~ = ~k − ~k 0 , où ~k 0 = k ~x ≡ (k, θ, ϕ) est le vecteur diusé. (Remarquer que l'intégrale est
Avec ∆
r
une transformée de Fourier du potentiel).
1. Montrer que pour des potentiels centraux (i.e. de la forme V (r)),
f Born (∆) = −
avec ∆ = 2k sin
z 0 , voir gure).
θ
2
1
∆
Z
∞
r sin (∆r) U (r) dr
0
~ soit sur l'axe
. Aide : choisir des coordonnées sphériques (r, θ0 , ϕ0 ) t.q. ∆
1
2. On rappelle aussi que la section ecace de diusion diérentielle et totale sont
2
dσ Born
= f Born ,
dΩ
Born
σtot
=
Z dσ Born
dΩ
dΩ
Montrer que la section ecace de diusion totale est :
Z
2
2π 2k Born
f
(∆) ∆d∆,
2
k 0
Aide : montrer que ∆ = 2k sin θ2 et sin (θ) dθ = ∆d∆/k2 .
Born
σtot
(k) =
E=
~2 k 2
2m
3 Calcul de sections ecaces avec l'approximation de Born
Calculer dans l'approximation de Born au premier ordre, l'amplitude de diusion f Born , la secBorn
Born
tion ecace de diusion diérentielle dσdΩ et totale σtot
pour les potentiels centraux suivants.
2m
On note U (r) = ~2 V (r). Dans chacun des cas, décrire la distribution angulaire, comparer les
Born
résultats entre eux. Vérier que σtot
' AE −1 pour l'énergie E → ∞, et déterminer le coecient
A.
1. Potentiel de Yukawa :
U (r) = U0
Aide :
Rβ
x
dx
0 (α+x2 )2
=
1
2α 1+ βα2
e−r/a
r
.
2. Potentiel Coulombien (en faisant a → ∞ dans les résultats du potentiel de Yukawa) :
1
U (r) = U0 ,
r
U0 =
qA qB
4πε0
3. Potentiel exponentiel (utiliser les résultats du potentiel de Yukawa) :
U (r) = U0 e−r/a
Aide :
Rβ
x
dx
0 (1+αx2 )4
=
2
+3/β 4 )
(α2 +3α/β
6 α+ β12
3
4. Potentiel de puits carré :
U (r) = U0 ,
=0
si r < a
sinon
References
[1] B.H. Bransden and C.J. Joachain. Introduction to quantum mechanics. Longman, 1989.
[2] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, and F. Laloe. Mécanique quantique.
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