Accéléromètre et sismographe

Activité : Accéléromètre et sismographe
La notion de filtrage concerne tout type de système : électrique, mécanique... Les sismomètres,
les amortisseurs, les accéléromètres sont des filtres mécaniques.
1. Accéléromètre
Le récent essor des appareils grand public utilisant des accéléromètres intégrés (manettes de jeu
vidéo, smartphone...) nous amènent à examiner le cas d’un composant fabriqué par la firme
Analog Devices. Il s’agit d’une puce qui transforme une accélération mécanique en un signal
électrique, qui pourra ensuite être exploité électroniquement par l’appareil dans lequel elle est
intégrée.
Le modèle présenté est l’accéléromètre ADXL330. Les deux premières lettres de cette
dénomination désignent le fabricant. L’ensemble des paramètres de fonctionnement est décrit
dans un document public accessible par internet, nommé « datasheet » du composant.
Consulter ce document, puis répondre aux questions suivantes :
1. Le composant ADXL330 mesure-t-il l’accélération suivant un seul axe ou selon les trois
coordonnées d’espace ?
2. Quelles sont les bandes passantes indiquées sur la notice constructeur ? Proposer un
graphe rendant compte de la réponse fréquentielle du capteur.
3. Qu’arrive-t-il aux signaux dont la fréquence est située en dehors de cette bande
passante ?
Une « Wiimote » exploite un accéléromètre ADXL330 de chez Analog Devices qui fournit trois
tensions (numérisées) images des trois composantes de l’accélération.
4. Un utilisateur de jeu vidéo normal (en existe-t-il ?) peut atteindre quel ordre de grandeur
en termes de fréquence d’excitation ? Les caractéristiques du capteur sont-elles
compatibles avec cette valeur ?
5. Pourquoi la bande passante doit elle être supérieure à la fréquence maximale
d’utilisation ?
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2. Sismographe
La sensibilité des accéléromètres étudiés précédemment permet d’envisager la détection de
séismes de magnitude 3 à 4. Ici nous étudierons un modèle simple de sismographe à ressort.
Etude d'un sismographe
Un sismomètre est un capteur qui permet la détection et l'enregistrement des mouvements, à
une dimension, de la surface sur laquelle il repose. Comme on souhaite en général disposer de
la mesure du mouvement à 2 ou 3 dimensions du sol, on place plusieurs sismomètres selon
différents axes orthogonaux et on reconstitue, à partir de leurs enregistrements, le mouvement
multidimensionnel effectif.
La structure complète d'un sismomètre est complexe et les phénomènes mis en jeu dans son
fonctionnement ne peuvent pas tous être décrits à ce stade. Faute d'éléments théoriques, nous
nous contentons donc d'une description sommaire. Un sismomètre est constitué d'un résonateur
mécanique, à l'image de l'oscillateur harmonique ; l'excitation de cet oscillateur étant due aux
mouvements du sol. Les mouvements de la partie mobile engendrent un courant électrique dans
un bobinage, ce qui a deux effets importants :
- amortir les oscillations mécaniques et éviter donc une prolongation excessive du
mouvement après une excitation brève ;
- fournir un signal électrique qui peut être aisément amplifié, enregistré et transmis.
En résumé, la relation entre le mouvement de vibration du sol, décrit par une variable 𝑥(𝑡)
fonction du temps et le signal électrique 𝜉(𝑡) récupéré en sortie traduit des phénomènes bien
connus. Il est donc possible d'établir cette relation sous la forme d'une équation différentielle,
c'est ce que l'on entreprend à présent.
Aspect temporel :
Le phénomène étant principalement dû à la mise en oscillation d'un ensemble mécanique,
l'équation qui le régit est du second ordre. On a 𝜉̈ + 2𝜂𝜉̇ + 𝜔𝑠2 𝜉 = −𝑥̈ où 𝜔𝑠 est la pulsation
propre de l'oscillateur et 𝜂 le coefficient d’amortissement.
Aspect fréquentiel : fonction de transfert
On est dans le cas d’un régime sinusoïdal forcé (onde du séisme) avec 𝑥(𝑡) = 𝑋0 cos⁡(𝜔𝑡).
6. Déterminer l'expression de la fonction de transfert. Tracer le diagramme de Bode. A
quel type de filtre correspond le sismographe ?
Choix des paramètres
Le concepteur du sismomètre doit définir les valeurs à donner aux deux paramètres 𝜔𝑠 et 𝜂. Il
adopte alors deux critères liés au domaine d'application :
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la bande passante doit correspondre à la gamme de fréquence des vibrations sismiques
à détecter. En corollaire, les perturbations d'un autre type doivent si possible être
éliminées par filtrage.
le comportement du sismographe ne doit pas privilégier de fréquence : il ne doit donc
pas y avoir de résonance.
7. On souhaite avoir un amortissement critique, quelle valeur de 𝜂 choisit on ?
Les ondes sismiques de composantes longitudinales ont des fréquences comprises entre 0,5𝐻𝑧
et 10𝐻𝑧. Les ondes sismiques de composantes transversales ont des fréquences comprises entre
1𝐻𝑧 et 8𝐻𝑧. Les ondes sismiques de composantes verticales ont des fréquences comprises entre
0,5𝐻𝑧 et 15𝐻𝑧.
8. L’accéléromètre peut-il détecter ces ondes sismiques ?
Pour ce qui concerne la bande passante, le sismologue doit tenir compte de l’environnement
qui est le sien. Les constructeurs proposent de ce fait une large gamme de sismomètres, dont
les propriétés caractéristiques varient sensiblement.
Diverses causes vont contribuer à mettre en oscillations le sol et vont de ce fait intervenir dans
le fonctionnement des sismomètres. Certaines sont des parasites que le concepteur souhaite ne
pas détecter, d'autres sont vues comme signal porteur d'information utile. Chacune doit donc
être définie par ses propriétés spectrales, afin de permettre un choix judicieux de la bande
passante du capteur.
Un diagramme spectral permet de situer quelques-uns des domaines fréquentiels liés à ces
diverses causes d’oscillations du sol.
9. Comment doit-on choisir 𝜔𝑠 ? Quels phénomènes vont être observés en plus de
l’activité sismique ?
Examen d’oscillogrammes tests
On poursuit l'étude par l'examen d'un oscillogramme correspondant à un signal test usuel dans
le domaine de la sismologie : le train d'onde. Le signal 𝑢(𝑡) correspondant est représenté :
- il est nul aux instants négatifs ;
- puis oscille à la pulsation m à partir de 𝑡 = 0. Pour éviter une discontinuité peu réaliste
dans le cadre de phénomènes sismiques, on adopte l'expression 𝑥(𝑡) = 𝑋0 sin⁡(𝜔𝑡)
10. Simulées les réponses 𝜉(𝑡) dans les cas 𝜔 = 𝜔𝑠 , 𝜔 = 0,2𝜔𝑠 et 𝜔 = 3𝜔𝑠 .
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Annexe : Datasheet ADXL330
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Correction :
1. L’accéléromètre est sensible sur les trois axes de l’espace.
2. Les bandes passantes indiquées sur la notice constructeur sont de [0,5⁡𝐻𝑧⁡; 1600⁡𝐻𝑧]
pour les axes 𝑥 et 𝑦 et de [0,5⁡𝐻𝑧⁡; 550⁡𝐻𝑧] pour l’axe des 𝑧.
3. Les signaux situés en dehors de cette bande passante sont coupés, ils ne sont donc pas
transmis, on ne peut pas les étudier.
4. Il est possible d’atteindre 5 à 10⁡𝐻𝑧. Les mouvements peuvent donc être étudiés.
5. En réalité le filtre n’est pas idéal. Les pentes constituant la bande passante ne sont pas
infinies. Il est donc important d’avoir une marge sur la bande passante pour bien laisser
passer la fréquence d’utilisation.
6. On détermine l'expression de la fonction de transfert et le diagramme de Bode relatif au
module (figure avec les coefficients d'amortissement 0.3, 0.7 et 1).
𝝎²
𝐻(𝑗𝜔) = − 𝝎𝟐 +𝟐𝒋𝝈𝝎𝝎
𝟎
. Le comportement du sismomètre est celui d'un filtre passe-
𝟎 −𝝎²
haut du second ordre.
√2
7. On choisi 𝜂 = 2 .
8. Les fréquences des ondes sismiques se trouve dans la bande passante de l’accéléromètre,
on peut donc les détecter.
9. On choisit 𝜔𝑠 = 3⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠. On observera en plus de l’activité sismique, les fréquences
des alternateurs et un peu de celles de la houle.
10. Comparons les réponses simulées pour la valeur 𝜂 =
d'excitation (les ordonnées sont en unités arbitraires) :
- 𝜔 = 𝜔0
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√2
2
et différentes pulsations
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On constate qu'après un bref régime transitoire, le signal de sortie oscille avec la même
pulsation que l'excitation, mais en quadrature de phase.
- 𝜔 = 0,2𝜔0
La réponse présente une amplitude très faible : le signal est en dehors de la bande passante.
- 𝜔 = 3𝜔0
La fréquence d'excitation est dans la bande passante : en effet, après amortissement du
régime transitoire, le signal reflète quasi fidèlement l'oscillation d’excitation. Le très
léger déphasage tient à ce que⁡𝜔 n'est pas très supérieur à 𝜔0 .
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