Ajustement linéaire

LPP ALBERT DE MUN
B TRUCHETET
Ajustement linéaire
1. Principe
L’ajustement linéaire a pour but de remplacer un nuage de points par une droite représentative
d’équation y=ax+b. Cette droite passe par le point M ( x; y )
2. Coefficient de corrélation linéaire r.
r est une mesure qui permet de caractériser le degré de dépendance linéaire entre 2 variables.
r=
∑ ( x − x)( y − y)
i
∑ ( x − x)
i
i
2
×
∑ ( y − y)
=
2
σ xy
σ xσ y
i
Interprétation de r :
•
r =1
il y a une totale dépendance linéaire entre les 2 variables.
•
r =0
il n’y a aucune dépendance linéaire entre les 2 variables.
•
0 < r <1
la corrélation linéaire entre les 2 variables est plus ou moins forte selon que
r est plus ou moins proche de 1.
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3. Ajustement linéaire par la méthode dite des « moindres carrées ».
Cette méthode est celle qui est pratiquement la plus utilisée. Elle cherche à rendre minimum la
somme des écarts au carré entre ( xi ; yi ) et ( xi ; yi′)
Pi
Mi
La droite de régression D de y en x à
pour équation
y’=ax+b avec
a=
∑ ( x − x)( y − y )
i
i
∑ ( x − x)
et b = y − ax
2
i
Cette droite permet d’expliquer la
variable y à partir de la variable x.
La droite de régression D’ de x en y à
pour équation
x’=ay+b avec
a=
∑ ( x − x)( y − y )
i
i
∑ ( y − y)
et b = x − a y
2
i
Cette droite permet d’expliquer la
variable x à partir de la variable y.
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4. Exercice
Les tailles et les poids de 10 personnes sont donnés par le tableau suivant :
Taille : xi (cm)
174
182
170
176
171
178
173
178
186
162
Poids : yi (kg)
71
76
65
71
68
76
62
74
84
60
Les résultats seront arrondis à 2 décimales.
1. Calculer la valeur du coefficient de corrélation linéaire entre x et y.
2. Déterminer une équation de la droite D, droite de régression de y en x.
3. Déterminer une équation de la droite D’, droite de régression de x en y.
Résolution à l’aide d’une machine à calculer du type Casio Graph 80
Enter dans le menu Stat
Effacer le contenu des listes à l’aide de la
touche
Si cette touche n’est pas présente à l’écran
,il suffit de se déplacer dans le menu à l’aide
de
.
Saisir les valeurs des xi dans la liste 1
Puis celles des yi dans la liste 2
Se déplacer à l’aide de la touche
Jusqu’à obtenir à l’écran la touche
Puis y entrer.
Vérifier ensuite les informations dans le
menu
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Les informations doivent être les suivantes :
changer si besoin est le numéro des listes.
X correspond à la liste 1
Y correspond à la liste 2.
Taper ensuite sur la touche
de sa
machine pour retrouver le menu suivant :
Taper sur la touche
Puis sur
Et la Oh Miracle !!!
Nous disposons de r et de
l’équation de y en x
Soit les solutions du 1) et 2)
Pour la question 3)
Si l’on souhaite obtenir la droite de x en y
Il suffit de permuter dans
Les liste 1 et liste 2 c’est à dire :
X correspond à la liste 2.
Y correspond à la liste 1.
Puis de reprendre les opérations précédentes
Nous obtenons alors :
Il faut lire x=ay+b à la place de
Et nous avons alors la solution de la question 3)
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