Modéliser l`actif d`un organisme assureur

Modéliser l’actif d’un organisme
assureur : quelques réflexions.
Journées d’étude IA / SACEI
15 mai 2009
Frédéric PLANCHET
Préambule
La mise en œuvre de Solvabilité 2 d’une part et de la norme IFRS assurance
d’autre
d
autre part nécessite de recourir à des modèles stochastiques pour ces
actifs pour (au moins) les deux problématiques suivantes :
‰ Le calcul des provisions techniques,
techniques au travers de ll’évaluation
évaluation des
options et la mise en place des couvertures associées ;
‰ L
La détermination
dét
i ti du
d SCR (Solvabilité
(S l bilité 2) via
i un critère
itè de
d probabilité
b bilité de
d
ruine (VaR sur un quantile « élevé »).
Mettre en œuvre une MCEV nécessite également le recours à ces modèles.
Les modèles standards constituent des approximations trop grossières des
comportements des actifs risqués (individuellement et conjointement) dans
ce contexte.
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Préambule
Avant de p
poursuivre, on p
peut s’interroger
g sur l’utilisation q
qui sera faite du
modèle :
prix ;
- évaluation de p
- gestion de couvertures ;
- ALM ;
- besoin en capital.
En fonction de ll’utilisation
utilisation prévue,
prévue un modèle pourra ss’avérer
avérer plus ou moins
performant.
L’horizon de p
projection
j
est un critère de choix important.
p
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Sommaire
1. Quel modèle
2 Quelles données ?
2.
3. Risques associés
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1. Quel modèle ?
La construction d'une modélisation robuste et cohérente de l'actif d'un
assureur ou d
d'un
un régime de retraite est une problématique importante qui est
aujourd'hui souvent abordée de manière sommaire.
Deux classes de modèles sont rencontrées en pratique :
- des modèles "composites", constitués de l'agrégation de modèles
adaptés à chaque classe (actions, taux, immobilier, etc.) ;
- des modèles "intégrés" prenant en compte dans leur structure une
interdépendance forte entre les classes d’actifs.
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1. Quel modèle ?
Exemple : structure du modèle d’Ahlgrim et al. :
Inflation
Montant des dividendes
Taux d'intérêt réel
Taux d'intérêt nominal
Revenus de l'immobilier
Rendement des actions (large
stocks )
Rendement des actions (small
stocks )
et en général :
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1. Quel modèle ?
Un modèle d'actifs dans un contexte d'assurance se doit d'intégrer d'une part
des fluctuations de court terme sur la valeur des actifs et d
d'autre
autre part d
d'être
être
cohérent à long terme avec les équilibres macro-économiques reliant
l'inflation, les taux d'intérêt et le taux de croissance de l'économie.
A long terme, il est considéré qu'il existe un lien étroit entre le taux d'intérêt
nominal prévalant sur les marchés financiers, le taux d'inflation, c'est-à-dire
l'évolution de l'indice des prix, et le taux d'intérêt réel. Plus précisément, le
taux d
d'intérêt
intérêt nominal est égal à la somme du taux d
d'intérêt
intérêt réel et du taux
d'inflation :
Taux d'intérêt Nominal = Taux d'Inflation + Taux d'intérêt Réel
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1. Quel modèle ?
Simultanément, il existe un lien étroit à long terme entre le taux d'intérêt réel
et le taux de croissance réel de ll’économie
économie. Le taux d
d’intérêt
intérêt réel ne peut être
longuement très différent du taux de croissance de l'économie sauf à
provoquer des arbitrages entre activité financière et activité réelle d'une part,
entre investissement dans un pays et investissement dans d'autres pays
d’autre part:
Taux d'intérêt
d intérêt réel à long terme = Taux de croissance réel à long terme
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1. Quel modèle ?
Un modèle d'actifs en assurance intègre en général les supports
d'investissement
d
investissement suivants :
- les obligations ;
- les actions ;
- l'immobilier ;
- le monétaire.
La structure de l'actif de l'assureur est soumise à des contraintes : les actions
ne peuvent dépasser 65 %,
% le monétaire 10 % et ll'immobilier
immobilier 40 %.
%
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1. Quel modèle ?
Enfin, des éléments extérieurs doivent pouvoir être intégrés, comme par
exemple ll’objectif
objectif d
d’inflation
inflation fixé par la BCE.
BCE
L'assemblage souvent
so ent réalisé d'éléments issus
iss s de la finance de marché (un
( n
modèle de taux, un pour les actions, etc.) ne permet pas simplement de
prendre en compte l'ensemble de ces contraintes.
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1. Quel modèle ?
L'inflation est le facteur économique qui permet d'introduire les relations entre
les différentes classes d
d'actifs
actifs. Le modèle de Wilkie est sans doute le plus
connu de ce type de modèles. Il peut toutefois apparaître relativement
sommaire dans la modélisation interne de chaque type d'actif.
Le modèle d'Ahlgrim et al., constitue une alternative intéressante en
combinant une approche intégrée s'appuyant sur l'inflation avec la possibilité
d'utiliser
d
utiliser des modèles élaborés à ll'intérieur
intérieur de chaque classe d
d'actif
actif. Au
surplus, ce modèle est développé sous l'impulsion de la CASACT, ce qui lui
confère une certaine légitimité.
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Sommaire
1. Quel modèle
2 Quelles données ?
2.
3. Risques associés
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2. Quelles données ?
La perspective de long terme a des conséquences en terme de choix de
modèle mais aussi au niveau de ll'estimation
estimation des paramètres.
paramètres Celle-ci
Celle ci doit en
effet être menée sur des séries dont la fréquence et la profondeur doivent être
cohérentes avec l'horizon de projection envisagé, ce qui conduit en général à
rechercher des séries annuelles sur quelques dizaines d'années.
Disposer de données cohérentes répondant à ce cahier des charges n'est pas
aisé et il faut de ce point de vue saluer ll'étude
étude menée en 2007 par Jacques
Friggit :
Long Term (1800-2005) Investment in Gold, Bonds, Stocks and Housing in France – with
Insights into the USA and the UK : a Few Regularities
dont les données associées sont disponibles en ligne.
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2. Quelles données ?
Ces données sont utilisées par ailleurs dans le récent article d'A. Bernay paru
dans le BFA :
Does equity risk decrease in the long run? Some evidence from French data.
Cette source de données,
données actualisée régulièrement,
régulièrement devrait donc intéresser
tout particulièrement les assureurs dans le cadre du calibrage des modèles
d'actifs.
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2. Quelles données ?
Le choix de la période d’ajustement est déterminant ; par exemple, pour
ajuster un modèle AR(1) à ll’inflation
inflation (cas par exemple du modèle de Brennan
et Xia qui utilise un modèle d’OU) :
L’estimation de l’inflation tendancielle sur des périodes glissantes conduit à :
mais si on utilise toutes les données on trouve presque 5 %.
%
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2. Quelles données ?
Les conséquences pratiques sont très importantes, comme le montre cet
exemple de « backtesting » :
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2. Quelles données ?
On observe le rendement quotidien du CAC 40 du 20/08/2007 au 19/08/2008
(255 jours de bourse) ou depuis l’origine (4600 jours de bourse) :
xi = x(ti ) = ln
S(ti )
S(ti −1 )
0,08
0,06
0,04
0,02
-0,02
1
188
375
562
749
936
1123
1310
1497
1684
1871
2058
2245
2432
2619
2806
2993
3180
3367
3554
3741
3928
4115
4302
4489
0
-0,04
-0,06
-0,08
-0,1
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2. Quelles données ?
Il est utile de l’intéresser au positionnement de références externes par
rapport
pp aux données. Par exemple,
p , ici,, comment se p
positionne le QIS 4 ?
Dans le QIS 4, le choc à la baisse sur les actions est de 32 %. Avec le CAC
40, ce choc correspond à une probabilité de survenance de :
- période 03/1990-08/2008 : 4 % (rendement moyen de 4,7 %,
volatilité de 21 %)
- période 08/2007-08/2008 : 33 % (rendement moyen de -21 %,
volatilité de 23 %)...
On peut donc noter que :
- Le QIS 4 est calibré sur des durées longues
g
;
- sur presque 20 ans, 96 %=1-4 % reste loin du quantile à 99,5 %.
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2. Quelles données ?
Ces observations sont directement issues des données et dépendent donc
peu du choix de modèle d’actif qui sera retenu.
De plus, dans le cadre d’un modèle interne, la référence au quantile à 99,5 %
calibré sur des données de marché risque de conduire à un besoin en capital
sensiblement
ibl
t supérieur
éi
à celui
l i issu
i
d QIS 4,
du
4 dont
d t on vient
i t de
d voir
i qu’il
’il estt du
d
niveau du quantile à 96 % pour le CAC 40 sur les 18 dernières années.
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Sommaire
1. Quel modèle
2 Quelles données ?
2.
3. Risques associés
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3. Risques
q
associés
3.1. Risques associés à l’estimation des paramètres
L’estimation des p
paramètres d’un modèle d’actif p
peut être effectuée de
deux manières :
- estimation
ti ti
di t sur des
directe
d données
d
é historiques
hi t i
d la
de
l grandeur
d
modélisée (ex. : cours d’un sous-jacent) ;
- estimation à p
partir de la g
grandeur d’intérêt ((ex. : p
prix des
options).
Choix
C
o d
d’une
u e est
estimation
at o e
en p
probabilité
obab té historique
sto que ou risque
sque neutre
eut e
Si l’estimation est effectuée sur des données historiques,
q
, le choix de la
profondeur de l’historique est délicat.
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3. Risques
q
associés
3.1. Risques associés à l’estimation des paramètres
L’estimation p
peut induire une p
perte d’information significative,
g
, comme le
montre les travaux de P. Boyle (Windcliff et Boyle [2004]).
L’idée est de s’intéresser à la détermination de l’allocation optimale « à la
M k it » avec 5 supports
Markowitz
t d’investissement,
d’i
ti
t dont
d t les
l vraies
i valeurs
l
d
des
paramètres sont :
On compare cette allocation estimée avec l’allocation uniforme en « 1/N ».
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3. Risques
q
associés
3.1. Risques associés à l’estimation des paramètres
On p
peut alors comparer
p
la frontière efficiente théorique
q avec la « frontière
réelle » construite sur la base des pondération des supports estimées et
de la vraie loi sous-jacente :
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3. Risques
q
associés
3.1. Risques associés à l’estimation des paramètres
Dans la réalité toutefois on ne p
peut avoir de p
position courte,, ce q
qui modifie
le frontière efficiente, qui n’a plus d’expression paramétrique
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3. Risques
q
associés
3.2. Risques associés aux méthodes de simulation
En p
premier lieu il faut q
que la g
grandeur q
que l’on cherche à calculer existe…
Par exemple la loi de Cauchy :
fX ( x) =
1
π 1 + x2
(
)
n’a pas d’espérance.
En second lieu il faut que l’on puisse obtenir une précision suffisante en
un temps raisonnable. Supposons que l’on cherche à calculer :
⎛ x2 ⎞
E = E ( exp ( xN ) ) = exp ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
avec N une variable normale centrée réduite.
réduite
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3. Risques
q
associés
3.2. Risques associés aux méthodes de simulation
On va donc utiliser l’approximation
pp
:
1 n
En = ∑ exp ( xX i )
n i =1
avec X 1 ,… X n un échantillon gaussien centré réduit. Avec le théorème
central limite on trouve que l’erreur relative d’estimation est :
( )
exp x 2 − 1
En − E
=
E
n
Il en résulte que si x=1, une erreur relative de 10% nécessite environ
1000 tirages, mais pour x=5, une erreur relative de 100% nécessite
n=7x1010 tirages.
La méthode est donc inapplicable.
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3. Risques
q
associés
3.3. Risque discrétisation – méthode de « flexing »
Pour des raisons de temps
p de simplification
p
des calculs,, on décide p
parfois
de remplacer le faisceau de trajectoires du processus d’actif par un
ensemble simplifié construit de la manière suivante :
{
}
0 +∞
+ [ , ⎡ s j −1 , s j ⎡ ,1 ≤ j ≤ p
- on fixe
fi une partition
titi de
d [ 0,
⎣
⎣
- on pose ξ j ( t ) = E S ( t ) S (T ) ∈ ⎡⎣ s j −1 , s j ⎡⎣
(
)
- on définit un nouveau processus ξ ( t )
en sélectionnant l’une
des p trajectoires ξ j ( t ) chacune ayant la probabilité :
(
π j = Pr
P S (T ) ∈ ⎡⎣ s j −1 , s j ⎡⎣
)
En d’autres termes on effectue des regroupements de trajectoires en
fonction de la valeur au terme du processus d’origine.
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3. Risques
q
associés
3.4. Risque de modèle - robustesse
Les conséquences
q
d’une erreur de modèle p
peuvent être importantes,
p
,
comme l’illustre l’exemple de l’estimation de l’espérance dans un modèle
log-normal :
⎛
⎛
σ2 ⎞
σ̂ 2 ⎞
σ
⎟
⎟
μ = exp ⎜ m +
μˆ = exp ⎜ mˆ +
⎜
⎜
2 ⎟
2 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Si la distribution sous-jacente
sous jacente
l’estimateur μ̂ converge vers :
est
en
fait
exponentielle
exponentielle,
alors
⎛
⎛
σ *2 ⎞
π2 ⎞
⎟ = exp ⎜ −0, 577 +
⎟ ≈ 1, 28
exp ⎜ m * +
⎜
⎟
⎜
2
12 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
alors que la vraie valeur de l’espérance est 1. L’espérance empirique est
de ce point de vue robuste.
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3. Risques
q
associés
3.4. Risque de couverture – maîtrise du profil de risque
Dans le cas où le modèle d’actif est utilisé p
pour déterminer une p
provision
(cas des variable annuities par ex.), les montants obtenus n’ont de sens
que lorsque des couvertures sont mises en place et gérées :
La situation dans laquelle la gestion de la couverture n’est pas mise en
œuvre est bien plus dangereuse. Le « prix » de la clause optionnelle n’a
de sens qu’avec une gestion active du portefeuille de couverture.
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3. Risques
q
associés
3.4. Risque de couverture – maîtrise du profil de risque
Lorsque
q la couverture est mise en œuvre il faut se méfier de la « traking
g
errror » si des SICAV sont utilisées
Exemple : une SICAV "PASCAL Large CAP US" benchmarkée sur le SP500, qui avait 2% investi
chez Madoff et 5% de Cash chez Lehmans). Il n
n'existe
existe aucun dérivé sur la SICAV "PASCAL
PASCAL Large
CAP US" (en particulier des futures). Il est aussi difficile de "shorter" ce fond (peu liquide, ça dépend
de PASCAL et de sa bonne volonté).
Donc pour couvrir, on va utiliser des futures SP500, qui eux sont très liquides. La NAV historique
avait un bon alpha avec le SP500 (0.99), donc ça a du sens.
Quand Lehmans et Madoff se plantent le fonds prend -7%, indépendament du SP500. Cette perte est
"naked" puisque non reflétée dans le SP500 et c'est l'assureur qui compense.
Typiquement, la couverture est adaptée aux benchmarks. Si les fonds dévient, la couverture ne peut
rien faire.
=> la pratique actuelle a rapidement évoluée est les nouveaux GMB seront sur des indices liquides
seulement (ETF Trackers).
Trackers) Pas de rebates,
rebates des frais de transaction mais pas de risque tracking error.
error
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3. Risques
q
associés
3.5. Vision synthétique des risques
On p
peut synthétiser
y
l’analyse
y des risques
q
associés à la mise en p
place du
modèle au travers du schéma suivant :
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Conclusion
On peut retenir les éléments suivants :
- Le choix d’un modèle intégré permet d’assurer une modélisation
plus cohérente des actifs ;
- il importe de veiller à la prise en compte de contraintes macroéconomique tant structurelles que conjoncturelles ;
- la constitution d’une base de données pertinente est un exercice à
part entière
- l’invariance du modèle dans les mondes réel et risque neutre est
une propriété qui facilite son utilisation .
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( )
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Bureau
B
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L on
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