Chapitre II : Ordre. Valeur absolue

Classe de
seconde
Chapitre II : Ordre. Valeur absolue
Année
scolaire
2007/2008
I) Comparaison de nombres
Définitions :
•
a est positif signifie que a est plus grand que 0; on note a ≥ 0
•
a est négatif signifie que a est plus petit que 0; on note a ≤ 0
•
a est inférieur à b signifie que la différence a – b est négative.
Notation : a ≤ b équivaut à a – b ≤ 0
a est strictement inférieur à b signifie que la différence a – b est strictement
négative.
Notation : a < b équivaut à a – b < 0
Remarque : Pour comparer deux nombres, il est parfois plus judicieux de calculer leur
différence et d'étudier son signe.
Exemple :
1) Si a et b sont deux nombres positifs, comparer les deux nombres suivants :
A = ab + 1 et B = (a + 1)(b + 1)
2) En déduire la comparaison de 3 024x4 512 + 1 avec 3 025x4 513.
1) A – B = ab + 1 - (a + 1)(b + 1)
= ab + 1 – (ab + a + b + 1)
= ab + 1 – ab – a – b – 1
= -(a+b) < 0 car a+b > 0
Or, A-B < 0 équivaut à A < B
2) On a 3 024x4 512 + 1 < 3 025x4 513
Propriété :
Si a ≤ b et b ≤ c , alors a ≤ c
Démo : a≤ b équivaut à a – b ≤ 0 et b ≤ c équivaut à b – c ≤ 0
Or, a – c = (a – b) + (b – c) ≤ 0 comme somme de termes négatifs.
Donc : a ≤ c
On dit que la relation « est inférieur à » est transitive.
Remarque : cette propriété permet de comparer aisément certains nombres en les
comparant à un troisième comme 0 ou 1.
Exemple :
Comparer sans calculer les fractions suivantes :
4567
4512
A=
et B =
. On a A > 1 car 4567 > 4296 et B < 1 car 4512 < 4514
4296
4514
Donc : A > B
II) Ordre et opérations
Soit a et b deux nombres réels tels que a < b :
(1) Si c est un nombre réel aussi, alors : a + c < b + c
(2) Si c est un réel positif, alors : a x c < b x c
(3) Si c est un réel négatif, alors : a x c > b x c
Exemples :
III) Comparaison de a, a2, et a3 pour a > 0
Propriété :
- Si a > 1, alors a < a2 < a3
- Si 0 < a < 1, alors a > a2 > a3
Exemples :
IV) Autres comparaisons
Propriété :
(1) Si 0 ≤ a ≤ b, alors a2 ≤ b2
(2) Si 0 ≤ a ≤ b, alors
(3) Si 0 < a ≤ b, alors
Exemples :
a
1
a
≤
≥
b
1
b
V) Intervalles de ℝ . Valeur absolue.
x se situe entre
a et b
Encadrement
a ≤x≤ b
Intervalle
x∈[a;b]
a<x<b
x∈]a;b[
a≤x<b
a<x≤b
x se situe endessous de a
x≤a
x<a
x se situe audessus de b
x≥b
x>b
Exemples :
a) x[-3;4] :
-∞
Représentation
a
b
[||||||||||]
+∞
-∞
a
b
]|||||||||||[
+∞
-∞
a
b
[||||||||||[
+∞
-∞
a
b
]||||||||||]
+∞
x∈[a;b[
x∈]a;b]
x∈]-∞;a]
-∞
a
|||||||||||||||]
+∞
-∞
a
||||||||||||||||[
+∞
x∈]-∞;a[
x∈[b ;+∞[
-∞
b
+∞
[||||||||||||||||||||
-∞
b
+∞
]||||||||||||||||||||
x∈]b ;+∞[
-3  x  4
- -3
4
[||||||]
-
6,4
|||||||||||[
+
+
b) x  ]-; 6,4[
x 6,4
1) Intersection et réunion :
Soient I et J deux intervalles.
a) L'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à I et à J est appelé l'intersection
de I et J. Cet ensemble est noté IJ
b) L'ensemble des réels qui appartiennent à I ou à J ou au deux à la fois est appelé la
réunion de I et J. Cet ensemble est noté IJ
Exemple :
Si I = ]-5;7] et J = [3;11[
-5
7
I :
]||||||||||||||||||]
3
11
J :
[|||||||||||||||||||||[
Donc : IJ = [3;7]
et IJ = ]-5;11[
2) Valeur absolue :
Définition : Soit M un point d'abscisse x sur un axe gradué d'origine O.
On appelle valeur absolue de x la distance OM, elle se note |x|
O I
M
| |
|
x
Remarque importante : Comme ce nombre est une distance, il est toujours positif.
− Si x est positif, |x| = x. Exemple : |12| = 12
− Si x est négatif, |x| = - x. Exemple : |-27| = 27
3) Distance :
Définition :
On considère deux points A et B d'abscisses respectives a et b sur un axe gradué
(O;I). On appelle distance de a à b, la distance AB; elle se note |a-b|
A O I
B
| | |
|
|a-b|
Propriété :
− Si a > b, alors |a-b| = a-b (car si a > b, alors a-b > 0 )
− Si a < b, alors |a-b| = b-a (car si a < b, alors a-b < 0 )
Exemple :
− La distance de -8 à 12 est égale à |-8-12| = |-20| = 20
−
La distance de
2
à 3 est |  2 -3| = 3-  2 car
2
- 3 est négatif.