Estimation de la Distribution de la P value Bootstrap Au niveau

Estimation de la Distribution de la P value Bootstrap
Au niveau nominal α, le test bootstrap rejette si t < Q(α, µ∗ ). Ceci est équivalent
à l’inégalité R(t, µ∗ ) < α, d’où on voit que R(t, µ∗ ) est la P value bootstrap. La
probabilité de rejet sous le PGD µ0 est donc
¡
¡
¢
¢
Pr µ0 R(t, µ∗ ) < α = Pr µ0 t < Q(α, µ∗ )
au niveau α. Soit F (α) cette probabilité, ce qui signifie que F est la fonction de
répartition de la P value bootstrap R(t, µ∗ ).
Si t et µ∗ sont indépendants, on a
³
¯ ¢´
¡
¢
¡
F (α) = Pr µ0 t < Q(α, µ∗ ) = Eµ0 Pr µ0 t < Q(α, µ∗ ) ¯ µ∗
¡
¢
= Eµ0 R(Q(α, µ∗ ), µ0 ) .
(1)
Ce résultat n’est exact que si t et µ∗ sont vraiment indépendants, mais il pourrait
être une bonne approximation si on a une indépendance asymptotique.
¡
¢
Nous savons que R Q(α, µ0 ), µ0 = α. Un développement de Taylor nous donne
¡
¢
F (α) = Eµ0 R(Q(α, µ∗ ), µ0
¡
¢
≈ R(Q(α, µ0 ), µ0 ) + n−1/2 r0 (·) Eµ0 Q(α, µ∗ ) − Q(α, µ0 )
¡
¢
= α + n−1/2 r0 (·) Eµ0 (Q(α, µ∗ )) − Q(α, µ0 ) ,
(2)
où R(α, µ) = α + n−1/2 r(α, µ) si t est un pivot asymptotique, et r0 est la dérivée
de r par rapport à son premier argument.
La variable aléatoire t∗ est réalisée sous µ0 de la manière suivante. Un échantillon
généré par le PGD µ0 est utilisé afin d’obtenir une réalisation µ̂ du PGD bootstrap µ∗ . On se sert ensuite de µ̂ pour générer un échantillon qu’on utilise pour
le calcul d’une statistique bootstrap, qui est alors
de t∗. La fonc¡ la réalisation
¢
∗
∗
tion de répartition de t , évaluée en α, est Eµ0 R(α, µ ) : conditionnellement
à µ̂, la probabilité que t∗ < α est donnée par la fonction de répartition sous µ̂,
c’est-à-dire,
R(α,
¡
¢ µ̂). L’espérance non conditionnelle de cette probabilité est donc
Eµ0 R(α, µ∗ ) .
Soit Q∗ (α) le quantile α de t∗. Alors Q∗ (α) vérifie l’équation
¡
¢
Eµ0 R(Q∗ (α), µ∗ ) = α.
Étant donné que R(Q(α, µ∗ ), µ∗ ) = α, ceci devient
¡
¢
0 = Eµ0 R(Q∗ (α), µ∗ ) − R(Q(α, µ∗ ), µ∗ )
¡
¢
≈ n−1/2 r0 (·) Eµ0 Q∗ (α) − Q(α, µ∗ ) ,
(3)
De (3) on obtient l’approximation
¡
¢
Eµ0 Q(α, µ∗ ) = Q∗ (α).
(4)
1
Cette nouvelle approximation permet de remplacer la probabilité approximative (2) par l’expression R(Q∗ (α), µ0 ), parce que, toujours approximativement,
¡
¢
R(Q∗ (α), µ0 ) ≈ R(Q(α, µ0 ), µ0 ) + n−1/2 r0 (·) Q∗ (α) − Q(α, µ0 )
¢
¡
= α + n−1/2 r0 (·) Q∗ (α) − Q(α, µ0 ) .
(5)
Par (4), la membre de droite de cette équation est approximativement égal à (2).
La procédure de simulation est comme suit. Pour chaque répétition m = 1, . . . , M ,
on se sert du PGD µ0 afin de générer une réalisation tm de la variable aléatoire t et
une réalisation µ̂m du PGD bootstrap µ∗. Ensuite on se sert de µ̂m afin de générer
une réalisation t∗m of t∗. La probabilité de rejet approximative R(Q∗ (α), µ0 ) peut
alors être estimée par la proportion des tm inférieurs à Q∗ (α), le quantile α des t∗m .
On obtient l’estimation suivante:
M
¢
1 X ¡
c
I tm < Q̂∗ (α) .
RPA ≡
M m=1
2