DÉMONSTRATION DE : E = mC I- Contribution à l`accélération pour

DÉMONSTRATION DE : E = mC 2
I- Contribution à l’accélération pour un choc perpendiculaire au
mouvement
On considère dans le référentiel représenté par une boîte rectangulaire, deux
particules de masses m qui viennent se heurter d’une manière symétrique : la
particule de gauche va vers la droite avec la vitesse v et vers le bas avec la vitesse
V ≫ v ; la particule de droite va vers la gauche avec la vitesse v et vers le haut
avec la vitesse V . Il est évident, par symétrie, que lors du choc, toutes les vitesses
sont inversées.
A
B
v
V
-
-
v
v
v
V
Examinons maintenant les choses vues depuis le référentiel où la boîte descend
avec la vitesse V . Ce qui se passe pour la particule A est alors vu avec un temps
différent : le temps propre de A. La particule de gauche fait un aller et retour
horizontalement avec la vitesse v ′ 6= v, vu avec le temps d’un référentiel où
elle va très lentement, donc vu avec son temps propre. L’élan donné à B par
l’opérateur A est mesuré par 2v ′. C’est un moyen de mesurer, vu du référentiel
fixe où A à une vitesse faible, la “force” appliquée par A sur B.
B
A
v'
-
v'
1
Examinons maintenant les choses vues depuis le référentiel où la boîte monte
avec la vitesse V . Par symétrie, l’aller et retour fait par la particule B est vu
avec la même vitesse v ′ que précédemment ! Le changement de vitesse de B vu
avec son temps propre est alors 2v ′. L’élan reçu par B mesuré avec son temps
propre est 2v ′ égal à l’élan mesuré dans le référentiel fixe, où A est animée d’une
vitesse faible, en terme d’action appliquée par A.
A
v'
-
B
v'
La contribution à l’accélération vers la droite de l’objet B par le choc avec
l’objet A ne dépend pas du référentiel choisi, A ou B. Cette contribution est la
même, mesurée avec B dans le référentiel où l’objet B est immobile, à part une
faible vitesse horizontale dans un sens puis dans l’autre, et dans le référentiel où
l’objet B est en plus animé d’une très grande vitesse vers le haut, mais mesurée
avec A et le temps de A.
L’action mesurée dans le référentiel de A mènera à la force appliquée par A
sur B mettant B en mouvement, tandis que l’action mesurée dans le référentiel
de B mènera à la force subie par B mesurée dans son référentiel avec son temps
propre. La distance horizontale étant toujours perpendiculaire au mouvement
ne subit aucune contraction des longueurs et est toujours égale à elle-même vue
dans le référentiel de A ou de B.
II- Loi d’accélération des corps
La masse représente l’inertie d’un corps, c’est-à-dire la difficulté qu’on a, par
exemple, à le mettre en mouvement s’il est arrêté. m étant la masse de l’objet, v
F
t;
sa vitesse, F la force constante qui lui est appliquée, et t le temps, on a : v = m
on peut en déduire, par la règle de dérivation et d’intégration en mathématique,
que, x étant la position de la particule, avec x = 0 à t = 0 quand on commence
F 2
t.
à appliquer la force et que la particule est encore immobile : x = 21 m
2
III- Accélération suivant son axe d’un cercle massique tournant
On considère un cercle massique tournant autour de son axe, l’axe des x,
de telle manière qu’un point de ce cercle est animé de la grande vitesse V . À
t = t1 = 0, le centre O de ce cercle est immobile.
Le temps t est le temps vu depuis le référentiel (R) fixe associé à l’axe des
x supposé toujours immobile, et le temps t1 est celui indiqué par des horloges
fixées sur le cercle (référentiel (R1)) et donc animées de la vitesse V . Ce cercle
est bombardé par des particules qui arrivent parallèlement à l’axe des x avec une
vitesse v positive, donc dirigée vers la droite, et qui repartent, après choc avec
le cercle, avec la vitesse −v vers la gauche. La durée t1 vue depuis le cercle est
inférieure
q à la durée t correspondante vue depuis le référentiel fixe par l’équation
2
t1 = t 1 − VC 2 . Nous avons vu au I que chaque choc contribue pour la même
accélération vers la droite dans le référentiel lié au cercle, ou dans le référentiel
fixe. Mais, dans le référentiel lié au cercle, où le temps s’écoule plus lentement,
le débit des chocs est plus grand d’un facteur q 1 V 2 et donc la force subie est
1− C 2
multipliée par ce facteur, donc : F1 =
q F
.
2
1− VC 2
v
t1
v
v
O
t
V
×
x
v
Examinons maintenant la loi de mouvement de la circonférence dans les deux
référentiels (R1 ) tournant et (R) fixe.
1
1 F1t1 2
=
x = x1 =
2 m1
2
q 1
F
2
1− VC 2
m1
!
2
V
1− 2
C
3
2
t =
q
1 1−
2
V2
C2
m1
F t2
1
=
2
F t2
q m1
2
1− VC 2
!
1 F t2
x=
2 m
avec
m1
m= q
1−
V2
C2
On voit une augmentation de l’inertie de la circonférence dans le référentiel
fixe due à l’augmentation de son énergie.
V2
V2
Pour v ≪ C m ≃ m1 1 +
= m1 + m1 2
2C 2
2C
1
mC 2 = m1 C 2 + m1 V 2
2
On interprète cette équation en disant que l’énergie totale de la circonférence
dans le référentiel fixe E = mC 2 est la somme de l’énergie de masse m1 C 2 de la
circonférence et de son énergie cinétique 12 m1 V 2 .
On retrouve bien la fameuse formule d’Einstein E = mC 2 qui montre que la
masse, donc l’inertie d’un objet globalement immobile, c’est à dire de quantité
de mouvement totale nulle, augmente avec son énergie. Cette loi est donc une
conséquence directe du ralentissement du temps dans un référentiel en mouvement.
soit :
4