Des petites histoires de plans et d`espace

Vestiges d'une terminale S – De petites histoires de plans et d'espace
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Appartenir à un plan ou pas...telle est la question !
Un plan P de l'espace est parfaitement défini par trois de ses points non alignés A, B et C.
La question qui nous intéresse est : à quelles conditions par rapport à ces trois points, un
quatrième point M de l'espace appartient-t-il au plan P ?
Soit M un point de l'espace appartenant au plan P.
La droite d qui est la parallèle à la droite
P
d
(AC) passant par M appartient à ce plan P.
A
Comme les points A, B et C ne sont pas
X B
C
alignés, alors les droites (AB) et (AC) sont
sécantes. Il en va alors de même pour (AB) et
d'
la parallèle d. Nous notons X leur point
Y
d'intersection.
M
Comme le point X appartient à la droite (AB),
alors il existe un réel α tel que AX = α.AB .
De la même façon, la parallèle d' à la droite
(AB) coupe la droite (AC) en un point Y.
Comme Y fait partie de la droite (AC) alors il existe un réel β tel que AY = β.AC .
En définitive, si le point M appartient au plan P, alors il existe deux réels α et β tels que :
AM = AX + AY = α.AB + β.AC
Ce couple de réels ( α; β ) est unique ! Supposons qu'il en existe un autre ( α′; β′ ) . Alors :
α.AB + β.AC = AM = α′.AB + β′.AC ⇔ ( α − α′ ) .AB = ( β′ − β ) .AC
Attention à la colinéarité !
Si α ≠ α ′ ou si β ≠ β′ , alors les deux vecteurs ( α − α′ ) .AB et ( β′ − β ) .AC sont non
nuls. Par conséquent, AB et AC sont colinéaires. Donc A, B et C sont alignés. Absurde !
Caractériser certains objets de l'espace au moyen des barycentres
Théorème : caractérisation de certains objets de l'espace au moyen de barycentres
A, B et C sont trois points non alignés de l'espace.
1. La droite (AB) est l'ensemble des barycentres des points A et B.
2. Le segment [AB] est l'ensemble des barycentres des points A et B pondérés de
coefficients positifs ou nuls.
3. Le plan (ABC) est l'ensemble des barycentres des points A, B et C.
La preuve de ce théorème
Pour établir chacune des trois assertions, nous allons devoir prouver d'abord que tout
point de l'ensemble en question est un barycentre, puis la réciproque : tout barycentre est
un point dudit ensemble.
1. Si M est un point de la droite (AB), alors il existe un réel λ tel que AM = λ.AB .
Modifions cette dernière égalité :
AM = λ. AM + MB ⇔ AM = −λ.MA + λ.MB ⇔ (1 − λ ) .MA + λ.MB = o
(
)
La somme des coefficients (1 − λ ) + λ = 1 étant non nulle, le point M est le barycentre
des points pondérés ( A;1− λ ) et ( B;λ ) .
Réciproquement, si G est le barycentre des points pondérés ( A; α ) et ( B;β ) , alors il
β .AB .
vérifie l'égalité vectorielle α.GA + β.GB = o ⇔ AG =
α+β
Donc les vecteurs AG et AB sont colinéaires. Le point G appartient à la droite (AB).
2. Si M est un point du segment [AB], alors le réel λ tel que AM = λ.AB appartient à
l'intervalle [ 0;1] . Il en va alors de même pour 1− λ . Donc M est le barycentre des
A présent se pose la question de la réciproque : tout point M de l'espace défini par une
relation vectorielle de la forme AM = α.AB + β.AC appartient-il au plan P ?
La réponse est évidemment oui. Connaissant les réels α et β , on construit les points X et
Y, puis les parallèles d et d'. Le point M est alors le point d'intersection de celles-ci.
Et tout au long de la construction, nous sommes restés dans le plan P.
points A et B pondérés par les coefficients positifs ou nuls 1− λ et λ.
Réciproquement, si G est le barycentre des points pondérés ( A; α ) et ( B;β ) où α et β
Théorème : caractérisation de l'appartenance à un plan défini par trois points
A, B et C sont trois points non alignés de l'espace. Ils définissent un plan P.
Le plan P est l'ensemble des points M de l'espace vérifiant l'égalité AM = α.AB + β.AC
où α et β sont deux réels quelconques.
Ce couple ( α; β ) sont les coordonnées de M dans le plan P muni du repère A; AB, AC
3. Si le point M appartient au plan (ABC), alors il existe deux réels α et β tels que :
AM = α.AB + β.AC ⇔ AM = α.AM + α.MB + β.AM + β.MC
⇔ (1 − α − β ) .MA + α.MB + β.MC = o
(
)
sont deux réels positifs ou nuls, alors le quotient
β
appartient clairement à [ 0;1] .
α +β
Donc le point G fait partie du segment [AB].
La somme des coefficients (1 − α − β ) + α + β = 1 étant non nulle, le point M est le
barycentre des points ( A;1− α − β ) , ( B;α ) et ( C;β ) .
Un doc réalisé par Jérôme ONILLON et distribué exclusivement par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)
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Réciproquement, si G est le barycentre des points pondérés ( A; α ) , ( B;β ) et ( C; γ ) ,
alors il vérifie l'égalité vectorielle :
α.GA + β.GB + γ.GC = o ⇔ α.GA + β.GA + β.AB + γ.GA + γ.AC = o
.
β
γ
⇔
AG =
.AB +
.AC
α+β+ γ
α+β+ γ
Donc le point G appartient au plan (ABC).
Les vecteurs peuvent aussi être coplanaires
Dans l'espace, deux vecteurs u et v sont toujours dans un même plan, donc toujours
coplanaires. Mais trois vecteurs u , v et w ? A quelle condition sont-ils coplanaires ?
Soit A un point quelconque de l'espace. On appelle B, C et D les points définis par :
AB = u AC = v AD = w
D'après ce que nous avons vu, dire que les points A, B, C et D sont coplanaires équivaut à
dire qu'il existe deux réels α et β tels que un réel AD = α.AB + β.AC .
Dans cette égalité, nous tenons notre caractérisation.
Théorème : caractérisation de la coplanarité de trois vecteurs coplanaires
Dire que trois vecteurs de l'espace u , v et w sont coplanaires signifie qu'il existe des
réels α et β tels que
w = α.u + β.v
On peut exprimer l'un en fonction des deux autres
Trois vecteurs non coplanaires de l'espace forment ce qu'on appelle une base de l'espace.
Lorsque trois vecteurs u , v et w ne sont pas coplanaires, on ne peut pas exprimer l'un en
fonction des deux autres. Cela exclut toute colinéarité entre eux ainsi qu'entre l'un d'entre
eux (par exemple w ) et toute combinaison linéaire des deux autres (ici α.u + β.v ).
Il était une fois les coordonnées d'un point...dans l'espace
Soit O un point quelconque de l'espace et i , j , k une base de l'espace.
(
)
Nous allons définir ce que l'on appelle les coordonnées d'un point M de l'espace dans le
repère O; i , j , k .
D'abord, appelons d la droite parallèle à l'axe O, k qui passe par le point M.
Comme les trois vecteurs i , j et k ne sont pas coplanaires, alors la droite d n'est pas
parallèle au plan P = O; i , j . Donc elle lui est sécant en un point que nous appelons M'.
(
)
( )
(
)
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Comme les points M et M' appartiennent
tous deux à la droite d qui a pour vecteur
directeur k , alors il existe un réel γ tel que
M ' M = γ.k .
Maintenant, comme le point M' appartient
au plan P = O; i , j , alors il existe deux
réels α et β tels que OM ' = α.i + β. j .
Finalement, il existe trois réels α, β et γ
tels que
OM = OM ' + M 'M = α.i + β. j + γ.k .
(
z
M ( x; y; z )
k
)
z.k
j
x
P
y. j
Ce triplet ( α; β; γ ) s'appelle coordonnées
du point M dans le repère O; i , j , k .
(
O
i
x.i
y
M'
)
d
La question qui se pose maintenant : ce triplet est-il unique pour un point M donné ?
Supposons qu'il en existe un autre ( α′; β′; γ ′ ) tel que OM = α′.i + β′. j + γ ′.k . On a alors :
α.i + β. j + γ.k = OM = α′.i + β′. j + γ ′.k ⇔ ( γ − γ ′ ) .k = ( α′ − α ) .i + ( β′ − β ) . j
Dans cette dernière égalité, le coefficient γ − γ ′ est nécessairement nul. Sinon le vecteur
k se retrouverait coplanaire avec les vecteurs i et j . Ce qui n'est pas possible !
Par conséquent, nous avons nécessairement : γ = γ ′
La dernière égalité se résume à : 0 × k = o = ( α′ − α ) .i + ( β′ − β ) . j
Dans cette dernière égalité, si l'un des deux coefficients α ′ − α ou β′ − β est non nul, alors
nous avons de facto une relation de colinéarité entre les vecteurs i et j . Ce qui n'est non
plus possible car avec k , ils sont non coplanaires.
En définitive, le triplet ( α′; β′; γ ′ ) est nécessairement égal au triplet ( α; β; γ ) .
Conclusion : dans un repère donné, les coordonnées d'un point sont uniques.
Définition : coordonnées d'un point de l'espace dans un repère
On munit l'espace d'un repère quelconque O; i , j , k .
(
)
Pour tout point M, il existe un unique triplet de réels ( x; y; z ) tel que OM = x.i + y. j + z.k
On dit que ce triplet ( x; y; z ) est les coordonnées du point M dans le repère O; i , j , k .
(
)
La première coordonnée x s'appelle l'abscisse de M, la seconde y est son ordonnée et la
troisième z sa cote.
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Des coordonnées d'un vecteur au calcul vectoriel
Ayant défini ce que sont les coordonnées d'un point, nous allons nous attaquer à celles
d'un vecteur. Nous travaillons toujours dans un repère quelconque O; i , j , k .
Soit u un vecteur de l'espace. On appelle alors M le point défini par OM = u .
Il existe pour ce point M un unique triplet de réels ( x; y; z ) tel que OM = x.i + y. j + z.k .
Il existe alors pour u un unique triplet de réels ( x; y; z ) tel que u = x.i + y. j + z.k .
(
)
Définition : coordonnées d'un vecteur de l'espace dans un repère
On munit l'espace d'un repère quelconque O; i , j , k .
Pour tout vecteur u de l'espace, il existe un unique triplet de réels ( x; y; z ) tel que :
u = x.i + y. j + z.k
Ce triplet ( x; y; z ) est les coordonnées du vecteur u dans le repère O; i , j , k .
La première coordonnée x s'appelle l'abscisse de u , la seconde y est son ordonnée et la
troisième z sa cote.
(
)
(
)
Note : les coordonnées d'un vecteur sont souvent notées en colonnes.
Enfin, si les vecteurs u et v ont pour coordonnées respectives ( x; y; z ) et ( x ′; y′; z′ )
alors pour tout réel λ, nous pouvons écrire :
λ.u + v = λ × x.i + y. j + z.k + x ′.i + y′. j + z′.k = ( λ.x + x ′ ) .i + ( λ.y + y′ ) . j + ( λ.z + z ′ ) .k
(
) (
Nous en concluons :
 x + x′ 
 λ.x 




Les vecteurs u + v et λ.u ont pour coordonnées respectives  y + y′  et  λ.y  .
 z + z′ 
 λ.z 




Coordonnées d'un barycentre...dans l'espace
Le point G ( x G ; yG ) est le barycentre des n points pondérés ( A1 ; α1 ) ;… ; ( A n ; α n ) .
Pour tout entier i ∈ {1; 2;… ; n} , on note ( x i ; yi ; zi ) les coordonnées du point Ai .
Exprimons les coordonnées du point G en fonction de celles des points A1 ;… ; A n .
Comme G est le barycentre des points pondérés ( A1 ; α1 ) ;… ; ( A n ; α n ) , alors en
application du théorème de réduction vectorielle appliqué au point O, il vient :
α1.OA1 + … + α n .OA n = ( α1 + … + α n ) .OG
α1. x1.i + y1. j + z1 .k + … + α n . x n .i + y n . j + z n .k =
α1 + … + α n )
(
(
La conséquence de l'unicité des coordonnées d'un vecteur pour un repère donné est
l'équivalence suivante :
Deux vecteurs sont égaux ⇔
Leurs trois coordonnées sont égales
Mêmes abscisses, mêmes ordonnées, mêmes cotes
)
)
(
(
)
)
Car les coordonnées du point Ai dans O;i , j , k sont ( xi ;yi ;zi )
d'où
.OG
La somme des coefficients de
pondération est non nulle.
α .x +… + α n .x n α1.y1 +… + α n .y n α1.z1 +… + α n .z n .i +
.j +
.k
OG = 1 1
α1 + … + α n
α1 + … + α n
α1 + … + α n
Un vecteur est parfois défini à partir de deux points comme par exemple le vecteur AB .
Si les points A et B ont pour coordonnées respectives ( x A ; y A ; z A ) et ( x B ; y B ; z B ) , alors
Théorème : les coordonnées d'un barycentre dans un repère quelconque de l'espace
Dans le repère O; i , j , k , on considère les n points A1 ( x1; y1 ; z1 ) ;… ; A n ( x n ; y n ; z n )
ils vérifient les égalités vectorielles :
OA = x A .i + yA . j + z A .k
et
OB = x B .i + yB . j + z B .k
Il vient alors :
AB = AO + OB = OB − OA = x B .i + y B . j + z B .k − x A .i + y A . j + z A .k
= ( x B − x A ) .i + ( yB − yA ) . j + ( z B − z A ) .k
Le barycentre G des n point pondérés ( A1 ; α1 ) ;… ; ( A n ; α n ) a pour coordonnées :
(
) (
On en déduit alors :
 xB − xA 


Les coordonnées du vecteur AB sont  yB − yA  .
 z −z 
B
A 

Arrivée − départ
)
(
)
 α .x +… + α n .x n α1.y1 +… + α n .yn α1.z1 +… + α n .z n 
G 1 1
;
;

α1 + … + α n
α1 + … + α n 
 α1 + … + α n
 x + x B y A + yB z A + z B 
Les coordonnées du milieu I d'un segment [AB] sont I  A
;
;
.
2
2
2


I est l'isobarycentre de ( A;1) et ( B;1).
Les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC qui est l'isobarycentre des points
 x + x B + x C y A + y B + yC z A + z B + z C 
pondérés ( A;1) ; ( B;1) et ( C;1) , sont G  A
;
;
 .
3
3
3


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La norme d'un vecteur...dans un repère orthonormé
Un repère est dit normé si ses trois vecteurs de base ont tous pour norme 1.
Il est dit orthogonal si ses trois vecteurs de base sont deux à deux orthogonaux.
Il est qualifié d'orthonormé ou orthonormal s'il est à la fois normé et orthogonal.
(
)
Dans le repère orthonormé O; i , j , k , on considère le vecteur u ( x; y, z ) .
Exprimons la norme du vecteur u en
z
fonction de ses coordonnées.
Pour ce faire, on appelle M le point
défini par OM = u .
Le point A est le projeté orthogonal de
k
u
M sur le plan O; i , j .
O
Enfin, B est le projeté orthogonal du
j
i
point A sur l'axe O; i .
B
Ces trois points ont pour coordonnées :
M ( x; y, z ) A ( x; y;0 ) B ( x;0;0 ) .
x
y. j
(
Le produit scalaire...dans l'espace
M ( x; y; z )
)
(
)
z.k
Dans l'espace comme dans le plan, le produit scalaire de deux vecteurs u et v est le réel
noté u ⋅ v et défini par :
1
2 2 2
u ⋅v = ×  u + v − u − v 



2
Et dans l'espace comme dans le plan, quand on travaille dans un repère orthonormé, le
produit scalaire de deux vecteurs s'exprime simplement en fonction de leurs coordonnées.
Plaçons-nous dans un repère orthonormé quelconque. Dans celui-ci, on considère les
x
 x′ 
 x + x′ 
 
 


vecteurs u  y  et v  y′  . Donc le vecteur u + v a pour coordonnées  y + y′  . Il vient :
z
 z′ 
 z + z′ 
 
 


2 2 2
2 × (u ⋅ v ) = u + v − u − v
(
) (
= ( x + x ′ ) + ( y + y ′ ) + ( z + z ′ ) − x 2 + y 2 + z 2 − x ′ 2 + y ′2 + z ′2
2
y
Les vecteurs i et j ont pour norme 1. Le carré rend inutile la valeur absolue.
Le vecteurs k a pour norme 1. Le carré rend inutile la valeur absolue.
Théorème : la norme d'un vecteur en fonction de ses coordonnées
Dans un repère orthonormé quelconque :
x
 
La norme du vecteur u  y  est donnée par u = x 2 + y2 + z 2 .
z
 
 x − xA 
 B
2
2
2

La norme du vecteur AB  yB − yA  est AB = ( x B − x A ) + ( yB − yA ) + ( z B − z A )
 z −z 
 B A
2
)
= x 2 + 2.x.x ′ + x ′2 + y 2 + 2.y.y′ + y′2 + z 2 + 2.z.z′ + z′2
A
Comme le triangle OBA est rectangle en B, alors en application du théorème de Pythagore
2
2
2
2
2
2
OA 2 = OB2 + BA 2 = x.i + y. j = x × i + y × j = x 2 × 1 + y 2 × 1 = x 2 + y2
Ensuite, comme le triangle OAM est rectangle en M alors toujours d'après Pythagore :
2
2
2
2
u = OM 2 = OA 2 + AM 2 = x 2 + y 2 + z.k = x 2 + y 2 + z × k = x 2 + y 2 + z 2
2
− x 2 − y 2 − z 2 − x ′2 − y ′2 − z ′2
= 2.x.x ′ + 2.y.y′ + 2.z.z′ = 2 × ( x.x ′ + y.y′ + z.z′ )
Théorème : expression du produit scalaire dans un repère orthonormé.
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire des vecteurs u ( x; y; z ) et v ( x ′; y′; z ′ ) est
donné par :
u ⋅ v = x.x ′ + y.y′ + z.z′
Et comme dans le plan, cette relation permet d'établir les propriétés suivantes :
Les principales propriétés du produit scalaire...dans l'espace comme dans le plan
u , v et w sont trois vecteurs quelconques de l'espace. λ et µ sont deux réels.
1. Le produit scalaire laisse sortir la multiplication d'un vecteur par un scalaire
u ⋅ ( µ.v ) = µ × ( u ⋅ v )
( λ.u ) ⋅ v = λ × ( u ⋅ v )
( λ.u ) ⋅ ( µ.v ) = λ × µ × ( u ⋅ v )
2. Le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition vectorielle
u ⋅ ( v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w
3. Il existe des identités remarquables pour le produit scalaire et le carré scalaire
( u + v )2 = u 2 + 2 × u ⋅ v + v 2 ( u − v )2 = u 2 − 2 × u ⋅ v + v 2 ( u + v ) ⋅ ( u − v ) = u 2 − v 2
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