angles et parallélisme

ANGLES ET PARALLÉLISME
Quelques définitions
Définition 1. Deux angles sont dits adjacents lorsque :
1. ils ont le même sommet ;
2. ils ont un côté en commun ;
3. ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
Exemple et contre-exemples.
 Les angles â et b̂ sont adjacents.
̂ ne sont pas adjacents.
 Les angles ĉ et d
 Les angles ê et f̂ ne sont pas adjacents.
Figure 1
Lorsque deux droites (d1) et (d2)
sont coupées par une troisième
droite (δ), appelée la sécante, elles
forment huit angles auxquels on a
attribué des qualificatifs particuliers.
Ces qualificatifs décrivent la façon
dont deux angles sont placés l'un par
rapport à l'autre et par rapport au
trois droites.
Figure 2
Définition 2. Deux angles déterminés par deux droites coupées par une sécante sont dits
alternes-internes lorsque :
1. ils sont situés de part et d'autre de la sécante ;
2. ils sont situés "entre les deux droites" ;
3. ils ne sont pas adjacents.
Exemples.  Les angles â et ĝ sont alternes-internes.
̂ et f̂ sont alternes-internes.
 Les angles d
Définition 3. Deux angles déterminés par deux droites coupées par une sécante sont dits
correspondants lorsque :
1. ils sont situés du même côté de la sécante ;
2. un seul est situé entre les deux droites ;
3. ils ne sont pas adjacents.
Exemples. Les angles
 Les angles
 Les angles
 Les angles
â
b̂
̂
d
ĉ
et
et
et
et
ê
f̂
̂
h
ĝ
sont correspondants.
sont correspondants.
sont correspondants.
sont correspondants.
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Propriétés des angles alternes-internes et des angles correspondants
Propriété 1. Si deux droites coupées par une sécante sont parallèles alors les angles alternesinternes déterminés par ces droites sont égaux.
Démonstration. Etant donnés deux droites parallèles (d1) et (d2) coupées respectivement en A et en
B par une sécante (δ), on construit I le milieu de [AB]
ainsi que le segment [CD] perpendiculaire aux droites
(d1) et (d2) et dont les extrémités sont sur ces droites.
Sachant que les angles d'un triangles sont
supplémentaires, on a
̂
IAC = 180°  ̂
ACI  ̂
CIA
̂
IBD = 180°  ̂
BDI  ̂
DIB
Or les angles opposés par le sommet ̂
CIA et ̂
DIB
̂
̂
sont égaux ; et par hypothèse les angles ACI et BDI
sont droits. On en déduit donc que les angles alternes-internes ̂
IAC et ̂
IBD
Figure 3
sont égaux.
Réciproque. Si deux angles alternes-internes déterminés par deux droites coupées par une
sécante sont égaux alors ces deux droites sont parallèles.
Démonstration. Soient deux droites (d1) et (d2), coupées respectivement en A et en B par la sécante
(δ). On construit la droite perpendiculaire à (d 1)
passant par B, elle coupe (d1) en C. On suppose que
les angles alternes-internes ̂
BAC et ̂
ABx sont
égaux. On a :
̂
CBx = ̂
CBA + ̂
ABx
̂
= CBA + ̂
BAC .
Or, les angles aiguës d'un triangle rectangle
sont complémentaires, on en déduit que ̂
CBx est
un angle droit. Ainsi, les droites (d 1) et (d2) sont
perpendiculaire à la même droite (BC), elles sont
donc parallèles entre elles.
Figure 4
Figure 4
Autre démonstration. Nous proposons ici un raisonnement par l'absurde. Supposons que les angles
alternes-internes ̂
OAB et ̂
ABx soient égaux et
que les droites (d1) et (d2) soient sécantes en O.
Sachant que les angles d'un triangles sont
supplémentaires, on a
̂
̂ = 180°
OAB + ̂
ABO + BOA
̂
ABx + ̂
ABO + ̂
BOA = 180°.
Or ̂
ABx et ̂
ABO sont supplémentaires, donc
̂
l'angle BOA doit être nul et les droites (d1) et
(d2) doivent être confondues.
―2―
Figure 5
Propriété 2. Si deux droites coupées par une sécante sont parallèles alors les angles
correspondants déterminés par ces droites sont égaux.
Démonstration. Soient deux droites (d1)
et (d2), coupées respectivement en A et en B
par la sécante (δ). D'après la propriété 1,
Ces droites déterminent deux angles
alternes-internes égaux (figure 6). Prenons
l'angle opposé par le sommet à l'un de ces
angles alternes-internes, nous obtenons
alors deux angles correspondants. Sachant
que les angles opposés par le sommet sont
égaux, ces angles correspondants sont donc
égaux.
Figure 6
Réciproque. Si deux angles correspondants déterminés par deux droites coupées par une
sécante sont égaux alors ces deux droites sont parallèles.
Démonstration. Cette propriété résulte de la réciproque de la propriété 1 et de ce que deux angles
opposés par le sommet sont égaux.
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NOTES COMPLEMENTAIRES
La notion de portion de plan situé "entre les deux droites"
Cette notion facile à définir pour deux droites parallèles coupées par une sécante, est moins
évidente lorsque les deux droites ne sont plus parallèles [ Cirade, Les angles alternes-internes : un problème de la
profession, Petit x 76, 5-26, 2008]. Lorsque deux droites (d1) et (d2) sont coupées par une sécante (δ), respectivement en A et en B, cette
sécante est ainsi partagée en deux
demi-droites et un segment, en
l'occurrence [AB]. La portion du
plan contenant le segment [AB] est
dite située "entre les deux droites"
(d1) et (d2). Un angle de sommet A
ou B est dit interne si l'un de ses
côtés contient le segment [AB].
Figure 7
Sur la démonstration des propriétés des angles alternes-internes
Les démonstrations de la propriété 1 et de sa réciproque, proposées dans cette leçon, reposent sur
la propriété que les angles d'un triangle sont supplémentaires. Dans ses Éléments, Livre I, Euclide
démontre en premier lieu la réciproque (proposition XXVII) puis la propriété 1 (proposition XXIX).
Proposition XXVII. Si deux angles alternes-internes déterminés par deux droites coupées
par une sécante sont égaux alors ces deux droites sont parallèles.
Démonstration. Supposons les deux droites (d1) et (d2) sécantes en O et les angles alternes-internes
̂
OAB et ̂
ABx égaux (voir figure 8). Alors l'angle extérieur ̂
ABx du triangle OAB est égal à
̂
l'angle intérieur et opposé OAB , Ce qui est impossible (Proposition XVI).
Proposition XVI. Si on prolonge l'un des côtés d'un triangle alors l'angle extérieur est plus
grand que chacun des angles intérieurs et opposés.
Démonstration. Soient I le milieu de [AB] et J le symétrique de O par rapport à I. Les angles au
sommet ̂
OIA et ̂
BIJ sont égaux entre
eux (Proposition XV). Ainsi, dans les
triangles OIA et BIJ nous avons :
OI = IJ ;
IA = IB ;
̂
OIA = ̂
BIJ .
On en déduit (Proposition IV) que ces
triangles sont égaux et que les autres
Figure 8
angles sont égaux, et en particulier :
̂
OAB = ̂
ABJ . Mais ̂
ABx est plus grand que ̂
ABJ et donc ̂
ABx est plus grand que ̂
OAB .
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Proposition XXIX. Si deux droites coupées par une sécante sont parallèles alors les angles
alternes-internes déterminés par ces droites sont égaux.
Démonstration. Supposons que ̂
xAB > ̂
ABz , alors il vient ̂
xAB + ̂
yAB > ̂
ABz + ̂
yAB .
Or ̂
xAB + ̂
yAB = 180° (Proposition XIII)
donc ̂
ABz + ̂
yAB < 180°, ce qui signifie
que les droites (d1) et (d2) sont sécantes
(Demande 5) ce qui contredit l'antécédent de
la proposition. On démontre de même que
̂
xAB < ̂
ABz conduit à une contradiction.
Par conséquent les angles alternes-internes
̂
xAB et ̂
ABz sont égaux.
Figure 9
Le schéma ci-dessous replace les propriétés de cette leçons dans l'enchaînement logique du Livre I
des Éléments.
Conditions pour avoir
deux triangles égaux
(Proposition IV)
Construire deux
segments égaux
(Proposition III)
Angles internes et
droites parallèles
(Demande 5)
Placer le milieu d'un
segment
(Proposition X)
Angles adjacents
supplémentaires
(Proposition XIII)
Angles opposés par
le sommet égaux
(Proposition XV)
Angle extérieur
d'un triangle
(Proposition XVI)
Construire un angle
égal à un angle donné
(Proposition XXIII)
Angles alternes-internes égaux
droites parallèles
(Proposition XXVII = récip. Propriété 1)
Angles correspondants égaux
droites parallèles
(Proposition XXVIII = récip. Propriété 2)
Droites parallèles et angles égaux
(Proposition XXIX = propriétés 1 & 2)
Transitivité parallélisme
(Proposition XXX)
Construire une droite parallèle à une
autre et passant par un point donné
(Proposition XXXI)
Somme des angles d'un triangle
(Proposition XXXII)
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Figure 10