CH 2 – TP 1 : Acoustique musicale Correction Les notes musicales

CH 2 – TP 1 : Acoustique musicale Correction
« La musique est une science qui doit avoir des règles certaines ; ces règles doivent être tirées d'un
principe évident, et ce principe ne peut guère nous être connu sans le secours des mathématiques. »
Jean-Philippe Rameau, Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels (1722).
La musique est-elle régie par des lois mathématiques ?
Les notes musicales ont quatre caractéristiques que sont la hauteur, le timbre, la durée et
l’intensité. Voyons cela de plus près
Travail anticipé :
La hauteur d'un son est la sensation physiologique qui permet de dire si un son est plus aigü ou plus
grâve qu'un autre son
Le timbre désigne l'ensemble des caractéristiques sonores qui permettent d'identifier un instrument
Pour enregistrer un son, on utilise un microphone relié à un ordinateur. Ce microphone délivre une
tension (en Volt) proportionnelle à l'amplitude de la membrane du micro, ce qui nous permet de
"visualiser" le son sur un écran.
I- Quelques idées sur la notion de hauteur
On se propose d'analyser deux enregistrements de sons :
• le "diapason LA3"
• la "flute LA4"
Visualiser l’allure du signal micro dans les deux cas. Pour chacune :
- Caractériser la forme de l’onde (sinusoïdale ? triangulaire ? créneau ? périodique ?
quelconque ?)
- Déterminer la période et la fréquence de chaque son
Pour le diapason, le signal est sinusoïdal.
Pour déterminer la période, on utilise le logiciel atelier scientifique et à l'aide du pointeur :
T = 0,00392 - 0,006186 = 2,266.10-3 s
1
1
=441 Hz
et donc : f = =
T 2,266.10−3
Même méthode pour la flute LA4 : Le signal est périodique (non sinusoïdal). La période est
d'environ T=1,76.10-3 s et la fréquences est de 860Hz
Conclusion
A quelle grandeur est lié la hauteur d'un son?
La hauteur d'un son est relié à la fréquence.
Le diapason standard a été fixé, sur l’initiative de la France, à 870 vibrations par seconde à la
température de 15°C. Plus précisément, le diapason a été fixé, à Paris au milieu du XIX ème siècle, à 870
vibrations "simples" pour la note LA3.
Les "vibrations simples" de l'époque sont considérées aujourd'hui comme des demi-vibrations : le
diapason est donc à 435 vibrations "doubles", soit 435 Hertz. La température de 15° est celle à laquelle
l'instrument fabriqué alors (par Lissajous − il est conservé aujourd'hui au Conservatoire National des
Arts et Métiers) a été jugé juste. Une Commission internationale réunie vers 1880 a jugé que les
Français étaient bien cruels de faire jouer leurs musiciens à une température aussi basse et a supposé
que les instruments jouant à 435 Hz à 15° seraient plus proches de 440 Hz à 20°: c'est l'origine du
diapason moderne.
Mais le diapason de Lissajous, même chauffé à 20°, fait toujours entendre à peu près 435 Hz... Peu
importe, il s’agit avant tout d’une convention internationale.
II- Quelques idées sur la notion de timbre
On arrive sans difficulté à distinguer à l’oreille le son d’une flûte de celui d’un violon jouant la
même note car leur timbre est différent. Essayons de comprendre de quoi il s’agit.
En 1822, le mathématicien Joseph Fourier montre que n’importe quelle fonction périodique peut se
décomposer comme une somme de fonctions sinusoïdales simples de fréquences multiples d’une
fréquence f appelée fondamentale.
Faire l’analyse de Fourier d’un signal périodique, c’est donc déterminer quelles sont les fonctions
périodiques «simples » (appelées harmoniques) qui composent ce signal complexe.
Les contributions scientifiques du physicien Joseph Fourier concernent de nombreux domaines. En fait,
nous en profitons tous les jours, souvent sans le savoir : télécommunications, compression de son
(MP3) ou d'image, imagerie médicale... Dans le cas précis d'un son musical, la théorie de Fourier
permet de mieux saisir la structure des sons complexes, en les interprétant comme la supermosition de
sons simples ou "purs". Mathématiquement, un son pur est une onde sinusoïdale. Un son tenu, comme
une voyelle que l'on chante a une heuteur fixée, correspond en première approximation à un
phénomène périodique de fréquence f : c'est une vibration de l'air qui se répète dans le temps. D'après
la théorie de Fourier, un tel son est interprété comme la superposition d'un son "pur" de fréquence f
(appelé fondamental) et de sons "purs" de fréquences 2f, 3f, 4f, 5f, etc, qui sont les harmoniques.
L'analyse de Fourier consiste donc à extraire les contributions relatives de chacun des harmoniques.
D'après L'oeuvre de Fourier et les mathématiques contemporaines, Emmanuel Ferrand.
1)a) Qu'est ce que le spectre d'une onde?
Le spectre d'une onde est la représentation des différentes composantes fréquencielles de
l'onde. On le représente sur un axe gradué en fréquence (ou longueur d'onde)
b) Expliquer en deux ou trois phrases ce qu'est une analyse de Fourier.
Tout signal périodique peut se décomposer comme la somme de fonctions sinusoïdales. Une
fonction sinusoïdale est caractérisée par une unique fréquence. Faire l'analyse de Fourier, c'est
tracer le spectre de l'onde, ou encore, déterminer les différentes composantes fréquencielles de
l'onde.
Animation : http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/fourier/fourier1/fourier1.html
2) A l’aide du logiciel de traitement (atelier scientifique), réaliser l’analyse de Fourier du son
émis par un diapason (diapason.wav), puis celui émis par la flûte (flute.wav) et celui d’un violon
(violon.wav) produisant la même note.
Compléter ensuite le tableau suivant.
Instrument
Harmonique 1
(Le fondamental)
Fréquence
(f1)
Amplitude
diapason
440
5400
flûte
860
violon
444
Harmonique 2
Harmonique 3
Fréquence
Amplitude
Fréquence
Amplitude
1470
1730
160
2575
380
245
884
190
1330
524
a) Le son émis par un diapason est « pur ». Explique ce terme.
Le son émis par un diapason est sinusoïdale. Son spectre (analyse de Fourier) est caractérisé
par une seule harmonique (le fondamental).
b) Quelle relation trouve-t-on entre les fréquences des différentes harmoniques ?
Pour l'harmonique de rang n : fn = n x f1
Pour aller plus loin
Le fichier accord.wav correspond à un accord joué au piano : en expliquant votre démarche,
retrouver les notes de l’accord et les jouer sur le piano virtuel piano.swf pour vérifier.
Détermination des fréquences fondamentales et des eventuels harmoniques
521 Hz 1054 Hz ; 1575 Hz ; -> Do 4
656 Hz 1324 Hz ; 1990 Hz -> Mi 4
1180Hz ; 2375 Hz ; -> Re 5
Conclusion
En physique, qu'est ce qui caractérise le timbre d'un son?
Le timbre d'un son est relié aux harmoniques du signal. Plusieurs caractéristiques des
harmoniques sont à étudié pour connaitre le timbre :
– la fréquence des harmoniques
– l'amplitude de chacune d'entre elles
III- Quelques idées sur la notion d’intensité sonore et de niveau d'intensité
Expérience : on place un sonomètre (de surface fixe S) à proximité d’un haut-parleur : il indique
le niveau sonore en décibels (dB).
Quand on augmente la tension efficace aux bornes du HP, le niveau acoustique augmente. Si
on éloigne le sonomètre de la source sonore, le niveau sonore diminue. Essayons de
comprendre pourquoi ?
1) Intensité sonore
La source S libère une énergie acoustique Ea (en joules)
aux couches d’air en contact avec sa membrane. Cette
énergie est transportée par une onde sphérique qui se
propage de proche en proche.
a) La puissance acoustique Pa correspond à l’énergie reçue
par unité de temps : indiquer la formule et les unités
Ea
(en watt W).
P a=
∆t
b) L’intensité sonore I est la puissance acoustique reçue par unité de surface : (indiquer la
formule et l'unité)
Pa
(en W.m-2)
S
Le seuil de sensibilité de l’oreille est l’intensité de référence I o = 10-12 W.m-2
Le seuil de douleur est de quelques unités de I.
I=
Pourquoi l'intensité sonore augmente lorsqu'on augmente la tension efficace aux bornes du HP
Quand on augmente la tension efficace aux bornes du HP, on augmente la puissance transmise
par le générateur au HP. On augmente donc aussi la puissance transmise par le HP aux
couches d'air avoisinantes. Le phénomène de compression/décompression de l'air étant plus
important, le niveau sonore augmente.
Pourquoi l'intensité sonore diminue lorsqu'on éloingne le sonomètre?
En se propageant, l'onde sonore, qui est sphérique, augmente sa surface. Or la puissance
totale reste inchangée. Cela signifie que la puissance surfacique (ou inensité sonore) diminue.
Le sonomètre (ou l’oreille), de surface fixe, ne reçoit qu’une portion de cette énergie, portion
d’autant plus faible qu’on s’éloigne de la source.
2) Niveau d'intensité sonore
Pour comparer les sensations perçues par l’oreille, on
utilise une grandeur plus adaptée : le niveau d'intensité
sonore (ou acoustique) noté L.
Il est défini pour une intensité sonore I par la relation :
I
L=10. log
(en décibels (dB))
I0
a) Indiquer les niveaux sonores sur le schéma ci-contre
Remarque : l'intensité sonore est additive contrairement au
niveau sonore.
b) Comment évolue le niveau sonore quand l’intensité
sonore est doublée ? Le vérifier, éventuellement, par
l’expérience.
Voici le niveau sonore pour un signal d'intensité I :
I
L I =10 . log
I0
Voici le niveau sonore pour un signal d'intensité 2I :
2I
I
L 2I=10 . log =10 . log +10. log 2=L I +3
I0
I0