(A ∪ ( ¯B ∩ ¯C)) ∩ ((A ∩ C) ∪ B). Montrons que D = A ∩ (B ∪ C)

MVA003
Devoir 3, corrigé
Exercice 1 :
1. D = (A ∪ (B̄ ∩ C̄)) ∩ ((A ∩ C) ∪ B). Montrons que D = A ∩ (B ∪ C) :
(a) D
D
D
D
= (A ∩ (A ∩ C)) ∪ (A ∩ B) ∪ ((B̄ ∩ C̄) ∩ (A ∩ C)) ∪ ((B̄ ∩ C̄) ∩ B)
= (A ∩ A ∩ C) ∪ (A ∩ B) ∪ (B̄ ∩ C̄ ∩ A ∩ C) ∪ (B̄ ∩ C̄ ∩ B)
= (A ∩ C) ∪ (A ∩ B) ∪ ∅ ∪ ∅ car pour tout ensemble E, E ∩ E = E et E ∩ Ē = ∅
= A ∩ (B ∪ C)
(b) Deux ensembles ayant la même fonction caractéristique sont égaux
1D = 1A∪(B̄∩C̄) × 1(A∩C)∪B = (1A + 1B̄∩C̄ − 1A 1B̄∩C̄ )(1A∩C + 1B − 1A∩C 1B )
1D = 1A 1A∩C +1A 1B −1A 1A∩C∩B +1B̄∩C̄ 1A∩C +1B̄∩C̄ 1B −1B̄∩C̄ 1A∩C∩B −1A 1B̄∩C̄ 1A∩C −
1A 1B̄∩C̄ 1B + 1A 1B̄∩C̄ 1A∩C 1B
1D = 1A 1C + 1A 1B − 1A 1B 1C + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 + 0 car (1E )2 = 1E et 1E 1Ē = 0
1D = 1A (1C + 1B − 1B 1C ) = 1A 1B∪C = 1A∩(B∪C)
2. Montrons que (A ∩ B) ⊂ ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C̄)) :
(a) Soit x ∈ (A ∩ B). x est alors dans A et dans B.
De plus x est forcément dans C ou dans C̄
Si x ∈ C alors x ∈ (A ∩ C) ⊂ ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C̄)),
sinon x ∈ C̄ et alors x ∈ (C̄ ∩ B) ⊂ ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C̄))
Dans les deux cas, x ∈ ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C̄))
On a donc bien (A ∩ B) ⊂ ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C̄))
(b) (A ∩ B) ∩ ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C̄)) = ((A ∩ B) ∩ (A ∩ C)) ∪ ((A ∩ B) ∩ (B ∩ C̄))
(A ∩ B) ∩ ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C̄)) = (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C̄) = (A ∩ B) ∩ (C ∪ C̄) = A ∩ B
reste à utiliser l’indication : (A∩B)∩((A∩C)∪(B∩C̄)) = A∩B ⇐⇒ (A∩B) ⊂ ((A∩C)∪(B∩C̄))
(c) 1(A∩B)∩((A∩C)∪(B∩C̄)) = 1(A∩B) (1A∩C + 1B∩C̄ − 1A∩C 1B∩C̄ )
= 1(A∩B) (1A 1C + 1B 1C̄ + 0) = 1(A∩B) (1A 1C + 1B (1 − 1C ))
= 1A 1B (1A 1C + 1B − 1B 1C ) = 1A 1B 1C + 1A 1B − 1A 1B 1C = 1A 1B = 1A∩B
Exercice 2 :
On range au hasard 5 cartes sur lesquelles figurent les lettres P, A, R, I, S (une lettre par carte) pour
former des mots qui n’ont pas forcément de signification.
On suppose que tous les rangements sont équiprobables.
1. Nombre de mots distincts : toutes les lettres étant différentes, il suffit de comptabiliser le nombre
de permutations d’un ensemble à 5 éléments. Il y en a 5 ! soit 120.
2. (a) Probabilité d’obtenir PARIS : chacun des mots possibles à la même probabilité d’être obtenu
1
(on a équiprobabilité). Cette probabilité est donc de 120
(b) Probabilité que le mot commence par deux consonnes. Les deux première lettres du mot doivent
être choisies parmi les 3 voyelles, les trois dernières, parmi les 3 restantes. Il y a donc A23 × 3!
3
36
= 10
soit 36 mots commençant par 2 consonnes. La probabilité cherchée est donc 120
(c) Si le mot contient les deux voyelles côte-à-côte, il y a 4 positions possibles pour voyelles (soit
aux rangs 1 et 2, soit aux rangs 2 et 3, soit aux rangs 3 et 4 ou soit aux rangs 4 et 5) Pour
chacune de ces positions il y a 2 façons de choisir placer les voyelles : d’abord le A puis le I
ou le contraire. Enfin, une fois que le couple de voyelles est placée il y a 3! façons de placer les
autres lettres.
48
Cela fait donc 4 × 2 × 3! soit 48 mots possibles. La probabilité cherchée est donc de 120
= 25
(d) Le P est placé à gauche du S mais pas forcément côte-à-côte. Il y a 10 configurations possibles :
PS ◦ ◦◦, P ◦ S ◦ ◦, P ◦ ◦S◦, P ◦ ◦ ◦ S, ◦PS ◦ ◦ ...
Pour chacune de ces configurations, il y a 3 ! possibilités pour placer les 3 lettres restantes.
60
Cela fait donc 60 mots. La probabilité cherchée est donc de 120
= 12
On pouvait aussi dire qu’il y a autant de chance d’avoir un mot dans lequel P précède S qu’un
mot dans lequel S précède P.
3. Probabilité que le mot finisse par S sachant que la première lettre est le A. C’est une probabilité
conditionnelle. Elle vaut P (mot commence par A et finit par S)/P (mot commence par A)
Il y a 3 ! soit 6 mots commençant par A et finissant par S donc
1
MVA003
Devoir 3, corrigé
6
P (mot commence par A et finit par S)= 120
24
Il y a 4 ! soit 24 mots commençant par A donc P (mot commence par A)= 120
Ainsi la probabilité cherchée est :
6
120
24
120
=
1
4
4. P1 = P (le mot commence par une voyelle) = 2 × P (mot commence par A) = 25
4!
P2 = P (le mot finit par un consonne) = 3 × P (le mot finit par S) = 3 × 120
= 53
2×3!×3
3
P (le mot commence par une voyelle et finit par un consonne) = 120 = 10
P (le mot commence par une voyelle et finit par un consonne) 6= P1 × P2 donc les événements ne
sont pas indépendants.
5. On ajoute une deuxième lettre S, pour former des mots de 6 lettres. Le nombre de mots différents
terminant par S reste le même que le nombre de mots différents à 5 lettres de la question 1 soit
120.
2