exercices d`electricite regime variable enonces

EXERCICES D’ELECTRICITE
REGIME VARIABLE
ENONCES
Exercice 1 : Tension rectangulaire
u(t)
u(t) est une tension de période T et
de rapport cyclique α.
Calculer la valeur moyenne <u> et
la valeur efficace U de la tension u.
E
t
αT
0
A.N. E = 5V ; α = 0,5.
T
Avec les valeurs numériques ci-dessus, calculer la valeur efficace U’ de la composante
alternative.
Vérifier que U2 = <u>2 + U’2.
Exercice 2 : Régime sinusoïdal
i 2(t)
π
)
3
5π
i 2 (t) = 2 2sin(ω t −
)
6
Déterminer i 3 (t) par la méthode des
vecteurs de Fresnel et par la méthode
des nombres complexes.
Calculer ϕ i1/i2, ϕ i2/i3 et ϕ i1/i3.
i1 (t) = 4 2 sin(ω t −
i 1(t)
i 3 (t)
Exercice 3 : Régime sinusoïdal
u
1) Représentation de Fresnel :
→
C
i
uC
IUT de Nancy-Brabois
→
→
Construire U R , U C et U .
En déduire l’expression de Zeq ainsi que
l’expression du déphasage ϕ de u par rapport à i.
Quelle plage de valeurs peut prendre le
déphasage?
R
uR
Fabrice Sincère
http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/
page 1/8
2) Utilisation des nombres complexes :
Déterminer Zeq.
En déduire Zeq et ϕ.
3) Applications numériques
On donne U = 5 V, f = 10 kHz, R = 1 kΩ et C = 10 nF.
Calculer I, ϕ, UR et UC.
Comparer U et UR + UC. Commentaires ?
Pour quelle fréquence a-t-on UC = UR ?
Exercice 4 : Régime sinusoïdal
Une bobine réelle est équivalente à une résistance R en série avec une inductance L.
On la branche en série avec une résistance r = 8 Ω.
u
L,R
i
On donne f = 50 Hz, U = 14 V, UB = 8 V et Ur = 8V.
1) Calculer I.
2) Construction de Fresnel :
r
→
uB
→
→
a) Construire U r , U B et U .
Calculer ϕ u/i et ϕ uB/i.
ur
→
→
→
b) A partir de U B construire U R et U L .
En déduire R et L.
Rappel : dans un triangle quelconque :
c
a
α
a2 = b2 + c2 - 2bc cos α
b
Exercice 5 : Régime sinusoïdal
iR
R
i
iL
L
u
Déterminer Yeq.
En déduire Yeq et ϕ u/i.
Applications numériques
On donne U = 2 V, f = 15 kHz, R = 4,7 kΩ et L = 65 mH.
Calculer IR, IL, I, ϕ u/i, ϕ iL/i et ϕ i/iR.
Pour quelle fréquence a-t-on ϕ u/i = 45° ?
IUT de Nancy-Brabois
Fabrice Sincère
http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/
page 2/8
Exercice 6 : Régime sinusoïdal
u
i
R
L
C
uC
Déterminer Zeq.
En déduire Zeq et ϕ u/i.
Quand u et i sont en phase on dit qu’il y a résonance.
Que vaut alors Zeq ?
A quelle pulsation ω0 a lieu la résonance ?
U
Q = C est appelé coefficient de surtension.
U
1
Montrer qu’à la résonance Q 0 =
RCω0
A.N.
R = 440 Ω, C = 1 nF/63 V, L = 100 mH et U = 5 V.
Calculer ω0, Q0 et UC0. Commentaire ?
Exercice 7 : Régime sinusoïdal
u
L
R
C
R
i
Déterminer Zeq.
Si LCω² = 1 que vaut le déphasage entre u et i ?
IUT de Nancy-Brabois
Fabrice Sincère
http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/
page 3/8
CORRIGES
Exercice 1
T
αT
T
 1
1
1
αT

< u > = ∫ u ( t )dt =  ∫ E dt + ∫ 0 dt  = [E t ]t =0 = αE = 2,5 V
T0
T 0
αT
 T
αT
T
1
1
1
U=
u ²( t )dt =
E ² dt =
[E ² t ]αt =T0 = αE = 3,536 V
∫
∫
T0
T 0
T
u(t) = <u> + u’(t) : u’(t) désigne la composante alternative.
0 < t < 0,5T : u’(t) = u(t) - <u> = 5 - 2,5 = +2,5 V
0,5T < t < T : u’(t) = u(t) - <u> = 0 - 2,5 = -2,5 V
T
0 , 5T
T

1
1 
u
'²(
t
)
dt
=
2
,
5
²
dt
+
( −2,5)² dt  = 2,5 V
∫
∫
∫

T0
T  0
0,5T

2
2
2
On vérifie bien que : U = <u> + U’ .
U' =
Exercice 2
-
vecteurs de Fresnel
Loi des nœuds : I 3 = I1 − I 2
+
1A
axe d'origine
des phases
O
I2
ϕ
ϕ
i2
=−
i1
=−
π
ϕ
3
i
3
5π
I3
6
I1
Graphiquement :
I3 ≈ 4,5A
ϕ i3 ≈ -33°≈ -0,58 rad
d’où i 3 ( t ) ≈ 4,5 2 sin(ω t − 0,58)
IUT de Nancy-Brabois
Fabrice Sincère
http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/
page 4/8
- nombres complexes
5π
π
I 3 = I1 − I 2 = ( 4,− ) − ( 2,− ) = (2 − 2 3 j) - (- 3 - j)
3
6
= 2 + 3 + (1 - 2 3) j = (4,472 ; - 0,584 rad)
Finalement: i 3 ( t ) = 4,472 2 sin(ω t − 0,584)
ϕ i1/i2 = -π/3-(-5π/6) = +π/2 = +90° : i1 est en quadrature avance sur i2
ϕ i2/i3 = -5π/6-(-0,584) = -2,034 rad = -116°
ϕ i1/i3 = ϕ i1/i2 + ϕ i2/i3 = -0,463 rad = -26°
Exercice 3
1) U = U C + U R
UR
+
I
O
ϕ
u/i
UC
U
U
I
Théorème de Pythagore : U² = UR² + UC²
I
Avec : UR = RI
et U C =
Cω
U²
D’où : Z eq ² =
= R ² + ( C1ω )²
I²
Finalement : Z eq = R ² + ( C1ω )²
Par définition : Z eq =
tan ϕ = −
UC
1
=−
UR
RCω
 1 
soit : ϕ = − arctan 

 RCω 
Le déphasage ϕ est compris entre –90° et 0°.
j
2) Z eq = R Cω
Z eq = R ² + ( C1ω )²
− C1ω
R
 1 
d’où : ϕ = − arctan 

 RCω 
U
U
3) Loi d’Ohm : I =
=
= 2,66 mA
Z eq
R ² + ( C1ω )²
tan ϕ =
 1 
ϕ = − arctan 
 = - 58° = -1,01 rad
 RCω 
UR = RI = 2,66 V
IUT de Nancy-Brabois
Fabrice Sincère
http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/
page 5/8
I
= 4,23 V
Cω
On remarque que : U ≠ UR + UC
Les valeurs efficaces ne s’additionnent pas (sauf cas particulier).
I
UR = UC ⇒ RI =
soit : RCω = 1
Cω
1
= 15,9 kHz
f =
2 πRC
UC =
Exercice 4
1) Loi d’Ohm : Ur = r I
A.N. I = 1 A
2) Construction de Fresnel :
a) U = U r + U B
UB
2V
U
+
ϕ
UB
uB/i
ϕ
u/i
O
Ur
I
Dans le triangle délimité par les trois vecteurs :
UB² = U² + Ur² -2UUr cos ϕu/i
U² + U r ² − U B ²
cos ϕ u / i =
= 0,875
2 UU r
ϕu/i ≈ +29°
Pour des raisons de symétrie : ϕuB/i = 2ϕu/i ≈ +58°
axe d'origine
des phases
b) U B = U R + U L
IUT de Nancy-Brabois
Fabrice Sincère
http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/
page 6/8
UB
2V
UL
ϕ
uB/i
O
I
UR
UR = UB cos ϕuB/i = 4,25 V
U
R = R = 4,25 Ω
I
UL = UB sin ϕuB/i = 6,78 V
U
L = L = 21,6 mH
ωI
Exercice 5
Yeq = YR + YL =
1
j
−
R Lω
2
1  1 
Yeq =   + 

 R   Lω 
2
− 1 
 R 
ϕu/i = -arg Y = − arctan  1Lω  = arctan 

 Lω 
 R 
Applications numériques
IR = U/R = 0,43 mA
U
IL =
= 0,33 mA
Lω
I = YeqU = 0,54 mA
ϕ u/i = +37°
ϕ iL/i = ϕ iL/u + ϕ u/i = -90 + 37 = -53°
ϕ i/iR = ϕ i /u = -37°
R
tan ϕ u / i =
Lω
R
Si ϕ u/i = 45° alors
=1
Lω
R
soit : f =
= 11,5 kHz
2 πL
IUT de Nancy-Brabois
Fabrice Sincère
http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/
page 7/8
Exercice 6
1 

Z eq = R + j Lω −

Cω 

2
1 

Z eq = R ² +  Lω −

Cω 

1 

 Lω −

Cω 
ϕu/i = arg Z = arctan 
R






1
ϕu/i = 0 ⇒ Lω −
=0
et : Zeq = R
Cω
A la résonance, le circuit a un comportement purement résistif.
1
1
Lω0 −
= 0 d’où : ω0 =
Cω0
LC
1
I
U = ZeqI
et : U C =
donc : Q =
Z eq Cω
Cω
1
RCω0
5
A.N. ω0 = 10 rad/s ; Q0 = 22,7 ; UC0 = Q0U = 114 V
On dépasse la tension maximale admissible par le condensateur (63 V) : il y a destruction du
condensateur (« claquage » du diélectrique).
A la résonance : Q 0 =
Exercice 7
( R + jLω)( R − Cjω ) R ² + jR ( Lω − C1ω ) +
Z eq = ( R + jLω) //( R − ) =
=
2 R + j( Lω − C1ω )
2 R + j( Lω − C1ω )
R ² + CL
1
LCω² = 1 ⇔ Lω −
= 0 et : Z eq =
Cω
2R
Zeq est un réel positif (pas de partie imaginaire) : arg Zeq = 0
ϕ u/i = 0° : u et i sont en phase.
j
Cω
IUT de Nancy-Brabois
Fabrice Sincère
L
C
http://perso.orange.fr/fabrice.sincere/
page 8/8