La relation de Descartes

IUFM 2007-2008 : Loi de Descartes généralisée au petit baigneur
La relation de Descartes: générale ou spécifique à la lumière ?
Source : Enseigner les Sciences Physiques, de la 3ème à la Terminale, D. Courtillot & M. Ruffenbach, Bordas 2006
Cet exemple est emprunté à R. Feynman professeur dont les livres decours universitaires nous
ont fait comprendre des concepts en le les réduisant pas à une série de relations mathématiques.
Question I : Vous êtes sur la plage, un baigneur appelle au secours ; d'après vous, quel
chemin faut-il prendre pour porter au plus vite secours au baigneur ?
Posez cette question autour de vous ! Faites le dessin sur un morceau de nappe en papier d'un
restaurant.
Hors du contexte de l'école, vous serez étonné que certains amis entrent avec plaisir dans la
problématique et qu'ils vous proposent une solution qu'ils pensent être incontestablement LA
solution : « Comme le chemin le plus court pour relier deux points est la ligne droite, il faudra
aller tout droit pour sauver le baigneur. On va donc courir sur le sol puis nager: en suivant une
ligne droite. »
Certes c'est une solution, mais ce n'est pas celle qui donne le plus de chance de survie au
baigneur ! Si le segment de droite est bien la distance la plus courte entre ces deux personnages,
cela n'entraîne pas nécessairement que le temps mis pour la parcourir le soit. C'est exact
seulement si l'une des conditions particulières suivantes est remplie :
- si vous êtes déjà dans l'eau comme lui ;
- si le baigneur se trouve dans une direction perpendiculaire au bord de I'eau ;
- si vous nagez aussi vite que vous courrez.
Lorsque vous aurez explicité la nécessité d'introduire les facteurs temps et vitesse de déplacement
du sauveteur, certains proposeront une autre solution : « Puisqu'il est plus facile de courir sur le
sable que de nager, il faudra minimiser au maximum le trajet dans l'eau ».
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À ceux-là, nous pourrons faire remarquer que minimiser le trajet dans l'eau revient finalement à
ne pas minimiser le trajet total. Le trajet le plus court en durée doit être un compromis entre les
deux solutions proposées. Mais comment optimiser ce trajet ? Pour répondre à cette question, il
faut mettre le problème en équations. Par la suite, vous risquez de perdre l'attention de vos amis
qui « ne comprennent rien au mathématiques » ! Quant aux autres, ils découvriront peut-être que
la loi de Descartes ne s'applique pas seulement au cas de la réfraction de la lumière.
Certains pourront vous dire ironiquement que le nageur a le temps de se noyer pendant les
calculs... Répondez-leur sans hésiter, aussi avec ironie, que le physicien qui visualise le trajet de
la lumière va emprunter rapidement une trajectoire qui approchera la trajectoire idéale.
Les mathématiques nous permettent de démontrer que le trajet le plus court est celui dont les
grandeurs « i », « r », « v1 » et « v2 » (voir le schéma) vérifient la relation :
sin i sin r
=
v1
v2
Cette relation est ni plus ni moins la même que la relation de Descartes pour la réfraction de la
lumière. Elle traduit la minimisation en temps du trajet de la lumière lorsqu'elle se propage d'un
milieu à un autre. Elle est donc plus générale qu'une propriété de la lumière lors d'une réfraction.
C'est une des expressions algébriques qui traduit, dans une réalité locale bien particulière, le
principe de Fermat énoncé en 165l : « La lumière se propage d'un point à un autre sur une
trajectoire telle que la durée du parcours soit minimale «
Et pour la réflexion dans un miroir, ce principe s'applique aussi ?
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Question II : Vous êtes sur la plage et vous voulez maintenant regagner votre serviette de plage après
avoir plongé le bout de votre pied dans l'eau pour en prendre la température: d'après vous, quel chemin
faut-il prendre pour aller au plus vite à la serviette de plage?
La première réponse qui vient naturellement à l'esprit est d'y aller en ligne droite ! Mais dans ce
cas, vous avez oublié de passer mettre un doigt de pied dans l'eau ... La réponse n'est donc, là
encore, pas si simple.
Voici les réponses les plus données dans une classe de 1ère S.
Ceux qui donnent la première réponse indiquent le chemin à suivre pour que quand on arrive à
l'eau, on soit à la moitié du parcours. Ceux qui proposent la deuxième réponse font un compromis
entre deux trajets extrêmes (le trajet AA'B et le trajet AB'B).
Là encore, c'est la lumière qui va nous éclairer et le principe de Fermat...
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Construisons B', symétrique de B par rapport au front de mer.
Nous avons donc DB = DB' et AD + DB = AD + DB' .
Or AD + DB' est minimal lorsque D est confondu avec C intersection de la droite AB' (chemin le
plus court pour aller de A à B') avec le front de mer.
Comme ACB' est une ligne droite, l’angle (ACD) = l’angle (OCB').
Comme B' est symétrique de B par rapport au front de mer, l’angle (OCB’) = l’angle (OCB).
Donc : l’angle (ACD) = l’angle (OCB)
Pour réaliser le trajet le plus court, en temps et
en distance, puisque l'on est ici dans le même
milieu (le sable de la plage), il faut donc que
l'angle i que forme le trajet incident avec la
normale au front de mer soit égal à l'angle r
que forme le trajet de retour avec cette même
normale.
Nous retrouvons ici la loi de Descartes pour la
réflexion de la lumière.
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