TP 8 : Arbres binaires de recherche

TP 8 : Arbres binaires de recherche
Semaine du 17 Mars 2008
Exercice 1
struct
typedef
Dénir une structure
noeud_s permettant de coder un n÷ud d'un arbre
binaire contenant une valeur entière. Ajouter des
pour dénir les nouveaux types
noeud_t et arbre_t (ces types devraient permettre de représenter une feuille, c'est à dire un
arbre vide).
Correction
typedef struct noeud_s {
int v a l e u r ;
struct noeud_s ∗ gauche ;
struct noeud_s ∗ d r o i t ;
I
} ∗ noeud_t ;
typedef noeud_t arbre_t ;
Exercice 2 Écrire une fonction cree_arbre() qui prend en argument une valeur entière ainsi
que deux arbres et renvoie un arbre dont la racine contient cette valeur et les deux sous-arbres
sont ceux donnés en paramètre.
Correction
#include < s t d l i b . h>
I
int
sizeof struct
arbre_t c r e e _ a r b r e (
v a l e u r , arbre_t gauche , arbre_t d r o i t ) {
arbre_t a r b r e = m a l l o c (
(
noeud_s ) ) ;
a r b r e −>v a l e u r = v a l e u r ;
a r b r e −>gauche = gauche ;
a r b r e −>d r o i t = d r o i t ;
arbre ;
}
return
Exercice 3 Écrire une fonction (récursive) detruit_arbre() qui libère la mémoire occupée par
tous les n÷uds d'un arbre binaire.
I Correction
#include < s t d l i b . h>
void d e t r u i t _ a r b r e ( arbre_t a r b r e ) {
if ( a r b r e == NULL)
return ;
}
d e t r u i t _ a r b r e ( a r b r e −>gauche ) ;
d e t r u i t _ a r b r e ( a r b r e −>d r o i t ) ;
f r e e ( arbre ) ;
Exercice 4
Écrire une fonction (récursive) nombre_de_noeuds() qui calcule le nombre de
n÷uds d'un arbre binaire.
1
Correction
int nombre_de_noeuds ( arbre_t a r b r e ) {
if ( a r b r e == NULL)
return 0 ;
return ( 1 + nombre_de_noeuds ( a r b r e −>gauche )
I
+ nombre_de_noeuds ( a r b r e −>d r o i t ) ) ;
}
Exercice 5
Écrire une fonction ache_arbre() qui ache les valeurs des n÷uds d'un ABR par
ordre croissant (choisissez le bon type de parcours des n÷uds de l'arbre. . . ).
Correction
#include <s t d i o . h>
void a f f i c h e _ a r b r e _ r e c ( arbre_t a r b r e ) {
if ( a r b r e != NULL) {
a f f i c h e _ a r b r e _ r e c ( a r b r e −>gauche ) ;
if ( a r b r e −>gauche != NULL)
I
printf (" ," );
p r i n t f ( "%d" , a r b r e −>v a l e u r ) ;
( a r b r e −>d r o i t != NULL)
printf (" ," );
a f f i c h e _ a r b r e _ r e c ( a r b r e −>d r o i t ) ;
if
}
}
void
}
a f f i c h e _ a r b r e ( arbre_t a r b r e ) {
affiche_arbre_rec ( arbre ) ;
p r i n t f ( " \n" ) ;
Exercice 6
Écrire une fonction ache_arbre2() permettant d'acher les valeurs des n÷uds
d'un arbre binaire de manière à lire la structure de l'arbre. Un n÷ud sera aché ainsi : {g,v,d}
où g est le sous-arbre gauche, v la valeur du n÷ud et d le sous-arbre droit. Par exemple, l'arbre
de la gure 1 sera aché par : {{{_,1,_},3,_},4,{{_,6,_},6,{{_,7,_},9,_}}}. Les '_'
indiquent les sous-arbres vides.
Correction
#include <s t d i o . h>
void a f f i c h e _ a r b r e 2 _ r e c ( arbre_t
if ( a r b r e == NULL)
p r i n t f ( "_" ) ;
else {
I
}
void
}
arbre ) {
p r i n t f ( "{" ) ;
a f f i c h e _ a r b r e 2 _ r e c ( a r b r e −>gauche ) ;
p r i n t f ( ",%d , " , a r b r e −>v a l e u r ) ;
a f f i c h e _ a r b r e 2 _ r e c ( a r b r e −>d r o i t ) ;
p r i n t f ( "}" ) ;
a f f i c h e _ a r b r e 2 ( arbre_t a r b r e ) {
2
}
affiche_arbre2_rec ( arbre ) ;
p r i n t f ( " \n" ) ;
Exercice 7
Écrire une fonction compare() qui compare deux arbres binaires (la fonction renvoie
une valeur nulle si et seulement si les deux arbres binaires ont la même structure d'arbre et
qu'ils portent les mêmes valeurs aux n÷uds se correspondant).
Correction
int compare ( arbre_t a r b r e 1 , arbre_t
if ( a r b r e 1 == NULL)
return ( a r b r e 2 != NULL ) ;
else { ∗
∗
if ( a r b r e 2 == NULL)
return 1 ;
else ∗
∗
∗
return ( ( a r b r e 1 −>v a l e u r
I
/
arbre1
/
/
}
arbre2
on
}
!= NULL
arbre2 ) {
/
!= NULL
/
p a r e s s e u s e du | | ∗ /
!= a r b r e 2 −>v a l e u r )
| | compare ( a r b r e 1 −>gauche , a r b r e 2 −>gauche )
| | compare ( a r b r e 1 −>d r o i t , a r b r e 2 −>d r o i t ) ) ;
utilise
l ' évaluation
Exercice 8 Écrire une fonction (récursive. . . ) insere () qui ajoute une valeur dans l'
sera un nouveau n÷ud placé correctement dans l'arbre).
I Correction
arbre_t i n s e r e ( arbre_t a r b r e , int v a l e u r ) {
if ( a r b r e == NULL)
return c r e e _ a r b r e ( v a l e u r , NULL, NULL ) ;
else {
if ( v a l e u r < a r b r e −>v a l e u r )
a r b r e −>gauche = i n s e r e ( a r b r e −>gauche , v a l e u r ) ;
else ∗
−
∗
a r b r e −>d r o i t = i n s e r e ( a r b r e −>d r o i t , v a l e u r ) ;
return a r b r e ;
/
}
v a l e u r >=
arbre
>v a l e u r
ABR
(ce
/
}
Exercice 9
Écrire une fonction trouve_noeud() qui renvoie l'adresse d'un n÷ud de l'ABR
donné en paramètre contenant une certaine valeur (ou NULL si cette valeur ne gure pas dans
l'arbre).
Correction
noeud_t trouve_noeud ( arbre_t a r b r e , int v a l e u r )
if ( a r b r e == NULL)
return NULL;
if ( v a l e u r == a r b r e −>v a l e u r )
return a r b r e ;
if ( v a l e u r < a r b r e −>v a l e u r ) ∗
return t r o u v e ( a r b r e −>gauche , v a l e u r ) ;
else ∗
∗
return t r o u v e ( a r b r e −>d r o i t e , v a l e u r ) ;
I
/
/
on
descend
à
droite
on
/
}
3
descend
à
{
gauche
∗/
Exercice 10 (diculté : •)
Écrire une fonction verie () qui renvoie un entier non nul si
et seulement si l'arbre binaire passé en paramètre est un arbre binaire de recherche. Remarque :
on pourra écrire une fonction auxiliaire (récursive) qui vérie qu'un arbre binaire (non vide)
satisfait les propriétés d'ABR et en même temps détermine les valeurs minimales et maximales
contenues dans cette arbre binaire (et les renvoie via des pointeurs en argument. . . ).
Correction
∗
∗
int v e r i f i e _ r e c ( arbre_t a r b r e , int ∗ min , int ∗max) {
int i ;
∗ min = ∗ max = a r b r e −>v a l e u r ;
if ( a r b r e −>gauche != NULL)
∗
∗
if ( ! v e r i f i e _ r e c ( a r b r e −>gauche , &i , max) | | ! ( a r b r e −>v a l e u r > ∗max ) )
return 0 ;
if ( a r b r e −>d r o i t != NULL)
∗
∗
if ( ! v e r i f i e _ r e c ( a r b r e −>d r o i t , min , &i ) | | ! ( a r b r e −>v a l e u r <= ∗ min ) )
return 0 ;
return 1 ;
I
/
à
n ' appeler
que
sur
des
arbres
!= NULL
/
/
on
utilise
l ' évaluation
paresseuse
du
||
/
/
on
utilise
l ' évaluation
paresseuse
du
||
/
}
int
int min , max ;
return ( ( a r b r e == NULL)
v e r i f i e ( arbre_t a r b r e ) {
}
? 1 : v e r i f i e _ r e c ( a r b r e , &min , &max ) ) ;
Exercice 11 (diculté : ••)
Écrire une fonction tri () qui trie un tableau d'entiers donné
en argument à l'aide d'un arbre binaire de recherche. Remarque : on pourra écrire une fonction
auxiliaire récursive qui, à partir d'un sous-arbre d'un ABR et d'une position dans le tableau,
remplit le tableau, à partir de la position donnée, avec les valeurs contenues dans ce sous-arbre
binaire et renvoie le nombre de valeurs du sous-arbre. . .
Correction
int t r i _ r e c ( arbre_t a r b r e , int
int j = 0 ;
if ( a r b r e == NULL)
return j ;
I
}
void
i,
int
j = t r i _ r e c ( a r b r e −>gauche , i , t a b l e a u ) ;
t a b l e a u [ i + j ] = a r b r e −>v a l e u r ;
j ++;
j += t r i _ r e c ( a r b r e −>d r o i t , i + j , t a b l e a u ) ;
j;
return
int
int
int
tri (
taille ,
∗ tableau ) {
i;
/ ∗ ne p a s o u b l i e r d ' i n i t i a l i s e r à NULL
arbre_t a r b r e = NULL;
( i = 0 ; i < t a i l l e ; i ++)
arbre = i n s e r e ( arbre , tableau [ i ] ) ;
t r i _ r e c ( arbre , 0 , tableau ) ;
detruit_arbre ( arbre ) ;
for
}
∗ tableau ) {
4
l ' arbre
initial
∗/
Exercice 12 Bonus (diculté : •••)
Écrire une fonction supprime() qui supprime une
valeur de l'arbre (on supprimera la première rencontrée) tout en conservant les propriétés
d'ABR. L'algorithme est le suivant (une fois trouvé le n÷ud contenant la valeur en question) :
si le n÷ud à enlever ne possède aucun ls, on l'enlève,
si le n÷ud à enlever n'a qu'un ls, on le remplace par ce ls,
si le noeud à enlever a deux ls, on le remplace par le sommet de plus petite valeur dans le
sous-arbre droit, puis on supprime ce sommet.
I
Correction
int
arbre_t supprime ( arbre_t a r b r e ,
valeur ) {
noeud_t noeud = a r b r e , ∗ p e r e = &a r b r e ;
noeud_t nouveau_noeud , ∗ nouveau_pere ;
( noeud != NULL) {
( v a l e u r == noeud−>v a l e u r )
;
( v a l e u r < noeud−>v a l e u r ) {
p e r e = &noeud−>gauche ;
noeud = noeud−>gauche ;
}
{ / ∗ v a l e u r >= noeud −>v a l e u r ∗ /
p e r e = &noeud−>d r o i t ;
noeud = noeud−>d r o i t ;
}
}
( noeud != NULL) {
( noeud−>gauche == NULL) {
( noeud−>d r o i t == NULL) {
∗ p e r e = NULL;
f r e e ( noeud ) ;
}
{ / ∗ noeud −> d r o i t != NULL ∗ /
∗ p e r e = noeud−>d r o i t ;
f r e e ( noeud ) ;
}
}
{ / ∗ noeud −>g a u c h e != NULL ∗ /
( noeud−>d r o i t == NULL) {
∗ p e r e = noeud−>gauche ;
f r e e ( noeud ) ;
}
{ / ∗ noeud −> d r o i t != NULL ∗ /
/ ∗ r e c h e r c h e d e l a p l u s p e t i t e v a l e u r du s o u s − a r b r e
nouveau_noeud = noeud−>d r o i t ;
nouveau_pere = &noeud−>d r o i t ;
( nouveau_noeud != NULL)
( nouveau_noeud−>gauche != NULL) {
nouveau_pere = &nouveau_noeud−>gauche ;
nouveau_noeud = nouveau_noeud−>gauche ;
}
noeud−>v a l e u r = nouveau_noeud−>v a l e u r ;
∗ nouveau_pere = nouveau_noeud−>d r o i t ;
f r e e ( nouveau_noeud ) ;
}
}
}
arbre ;
}
while
if
break
if
else
if
if
if
else
else
if
else
while
if
return
5
droit
∗/