Ligne de niveau - Mathématiques au collège et lycée

Ligne de niveau
Extrait du Mathématiques au collège et lycée
http://maths.ac-amiens.fr/spip.php?article237
Ligne de niveau
- TICE - Ressources académiques -
Date de mise en ligne : dimanche 1er avril 2012
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Présentation de l'activité
ABC est un triangle isocèle de sommet principal A et A' est le milieu de [BC].
1.
Soit G le barycentre des points pondérés (A,2), (B,1) (C,1).
Construire le point G sur la figure.
2. On considère l'ensemble (E) des points M du plan tels que $\|2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\|=2\|\vec{AA'}\|$
a) Montrer que A et A' sont des points de (E).
b)Déterminer l'ensemble (E) et le représenter sur la figure.
Public / Niveau
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Première S
Terminale S
Durée
Une heure en demi-classe : chaque élève dispose d'un ordinateur.
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Objectifs
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Conjecturer et rechercher un ensemble de points.
Déstabiliser des idées fausses sur les vecteurs.
Travailler sur les constructions, sommes, normes de vecteurs.
Ce qui a été fait avant
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•
Barycentre d'un système de points pondérés.
Formule de réduction (pour l'activité en terminale S, pas en première S).
Déroulement de l'activité
Côté des élèves
•
Question 1 : application directe du cours.
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Utilisation de GeoGebra pour :
• construire la figure,
• construire une somme de vecteurs puis la norme,
• vérifier que A et A' conviennent,
• tester d'autres points et conjecturer.
S'il vous plaît, installer Java 1.5 [http://java.sun.com/getjava] (ou ultérieur) pour visualiser cette page.
•
Les élèves ont comparé les normes des vecteurs quand M varie.
•
•
Lors de la conjecture, certains ont pensé à un losange.
Le fait de tester certains points leur permet de valider ou non, seul, leur conjecture.
D'autres ayant conjecturé le cercle l'ont tracé et ont placé M sur celui-ci.
•
Démonstration du résultat conjecturé.
Côté du professeur
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Utilisation de GeoGebra avec un vidéo-projecteur pour appuyer la conjecture des élèves à partir de la figure.
Deux possibilités de visualiser l'ensemble :
•
Activer la trace de M quand il vérifie l'égalité demandée et conjecturer ainsi le cercle (attention toutefois à la
précision, il ne faut pas aller trop vite !!).
S'il vous plaît, installer Java 1.5 [http://java.sun.com/getjava] (ou ultérieur) pour visualiser cette page.
•
Colorier d'une couleur les points M vérifiant $\|2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\|\geq2\|\vec{AA'}\|$ et d'une autre
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ceux vérifiant $\|2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\|\leq2\|\vec{AA'}\|$.
S'il vous plaît, installer Java 1.5 [http://java.sun.com/getjava] (ou ultérieur) pour visualiser cette page.
Apport des TICE
•
Les TICE permettent d'abord de rendre plus concrète la recherche de l'ensemble (E) puisqu'on peut tester au
fur et à mesure toutes les idées et conjectures des élèves.
•
Distinction entre un vecteur et sa norme.
•
Retour sur certaines erreurs telles que « normes égales implique vecteurs égaux » ou « norme d'une somme
égale somme des normes ».
Prolongements possibles
•
Au cours suivant en classe entière, un prolongement en demandant de déterminer l'ensemble (F) des points M
du plan tels que $\|2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\|=\|\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}\|$
•
Visualisation des conjectures des élèves et du résultat attendu, avec un vidéo-projecteur.
Post-scriptum :
Personnes à contacter pour cette activité : Guillaume MIANNAY
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