La numération MAYA Numération dans différentes bases

La numération MAYA
Les Mayas, peuple d'Amérique centrale, s'intéressaient beaucoup à l'astronomie.
Aussi avaient-ils besoin d'écrire de grands nombres. Pourtant, ils n'utilisaient que trois signes.
Voici des nombres écrits en maya.
1.Trouver comment fonctionnait la numération maya.
2. Essayer d'expliquer pourquoi ce système permet d'écrire de beaucoup plus grands nombres que le
système de numération égyptien .
3. Ecrire dans le système décimal les nombres suivants
a
Numération dans différentes bases
Ex 1 : En base cinq, le nombre cinq s'écrit 10(cinq) , et le nombre vingt-cinq s'écrit 100(cinq)
a) Coder en base cinq les nombres suivants, écrits en base dix : 26, 78, 124, 126, 236, 625 et 1875.
b) Ecrire en base dix les nombres suivants: 304(cinq) , 244(cinq) et 20000( cinq) .
c) Effectuer l’addition suivante en base 3 sans revenir à la base 10 :
304(cinq) + 244(cinq)
Ex 2 :
a) Les nombres suivants sont écrits en base 3 :
102 ; 110 ; 12 ; 2011 ; 2100 ; 2002 ; 11
Les ordonner, puis intercaler d'autres nombres entre chacun de ces nombres, quand c'est possibleb) Ecrire les 15 nombres consécutifs à partir de 2002.
Ex 3 :
Tous les raisonnements et calculs devront être clairement explicités.
a) Trouver l'écriture chiffrée du nombre 1 + 3 + 32 + 34 + 36 en base trois.
b) Trouver l'écriture de ce même nombre en base neuf.
c) Trouver l'écriture chiffrée en base cinq du nombre: 5 x (5 x (5 x (5 + 4) + 3) + 2) + 1.
Ex 4 :
Étant donné trois chiffres a, b. c, tous différents,
a) Ecrire tous les nombres de trois chiffres formés avec a, b, c ;
b) En faire la somme S et rechercher le quotient de S par (a + b + c) .
CURIEUX ! On obtient toujours ce même résultat…quelle que soit la base ! POURQUOI ?
Ex 5: Numération binaire (Belin TS Spé maths ancienne édition)
Même type d’exercice que le 6
Remarque : Nombreux exos dans les livres de TS Spé maths
Ex 5 : Numération Héxadécimale (Belin TS Spé maths ancienne édition)
Pour écrire un nombre dans la base seize on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, et les lettres
A, B, C, D, E, et F pour représenter les nombres dix, onze, douze, treize, quatorze et quinze.
a) Ecrire dans le système décimal :
E7( seize ) , A8C( seize ) , F4D2( seize )
b) Ecrire dans le système héxadécimal
75( dix ) , 1200( dix ) , 71 523( dix )
c) Trouver l'écriture chiffrée en base seize du nombre : (43 -1) x(43 + 1).
d) Effectuer les opérations suivantes dans le système héxadécimal puis vérifier à l’aide du système
décimal
5C7
A41BB
7AB5
+ D8A
EA58
x
2D
Critères de divisibilité
Divisibilité par 11 (Déclic TS Spé maths)
a) Vérifier que : si n est pair alors 10n – 1 est un multiple de 11
b) Vérifier que : si n est impair alors 10n + 1 est un multiple de 11
c) En déduire qu’un entier N est divisible par 11 si et seulement si la différence de la somme de ses
d’indice pair et celle de ses chiffres de rang impair dans son écriture en base dix est divisible par
11
d) Application : Examiner la divisibilité par 11 des entiers 9 240, 17 523 et 2 951 765.
Preuve par 9 (Belin TS Spé maths ancienne édition)
1. Division euclidienne par 9
a) Quel est l'ensemble des restes possibles dans la division euclidienne d'un entier naturel par 9 ?
b) Démontrer que le reste de la division euclidienne par 9 d'un entier écrit dans la base dix est égal au
reste de la division euclidienne par 9 de la somme de ses chiffres.
2. Détection d'erreurs
Faire « la preuve par 9 » d'une opération consiste à effectuer cette même opération sur les restes de la
division par 9 des opérandes et à vérifier que le reste obtenu est le même que celui du résultat.
a. Soit les nombres x= 619527, y = 7524, z = 5120. Effectuer les opérations suivantes sans calculatrice
puis faire « la preuve par 9 » :
y + z, x -z, xy, yz.
b. « Si la preuve par 9 » indique que les restes sont égaux, peut-on affirmer que le résultat de
l'opération est exact ? Donner un exemple d'addition et un de multiplication dont le résultat est faux
mais dont la « preuve par 9 » est exacte.
Exercice :
On a l'égalité 353 x 248 = 87 ab4 dans laquelle a et b sont deux chiffres qu'on se propose de
déterminer .
Pour cela, faites la preuve par 9 puis par 11, et vous obtiendrez deux relations entre a et b qui vous
permettront de les déterminer sans compter l'opération.